精品解析：河南省环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

环际大联考 “逐梦计划”2024～2025学年度第二学期期中考试 高二数学试题 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】直接求导计算即可. 【详解】，， 则其时物体的瞬时速度是16. 故选：C. 2. 若等差数列的前n项和为，且，则的值为（ ） A. 33 B. 44 C. 66 D. 132 【答案】C 【解析】 【分析】根据结合即可求解. 【详解】等差数列的前项和为，且， 由等差数列的前n项和公式，得. 故选：C. 3. 函数在处的切线与直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，得关于的方程，可求出的值. 【详解】函数的导函数为 ， 函数在处的切线的导数即为切线的斜率为， 且切线与直线平行， 则有 ，可得 . 故选：C 4. 已知实数是1，4的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项定义计算可得结果. 【详解】依题意可知，解得. 故选：C 5. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，再赋值即可求解. 【详解】函数，求导得， 当时，，解得. 故选：D 6. 已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和性质计算即可求得，代入计算可得结果. 【详解】根据等差数列性质可得； 所以. 故选：B 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 B. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于0 C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 D. 由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关系数的几何意义和独立性检验逐一判断各选项即可求解. 【详解】对于AB：若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故AB错误； 对于C：因为，根据独立性检验可知：与有关联， 此推断犯错误的概率不超过0.05，故C正确； 对于D：由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关， 但某人数学成绩优秀，不能简单地认为他有99%的可能物理优秀，故D错误. 故选：C. 8. 若函数，点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线相切的切点坐标，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】的定义域为，求导可得， 所以在R上单调递增，又在R上单调递增， 故随增大，增长速度逐渐变快， 令，可得，又， 易知曲线上斜率为2的切线，对应切点坐标为． 所以切线方程为，即为，显然与直线平行， 点到直线的距离，即点到直线的距离的最小值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导数的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据初等函数的导数和导数的四则运算逐项计算即可. 【详解】对A，根据基本初等函数及导数的求导法则知，，选项A正确： 对B，因为是常数．所以，选项B错误： 对C，根据基本初等函数及导数的求导法则知，，选项C正确： 选项，选项D错误． 故选：AC． 10. 对于变量和变量，经过随机抽样获得成对样本数据，，2，3，…，10，且，样本数据对应的散点大致分布在一条直线附近，利用最小二乘法求得经验回归方程：，分析发现样本数据对应的散点远离经验回归直线，将其剔除后得到新的经验回归直线，则（ ） A. 变量与变量具有正相关关系 B. 剔除后，变量与变量的样本相关系数变小 C. 新的经验回归直线经过点 D. 若新的经验回归直线经过点，则其方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据变量与变量之间的变化关系可得A正确，由相关系数的概念可知B错误，重新计算剔除后的新的样本数据的中心点可得C正确，结合已有分析利用直线的两点式方程可求得D正确. 【详解】对于A，由经验回归方程可知随着变量的增大，变量也变大，即与变量具有正相关关系，可得A正确； 对于B，数据对应的散点远离经验回归直线，剔除后相关性更强， 易知变量与变量的样本相关系数，所以剔除后的样本相关系数变大，即B错误； 对于C，由可得，且，； 剔除后剩余的9个样本数据的新的平均数为，， 所以新的经验回归直线经过点，即C正确； 对于D，由选项C分析可知，新的经验回归直线经过点, 若新的经验回归直线经过点，可知回归直线斜率为， 所以其方程为，即其方程为，可得D正确. 故选：ACD 11. 已知数列满足，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则是等差数列 B. 若，，则是等差数列 C. 若，，则是等比数列 D. 若，，则是等比数列 【答案】AD 【解析】 【分析】对于AD直接求出，然后根据定义判定等差数列、等比数列即可，对于BC，算出前三项即可判断BC错误. 【详解】对于A，当时，若，则， 事实上，，注意到，即是常数数列， 所以，数列是等差数列，故A正确； 对于B，当时，若， 所以数列不是等差数列，故B错误； 对于C，当时，若， 所以不是等比数列，故C错误； 对于D，当时，有， 因为，所以，即， 因为， 所以是等比数列，故D正确； 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为3盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍，则一共开了______盏灯． 【答案】93 【解析】 【分析】根据等比数列概念直接求和即可. 【详解】由题意得一共开了. 故答案为：93. 13. 若曲线在处的切线经过点，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】求出切点坐标与切线斜率，利用导数几何意义可得出关于的等式，即可解得实数的值. 【详解】令，则，，则， 切点为，由导数的几何意义可得，即，解得. 故答案为：. 14. 已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前项积，则取最大值时，的值为______． 【答案】5或6 【解析】 【分析】先求出的通项公式，再将其前n项积T表示出来，利用函数的性质即可求得最值，以及取得最值时n的值. 【详解】因为数列为等比数列，,公比，所以 对称轴为,因为n是正整数，所以取最大值时n=5或6 . 故答案为: 5或6. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 求下列直线的方程： （1）曲线在处的切线； （2）曲线过点的切线． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，先求导，再根据直线的点斜式方程求解即可； （2）设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，再代入求解即可. 【小问1详解】 ，故曲线在处的切线斜率为， 故在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 设切点为，因为，故曲线在处的切线方程为， 化简可得，代入可得， 即，解得或， 代入切线方程可得或. 16. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求，，并证明：数列为等比数列； （2）求的值． 【答案】（1） 由已知可得，解得，， ， ，， 两式相减得，即， ，又， 所以，因为， 所以数列为等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用递推公式可求得，的值，由递推关系式，作差后变形得到，即说明数列为等比数列； （2）由（1）求出的通项公式，利用分组求和求出，再利用分组求和求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，， ， . 17. 为践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某市环保部门对某大型企业进行排放物监控．测得排放的可吸入颗粒物浓度（单位：）、监控点与企业的距离（单位：）的数据，并进行了初步处理，得到了下面的一些统计量的值（其中，）：，，，，，，，． （1）利用相关系数，判断与哪一个更适合作为可吸入颗粒物浓度关于监控点与该企业距离的回归方程类型？（精确到0.001） （计算过程中的可参考数据：，） （2）根据（1）的判断结果，求其回归方程，并预测当时可吸入颗粒物浓度的预报值？ 附：对于一组数据，，…，，其线性相关系数为：， 回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 【答案】（1）更适宜；（2）；预报值为． 【解析】 【分析】（1）分别计算两种回归方程类型的相关系数，比较其绝对值，即得更适宜； （2）先利用公式计算和，即得回归方程，再将代入方程即得可吸入颗粒物浓度的预报值. 【详解】解：（1）的线性相关系数 ， 的线性相关系数 ， 因为，所以更适宜作为可吸入颗粒物浓度关于观测点与污染企业距离的回归方程类型； （2）， ， 所以即关于的回归方程为． 当时，可吸入颗粒物浓度的预报值为． 18. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： （1）求的对称中心． （2）求． （3）记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“拐点”定义对函数求导即可求出对称中心； （2）利用函数对称性可得，再结合倒序相加法即可求得； （3）利用等差数列前n项和公式以及裂项求和可得对恒成立，再利用换元法和对勾函数性质求得即可满足题意. 【小问1详解】 由可得， 所以， 令，可得， 易知， 所以的对称中心为 【小问2详解】 由（1）中的对称中心为，可得， 因为， 所以,， 两式相加可得 ， 可得， 【小问3详解】 由（2）可得数列为等差数列，且， 所以； 可得； 因此 ； 若对恒成立，可得， 即， 令，可得恒成立，所以； 令，由对勾函数性质可知函数在上单调递增， 因此，可得， 即的取值范围为. 19. 二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”．若十进制数，其中，，则n对应的二进制数为． （1）十进制数6，2025分别用二进制表示． （2）证明：满足，，，…，中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1275． （3）将n对应的二进制数中1的个数记为，证明：． 【答案】（1）， （2） ，其中中有且只有2个1，有种可能； 所以所有二进制数对应的十进制数的和中， 出现次，均出现次， 所以对应的十进制数的和为. （3） ，则， 又， 故， 由于， 故，故. 【解析】 【分析】（1）根据十进制与二进制的转化方法代入计算，即可得到结果； （2）利用组合数分析出所有情况，然后代入计算，即可证明； （3）先求得，然后分别计算等式左右两侧即可证明. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环际大联考 “逐梦计划”2024～2025学年度第二学期期中考试 高二数学试题 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 2. 若等差数列的前n项和为，且，则的值为（ ） A. 33 B. 44 C. 66 D. 132 3. 函数在处的切线与直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知实数是1，4的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2025 6. 已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 B. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于0 C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 D. 由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀 8. 若函数，点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导数的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于变量和变量，经过随机抽样获得成对样本数据，，2，3，…，10，且，样本数据对应的散点大致分布在一条直线附近，利用最小二乘法求得经验回归方程：，分析发现样本数据对应的散点远离经验回归直线，将其剔除后得到新的经验回归直线，则（ ） A. 变量与变量具有正相关关系 B. 剔除后，变量与变量的样本相关系数变小 C. 新的经验回归直线经过点 D. 若新的经验回归直线经过点，则其方程为 11. 已知数列满足，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则是等差数列 B. 若，，则是等差数列 C. 若，，则是等比数列 D. 若，，则是等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为3盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍，则一共开了______盏灯． 13. 若曲线在处的切线经过点，则实数______． 14. 已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前项积，则取最大值时，的值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 求下列直线的方程： （1）曲线在处的切线； （2）曲线过点的切线． 16. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求，，并证明：数列为等比数列； （2）求的值． 17. 为践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某市环保部门对某大型企业进行排放物监控．测得排放的可吸入颗粒物浓度（单位：）、监控点与企业的距离（单位：）的数据，并进行了初步处理，得到了下面的一些统计量的值（其中，）：，，，，，，，． （1）利用相关系数，判断与哪一个更适合作为可吸入颗粒物浓度关于监控点与该企业距离的回归方程类型？（精确到0.001） （计算过程中的可参考数据：，） （2）根据（1）的判断结果，求其回归方程，并预测当时可吸入颗粒物浓度的预报值？ 附：对于一组数据，，…，，其线性相关系数为：， 回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 18. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： （1）求的对称中心． （2）求． （3）记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围． 19. 二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”．若十进制数，其中，，则n对应的二进制数为． （1）十进制数6，2025分别用二进制表示． （2）证明：满足，，，…，中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1275． （3）将n对应的二进制数中1的个数记为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $