四川省成都市某校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

高一半期数学 注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．的值是（    ） A．0 B． C． D．1 2．已知复数：满足，则（    ） A．的实部为 B． C．的共轭复数为 D．在复平面中对应的点位于第一象限 3．如图，在直角梯形中，，，，，，用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图为四边形，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．“”是“为第一象限角”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 6．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．某中学数学教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（   ）    A．0 B． C． D． 8．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点且CD=1，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．是与共线的单位向量，则 D．取得最大值时， 10．已知函数，则（     ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象向左平移m（）个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是 D．若实数m使得方程在上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列选项正确的是（     ） A． B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为 C．若是钝角三角形，则最大边与最小边比值的取值范围是 D．若是的外心，，则最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填涂在答题卡的相应位置上. 12．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 13．如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶A的仰角为，则塔高______. 14． 已知的外接圆为单位圆，且圆心为，，，点是线段上一动点，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知向量，满足：，，. (1) 求与的夹角的余弦值； (2) 若，求实数的值. 试题卷，勿答题 16．（本小题15分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，， (1) 求B； (2) 若，求c． 试题卷，勿答题 17．（本小题15分） 如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，AM，BN相交于点P.设，. (1) 若，试用向量，表示，； (2) 若，求△ABN的面积. 试题卷，勿答题 18．（本小题17分） 设函数，其中，，.   (1) 化简的解析式，求函数的单调增区间； (2) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，求△ABC周长的取值范围； (3) 若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 试题卷，勿答题 19． （本小题17分） 已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. (1) 若为纯虚数，求； (2) 若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点. ①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由； ②若O，A，B三点不共线，记△ABO的面积为，求及其最大值. 试题卷，勿答题 高一数学试题 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一半期数学 参考答案 1、 单选题：BBCB DADC 2、 多选题：9.ABD 10.BCD 11.ABD 三、填空题：12．；13．米；14． 8．【详解】因为，所以， 由正弦定理得，可得，即， 所以，又，则， 是的中点，，故，两边平方得， ，故，其中，故（当且仅当时符号成立），解得．故选：C 11．【详解】对于A，，由正弦定理，， 所以，，所以，因为，所以，所以，，所以，故A正确； 对于В，是边上的一点，且，则有，即， 由，，，，，所以16， 所以，当且仅当时等号成立，所以的面积，故B正确． 对于C，不妨设最大，则， 又因为是钝角三角形，所以，解得，所以， 所以，故C错误；对于D．若是的外心，有，，由，所以， 得，设，，则，其中，当取 “”，所以D正确. 14．【详解】因为，可知O为的中点，又因为O为的外接圆圆心，则， 且，，则，则，可知为等边三角形，即， 如图，建立平面直角坐标系，则，设，可得，则，可知当时，取到最小值. 15.【详解】（1）由题可得， ...............2分 因为，，代入可得， ...............4分 ∴，所以与的夹角的余弦值. ...............6分 （2）因为，所以，化简可得，..9分 将，，代入可得， ...............11分 解得或. ...............13分 16.【详解】（1）因为，化简得， 所以由正弦定理得：， ...............3分 所以由余弦定理可得， ...............5分 因为，所以． ...............7分 （2）由，，又，解得，...............9分 因为，所以 , ...............12分 在中，由正弦定理得， 所以． ...............15分 17．【详解】（1）由题意，是的中点，则， ...............2分 因为，所以，则. 所以，. ...............6分 （2）因为，所以.因为，， 所以， ...............9分 又因为， 所以，，解得. ...............12分 所以，，则， 所以. ...............15分 18．【详解】（1）由函数，........3分 令，解得， 所以函数的单调递增区间. ...............5分 （2）由（1）知 ，∴， 又，，.......7分 所以，所以，， 所以 .......9分 因为，所以， 所以 ，所以， 即，所以周长的取值范围为. ...............11分 （3） 由函数在内有两个相异的零点， 即在内有两个相异的实根， 即和的图象在内有两个不同的交点，.......13分 因为，可得，当时，即，可得； 当时，即，可得；当时，即，可得， 要使得和的图象在内有两个不同的交点， 结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为. ...............17分 19．【详解】（1）因为复数，所以， 而为纯虚数，因此，即. ...............2分 又因为，且，所以， 由，解得或， 所以或. ...............5分 （2）①存在，理由如下： 由题意知：，得，解得或 ， 因为OB逆时针旋转后与OA重合，所以； ...............10分 ②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且O，A，B三点不共线， 所以设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为 则且， 因此的面积 ， 设，则，当且仅当且，即或时等号成立，所以，其最大值为2. ...............17分 答案第2页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$