四川省成都市列五中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B D D B B ABC ACD 题号 11 答案 ACD 7．B 【详解】对于①②，因为函数的导函数， 可知在上是单调递增函数，图象不关于对称，故①错误，②正确； 对于③，的图象都在的上方，所以， 设在处的切线的倾斜角为， 则在处切线的斜率， 因为正切函数在的单调递增，所以倾斜角大于，故③正确； 对于④，因为，令， 不等式等价于， 则，可知在上单调递增， 又因为，则不等式的解集为， 所以关于的不等式的解集为，故④正确. 故选：B. 8．B 【详解】由，又， 因为任意，都有， 所以是函数的最小值，也是极小值， 故有两实根，即有两实根，则， 记二次函数的零点为， 且，则在，上单调递增，在上单调递减， 当时，，因为是最小值， 所以，即， 解得，故， 故选：B． 11．ACD 【分析】构造函数，根据条件计算得，利用导数研究其单调性可判定A、B；分离参数结合函数的单调性与最值可判定C；由题意得出，结合的单调性得出，计算后即可判定D. 【详解】由可得， 设，则，所以（为常数）， 所以因为，所以，即 对于A，因为，所以时，，单调递减； 时，，单调递增，所以在上单调递增.故A正确； 对于B，当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，且由A可知，在单调递增. 所以，解得，故B不正确； 对于C，若即，当时，恒成立； 当时，等价于，即， 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 所以，故C正确； 对于D，，即， 因为当时，，当时，在单调递增，且， 所以，且，则， 又因为，所以，即，故D正确. 故选：ACD. 12． 13. 14． 【分析】由已知根据递推关系可得，由此可知，根据裂项相消法即可求解. 【详解】当时，， 因为， 当时，， 两式相减可得，即，当时不适合此式， 所以，所以， 当时，， 当时，， 若对任意恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 15． 【详解】（1）①，当时，，解得，——1分 当时，②， 式子①-②得，即， ——3分 故为首项为2，公比为2的等比数列， 所以； ——5分 （2）由（1）知，，， 设的公差为，则，解得， ——7分 所以，， ——8分 故， 所以， 两式相减得， 所以. ——13分 16． 【详解】 （1） ，，所以 ——2分 切线方程为 ——3分 （2）， 若，由，得；由，得， 的递减区间为，递增区间为. ——6分 若，由，得；由，得， 的递减区间为，递增区间为. ——9分 （3）当时，， . 由，得或. ——11分 当变化时，与的变化情况如下表： 2 - 0 + 0 - 递减 极小值 递增 极大值 递减 ——13分 ， . ——15分 17． 【详解】（1）取中点，连接，， 为的中点，，， ——2分 又∵，，，， 四边形为平行四边形，， ——4分 平面，平面， 平面； ——5分 （2）取中点，连接，由，知 平面平面，平面平面平面， 平面， ——7分 因为直线与平面所成的角为 ， ，又，——9分 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的一个法向量，， 则，取，则， ——12分 平面的一个法向量可取， ——13分 设平面与平面所成锐二面角为， ， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. ——15分 18． 【详解】（1）由题可知，解得. 所以的标准方程为； ——3分 （2）（i）由（1）知，，且，解得，所以. ——4分 设，则，同理可得，，——5分 则，即. ——6分 当直线斜率存在时，直线的方程为， 整理得. ——8分 所以，即， 所以直线过定点； ——9分 当直线的斜率不存在时，可得. 综上，直线过定点. ——10分 （ii）设，当直线斜率存在时， 设直线的方程为， 与抛物线联立得，消去得， 由题意，所以. ——12分 所以 ， 所以当时，的最小值为； ——15分 当直线斜率不存在时，. 由抛物线定义知. 故的最小值为. ——17分    19.【详解】（1） 又得， ——2分 当时，，此时是极大值点 当时，，此时是极小值点 ——4分 （2），则， 令得，即在递减； 令得，即在递增， 故最小值为， ——6分 ①当，即时，恒成立，故无零点，不满足题意； ②当，即时，当时恒成立，故有1个零点，不满足题意； ——7分 ③当，即时，，且，（或者时，）， 由零点的存在性定理可知在上有1个零点， ——8分 又，则， 则在上递增，上递减， 则，即，则，当且仅当时取等， 则，（或者时，）， 故由零点的存在性定理可知在上有1个零点，即在上有两个零点， 综上：有两个零点，则. ——10分 （3），则， 令，则， ①当时，， 的最小值为，的最小值为； ——11分 ②当时，，则在递减，且时，， 故不能恒成立； ——12分 ③当时，令可得，即在上递增， 令可得，即在上递减， 故， 则， ——14分 故， 令，故， ——15分 令， 则， 令可得，即在递减； 令可得，即在递增则， 则的最小值为，当且仅当时取得等号. 综上可知，的最小值为. ——17分 答案第1页，共2页 高二数学试题 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 4．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．在等差数列中，为其前n项和，若，则 A．60 B．75 C．90 D．105 2．已知二项式，则 （    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线C：的离心率为2，则C的渐近线方程为（   ）. A． B． C． D． 4．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（    ） A．90种 B．120种 C．150种 D．18种 6．已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，，为的导函数，已知的图象如图所示，则以下四种说法中正确的个数是（   ） ①函数的图象关于对称 ②函数在区间上为增函数 ③函数在处的切线的倾斜角大于 ④关于的不等式的解集为 A．4 B．3 C．2 D．1 8．函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．若五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A．如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排或，最右端不能排，则不同的排法共有42种 C．不相邻的排法种数为72种 D．按从左到右的顺序排列的排法有120种 10．已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（    ） A． B．函数有三个零点 C．函数的对称中心为 D．过可以作两条直线与的图象相切 11．设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．不等式的解集为 C．若恒成立，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的二项展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项为 13．若函数在定义域内是增函数，则实数的最小值为 . 14．已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 已知数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)在等差数列中，，，求数列的前n项和 16．(本小题15分) 已知函数. （1）若在处的切线斜率为2，求切线方程. （2）求的单调区间； （3）当时，求函数的极值. 17．(本小题15分) 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18．(本小题17分) 已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5． (1)求E的标准方程； (2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为． （i）证明：直线过定点； （ii）求的最小值． 19．(本小题17分) 已知函数. （1） 若是的极大值点，求的值 （2）当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）若对，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$