精品解析：吉林省大安市第六中学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024-2025学年下学期高二期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 第 一 卷（共58分） 一、单选题 （本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） 1. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图像在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ） A. 729 B. 18 C. 216 D. 81 4. 在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 2016北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 60 6. 用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 A. 24 B. 30 C. 40 D. 60 7. 张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是 A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 8. 有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 二、多选题 （本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式中的常数项是-240 C. 展开式中各项系数之和为1 D. 展开式中的二项式系数之和为64 10. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是 A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 11. 在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ） A. 抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 B. 抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 C. 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 D. 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 第二卷（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 展开式的第项为____________． 13. 设函数的导函数是，若，则____________． 14. 某人准备在某一周的七天中选择互不相邻的三天出游玩，则不同的选法的种数为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. （1）求展开式中的第3项． （2）用二项式定理证明：能被100整除． 16. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最小值． 17. 袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求： （Ⅰ）第一次摸到红球的概率； （Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； （Ⅲ）第二次摸到红球的概率. 18. 已知，求： （1）的值； （2）及的值； （3）各项二项式系数和. 19. 名师生站成一排照相留念，其中老师人，男生人，女生人，在下列情况下，各有多少种不同站法？ （1）老师必须站在两端； （2）名女生必须相邻； （3）名男生互不相邻； （4）名男生身高都不相等，从左向右看，名男生按从高到低的顺序站． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期高二期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 第 一 卷（共58分） 一、单选题 （本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） 1. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据导数的计算公式计算即可. 【详解】解：， . 故选：B . 2. 函数的图像在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求导，再分别求得，，由点斜式写出切线方程. 【详解】由题意可得，则． 因为， 所以， 则所求切线方程是，即． 故选：A 3. 三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ） A. 729 B. 18 C. 216 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】每个班个风景点中选择一处游览，每个班都有6种选法，根据分步乘法计数原理，即可得解. 【详解】第一步，从六个风景点中选一个给第一个班，有6种选法； 第二步，从六个风景点中选一个给第二个班，有6种选法； 第三步，从六个风景点中选一个给第三个班，有6种选法． 根据分步乘法计数原理，不同的选法种数是 故选：C. 4. 在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 利用二项式系数的性质：展开式中间项二项式系数最大，得，得出n的值. 【详解】在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项项的二项式系数最大， 即，解得： 故选：C． 【点睛】结论点睛：本题考查二项式系数的性质，在的展开式中，若n是偶数时，中间项项的二项式系数最大；若n是奇数时，中间两项与项的二项式系数相等且最大． 5. 2016北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将原问题转为为从5个元素中选3个元素的排列问题，再根据排列公式即可求出结果. 【详解】由题意，可将原问题转为为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有 (种). 故选：D. 6. 用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 A. 24 B. 30 C. 40 D. 60 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：按偶数字在个位分类：个位只能是2或者4，十位在余下4个中选择，百位在余下3个中选择．所以答案是2×4×3=24，故选A． 考点：主要考查分步计数原理的应用． 点评：特别注意偶数其个位必定是偶数字． 7. 张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是 A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【详解】分析：先安排首尾的两位家长，再将两个小孩捆绑作为一个整体，与剩下的两位家长作为三个元素安排在中间即可得到结论． 详解：先安排首尾两个位置的男家长，共有种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间，共有种方法．由分步乘法计数原理可得所有的排法为种． 故选B． 点睛：求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．” 8. 有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：在4本书中任选2本，分给甲；剩下的2本送给乙；由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人，每人得2本， 分2步进行分析： 在4本书中任选2本，分给甲，有种情况， 剩下的2本送给乙，有1种情况， 则有6种不同的分法； 故选：B． 【点睛】本题考查分步计数原理的应用，属于基础题． 二、多选题 （本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式中的常数项是-240 C. 展开式中各项系数之和为1 D. 展开式中的二项式系数之和为64 【答案】CD 【解析】 【分析】根据二项式定理的定义、通项的运用和赋值法即可得到答案. 【详解】的展开式共有7项，故A错误； 的通项为， 令，∴，展开式中的常数项为，故B错误； 令，则展开式中各项系数之和为，故C正确； 的展开式中的二项式系数之和为，故D正确. 故选：CD. 10. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是 A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数的导函数的图象可知： 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数单调递减区间为，递增区间为， 且函数在和取得极小值，在取得极大值， 故选D． 【点睛】本题主要考查了导函数与原函数的关系，以及函数的单调性与极值的判定，其中解答中根据导函数的图象得出原函数的单调性是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题． 11. 在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ） A. 抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 B. 抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 C. 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 D. 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算得合格品的取法以及不合格品的取法，根据分步计数原理计算可判断AB；分两种情况，根据分类加法计数原理计算即可判断C；利用间接法计算即可判断D. 【详解】根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品， 则合格品的取法有种，不合格品的取法有种， 则恰好有1件是不合格品的取法有种取法；则A正确，B错误； 若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况， ①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有种取法， ②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有种取法， 则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种，C正确； 也可以使用间接法：在100件产品中任选3件，有种取法， 其中全部为合格品的取法有种， 则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种取法，D正确； 故选：ACD． 第二卷（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 展开式的第项为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理可得结果. 【详解】由二项式定理可知，展开式的第项为. 故答案为：. 13. 设函数的导函数是，若，则____________． 【答案】0 【解析】 【分析】 直接对原函数求导即得解. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0 【点睛】本题主要考查函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14. 某人准备在某一周的七天中选择互不相邻的三天出游玩，则不同的选法的种数为___________. 【答案】10 【解析】 【分析】利用插空法，直接求解即可 【详解】利用插空法，由题意得，有4天不出去玩，会产生5个空，所以，不同的选法的种数为：； 故答案为：10 【点睛】关键点睛：解题关键在于分析出4天不出去玩，会产生5个空，进而利用插空法求解，属于基础题 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. （1）求展开式中的第3项． （2）用二项式定理证明：能被100整除． 【答案】（1）；（2）∵ ， ∴能被100整除． 【解析】 【分析】（1）根据二项式通项求解； （2）由，利用二项式定理展开即可得证. 【详解】（1）展开式中的第3项 （2）略 16. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，代入求值即可得答案； （2）根据导数研究函数的单调性与极值，求端点函数值，从而求出函数的最小值． 【小问1详解】 函数， 又函数在处取得极值， 所以有； 所以实数的值为，经检验符合题意； 【小问2详解】 由（1）可知：， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以在上的最小值为和中较小的一个， 又，， 故函数的最小值为. 17. 袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求： （Ⅰ）第一次摸到红球的概率； （Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； （Ⅲ）第二次摸到红球的概率. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可得所求的概率． （Ⅱ）第一次摸到红球后，还余下个红球和个白球，同（Ⅰ）可求概率． （Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）利用全概率公式可求第二次摸到红球的概率． 【详解】设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球， 则事件：第一次摸到白球. （Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种， 所以 . （Ⅱ）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种. 所以. （Ⅲ）. 所以第二次摸到红球的概率. 【点睛】方法点睛：利用全概率公式计算随机事件的概率时，注意把随机事件分解为两个随机事件和，再利用条件概率公式计算两者的概率即可． 18. 已知，求： （1）的值； （2）及的值； （3）各项二项式系数和. 【答案】（1）；（2），；（3）. 【解析】 【分析】令，利用赋值法可得： （1）； （2），； （3）各项二项式的系数和为. 进而可得解. 【详解】令. （1）； （2）由赋值法可得， 所以，， ； （3）该二项式展开式中各项系数和为. 【点睛】本题考查利用赋值法求解各项系数和以及奇数项、偶数项的系数和、二项式系数和，考查计算能力，属于中等题. 19. 名师生站成一排照相留念，其中老师人，男生人，女生人，在下列情况下，各有多少种不同站法？ （1）老师必须站在两端； （2）名女生必须相邻； （3）名男生互不相邻； （4）名男生身高都不相等，从左向右看，名男生按从高到低的顺序站． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先安排老师，再安排学生，由分步乘法计数原理可求得结果； （2）采用捆绑法即可求得结果； （3）采用插空法即可求得结果； （4）根据男生定序，采用倍缩法可求得结果. 【小问1详解】 先让老师站在两端，则有种站法；将学生安排在其余位置，有种站法； 老师必须站在两端，则有种站法. 【小问2详解】 将名女生排在一起，有种站法；将名女生看作整体，与其余人排序，有种排法； 名女生必须相邻，则有种站法. 【小问3详解】 将老师和名女生先排好序，有种站法；将名男生插空放入，有种站法； 名男生互不相邻，则有种站法. 【小问4详解】 人站队，共有种站法；名男生不考虑身高排序，则有种排法； 从左向右看，名男生按从高到低的顺序站共有种站法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $