安徽省太和县中鑫嘉和实验高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

第 1页，共 8页 2024-2025 学年度高一年级第二学期质量检测数学试卷答案 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数� =− 1 + �，则下列说法正确的是( ) A. �的虚部为� B. �的共轭复数为� =− 1 + � C. �对应的点在第二象限 D. � = 2 【答案】C 【解答】解：因为复数� =− 1 + �，则|�| = 2，�的虚部是 1，� =− 1 − �， �对应的点为( − 1,1)，在第二象限， 即�、�、D 错误，C 正确．故选 C． 2.下列说法中正确的是( ) A.时间能称为向量 B.所有单位向量都是相等向量 C.模为 0 的向量与任一非零向量平行 D.若|� | = |� |，则� = � 【答案】C 【解答】解：时间只有大小，没有方向，不是向量， A 错误; 所有单位向量的模都为 1，但方向不一定相同，所以不一定是相等向量， B 错误; 模为 0 的向量是零向量，零向量与任何一个向量平行， C 正确; 相等向量要求大小和方向都相同，D 错误．故选 C． 3.已知向量� = ( − 5,5)，� = (0, − 3)，则� + � =( ) A. ( − 5,1) B. ( − 5,2) C. ( − 8,5) D. ( − 5, − 8) 【答案】B 【解析】∵ � = −5,5 , � = 0, − 3 ，∴ � + � = −5,5 + 0, − 3 = −5,2 .故选 B． 4.如图，在△ ���中，�� = 3��，点�是��的中点.设�� = � ，�� = � ，则�� =( ) A. 1 6 � + 1 2 � B. 1 3 � + 1 2 � C. − 1 6 � + 1 2 � D. 1 6 � − 1 2 � 【答案】A 第 2页，共 8页 【解答】 解：在△ ���中，�� = 3��，�为��中点， 则�� = �� + �� = �� + 1 2 �� = �� + 1 2 (�� − �� ) = �� + 1 6 �� − 1 2 �� = 1 6 �� + 1 2 �� = 1 6 � + 1 2 � ， 故选：�． 5.已知两个单位向量�1 , �2 ，若(�1 → − 2�2 → ) ⊥ �1 → ，则�1 , �2 的夹角为( ) A. 2� 3 B. � 3 C. � 4 D. � 6 【答案】B 【解答】解：因为(�1 → − 2�2 → ) ⊥ �1 → ， 所以(�1 − 2�2 )·�1 = 0， 所以�1 2 − 2�1 ·�2 = 0， 所以�1 ·�2 = 1 2 ， 所以 cos < �1 ，�2 >= 1 2 ， 所以向量�1 ，�2 的夹角大小为  �  3 ． 故选 B． 6.已知�� = (2,2)，�� = (4,1)，�� = (�, 0)，则当�� ·��最小时，�的值是( ) A. −3 B. 3 C. −1 D. 1 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查向量的数量积的坐标运算，二次函数的性质． 根据向量的数量积的坐标运算可得�� ·�� = (� − 3)2 + 1，利用二次函数的性质求解． 【解答】 解：�� = �� − �� = (� − 2, − 2)， �� = �� − �� = (� − 4, − 1)， �� ·�� = (� − 2)(� − 4) + 2 = �2 − 6� + 10 = (� − 3)2 + 1， 当� = 3 时，�� ·��取到最小值． 故选 B． 第 3页，共 8页 7.已知某圆台的上底面半径为 2，下底面半径为 4，高为 7，若某一球的体积与该圆台体积相同，则该球 的表面积为( ) A. 7� B. 14� C. 28� D. 56� 【答案】C 【解答】解：由已知圆台的体积为 �(22+42+2×4)× 7 3 = 28 7� 3 ， 设该球的半径为�，则4�� 3 3 = 28 7� 3 ，∴ � = 7，所以该球的表面积� = 4��2 = 28�， 故选 C． 8.如图，��垂直于以��为直径的圆所在平面，�为圆上异于�，�的任意一点，则下列关系中不正确的是( ) A. �� ⊥ �� B. �� ⊥平面��� C. �� ⊥ �� D. �� ⊥ �� 【答案】C 【解答】解：由题意可得�� ⊥ ��，�� ⊥平面���， 因为�� ⊂ 平面���，所以�� ⊥ ��, 因为�� ⊥ ��, �� ⊥ ��, �� ∩ �� = �, ��, �� ⊂平面���，所以�� ⊥平面���， 因为�� ⊂平面���，所以�� ⊥ ��; 综上，选项 A，�，�均正确， 故选 C． 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量� = (1,3)，� = (2, − 4)，则下列结论正确的是( ) A. (� → + � → ) ⊥ � → B. |2� + � | = 10 C.向量� 与向量� 的夹角为3�4 D. � 在� 的投影向量是 1,3 【答案】AC 【解答】解：� = (1,3), � = (2, − 4)， 对于�，∵ � + � = (3, − 1)，∴ � + � ·� = 3 − 3 = 0，故 A 正确； 对于�，∵ 2� + � = (4,2)，∴ 2� + � = 16 + 4 = 2 5，故 B 错误； 对于�，∵ � = 10, � = 2 5, � ·� = 2 − 12 =− 10， 第 4页，共 8页 ∴ cos﹤� , � ﹥ = � ·� � · � =− 22 ， 又∵，∴ ⟨� → , � → ⟩ = 3�4，故 C 正确; 对于�，� 在� 方向上的投影向量是 � ·cos﹤� , � ﹥· �|� | = 2 5× − 22 1+9 � =− � ，故 D 错误． 故选：��． 10.已知复数�在复平面上对应的点为�(2, − 1)，则( ) A. � =− 1 + 2� B. |�| = 5 C. � = 2 +  � D. � − 2 是纯虚数 【答案】CD 【解答】解：根据复数�在复平面上对应的点为�(2, − 1)，则� = 2 − �，所以�错； |�| = 5，所以�错； � = 2 +  � ，所以 C 正确； � − 2 = 2 − � − 2 =− �，所以 D 正确． 故选 CD． 11.如图，几何体���� − �1�1�1�1为正方体，则 A. ��//平面��1�1 B. ��1 ⊥ �� C. ��1 ⊥平面��1�1 D.异面直线��与��1所成的角为 60° 【答案】ABC 【解答】解： 第 5页，共 8页 对于�，∵ ���� − �1�1�1�1为正方体，∴ ��/​ /�1�1，�� ⊄平面��1�1，�1�1 ⊂平面��1�1，由线面平 行的判定可得��/ ​ /平面��1�1，A 正确； 对于�，连接��，∵ ���� − �1�1�1�1为正方体，∴ �� ⊥ ��，且��1 ⊥平面����，又�� ⊂平面����，∴ ��1 ⊥ ��，又�� ∩ ��1 = �，��、��1 ⊂平面���1，∴ �� ⊥平面���1，又��1 ⊂平面���1，∴ �� ⊥ ��1，B 正确； 对于�，�1�1 ⊥ �1�1，��1 ⊥ �1�1(方法与�选项中同理)，�1�1 ∩ ��1 = �1，且�1�1, ��1 ⊂平面��1�1， 故�1�1 ⊥平面��1�1，��1 ⊂平面���1，从而��1 ⊥ �1�1， 同理可得��1 ⊥ ��1，�1�1 ∩ ��1 = �1，�1�1，��1 ⊂平面��1�1， 故 AC ​ 1 ⊥平面��1�1,正确； 对于�，异面直线��与��1所成的角即为直线��与��1所成的角，为 45°，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.� + �2 + �3 + �4 = ． 【答案】0 【解答】解：� + �2 + �3 + �4 = � − 1 − � + 1 = 0， 故答案为：0． 13.已知水平放置的四边形����的斜二测直观图为矩形� ′� ′� ′� ′，已知�′�′ = 3, �′�′ = 3 2，则 四边形����的面积为 ． 【答案】9 2 【解答】 解：由题意，�′ = �′�′ ⋅ �′�′ = 3 × 32 = 9 2， 由原图形面积与斜二测画法图形面积之间的关系�′ = 24 �， 可得� = � ′ 2 4 = 92 × 4 2 = 9 2． 故答案为：9 2． 第 6页，共 8页 14.设△ ���的内角�，�，�所对的边分别为�，�，�.若(� + � − �)(� + � + �) = ��，则角� =____ 【答案】 2� 3 【解答】解： 因为(� + � − �)(� + � + �) = ��， 即�2 + �2 − �2 =− ��， 所以由余弦定理有 cos� = � 2+�2−�2 2�� =− 1 2， 又 0 < � < �， 所以� = 2�3．故答案为 2� 3． 四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 12 分) 已知复数� = � − 1 + ��(� ∈ �)，�为虚数单位． (1)若�是纯虚数，求�； (2)若|�| = 5，求�． 【答案】解：(1)若�是纯虚数，则 � − 1 = 0� ≠ 0 ,所以� = 1． (2)因为|�| = (� − 1)2 + �2 = 5， 所以�2 − � − 2 = 0， 所以� = 2 或� =− 1． 当� = 2 时，� = 1 + 2�，� = 1 − 2�， 当� =− 1 时，� =− 2 − �，� =− 2 + �． 16.(本小题 12 分) 已知向量� = ( − 2,3)，� = (3,4)，� = � − 2� ． (1)求� ⋅ � (2)若� − �� 与 3� − � 垂直，求实数�的值． 【答案】解：(1)由题意得：� = � − 2� = −2,3 − 6,8 = −8, − 5 ， ∴ � ⋅ � = 3 × ( − 8) + 4 × ( − 5) =− 44． (2)由� − �� 与 3� − � 垂直得：(� − �� )·(3� − � ) = 0， 即 3� 2 − 3� + 1 � ·� + �� 2 = 0，即 39 − 6(3� + 1) + 25� = 0， 解得：� =− 337． 第 7页，共 8页 17.(本小题 12 分) 在锐角����中，角�, �, �的对边分别为�, �, �，且 2�sin� = 3�． (Ⅰ)求角�的大小； (Ⅱ)若� = 4, � + � = 8,求����的面积． 【答案】解：(Ⅰ) ∵ ����中，2����� = 3�， ∴根据正弦定理，得 2�������� = 3����， ∵锐角����中，���� > 0，∴等式两边约去����，得���� = 32 ， ∵ �是锐角����的内角，∴ � = �3； (Ⅱ) ∵ � = 4, � = �3 , ∴由余弦定理�2 = �2 + �2 − 2������，化简得�2 + �2 − �� = 16， ∵ � + � = 8，平方得�2 + �2 + 2�� = 64， ∴两式相减，得 3�� = 48，可得�� = 16．因此，����的面积� = 12 ���� = 1 2 ⋅ 16 ⋅ ��� � 3 = 4 3． 18.(本小题 12 分) 如图所示，球�的一个截面圆的面积是 36���2，球心�到该截面圆圆心�′的距离是 8��，求该球的表面积 及体积． 【答案】解：由题意，球�的一个截面圆的面积是 36���2． 则��′�2 = 36�， 则� = �′� = 6， 在�� △ ���′中，�2 = �2 + �2， 则�2 = 62 + 82 = 100， 解得� = 10， 所以球的表面积为� = 4��2 = 400�， � = 43�� 3 = 4000�3 ． 【解析】由题意求出球的半径，再求其表面积与体积即可． 本题考查球的体积及表面积公式，考查学生的运算能力，属于中档题． 第 8页，共 8页 19.(本小题 12 分) 如图，在直三棱柱��� − �1�1�1中，�� ⊥ ��，�，�分别为��，�1�1的中点． (Ⅰ)求证：��/ ​ /平面�1���1； (Ⅱ)求证：�� ⊥ ��． (Ⅲ)若��1 = 3，�� = �� = 2，求三棱锥� − ���的体积． 【答案】(Ⅰ)证明见解答； (Ⅱ)证明见解答； (Ⅲ)2． 【解析】解：(Ⅰ)证明：取�1�1的中点�，连接��，��， 又�，�分别为��，�1�1的中点， 所以易得��/ ​ /��，且�� = ��， 所以四边形����为平行四边形， 所以��/ ​ /��，又�� ⊄平面�1���1，�� ⊂平面�1���1， 所以��/ ​ /平面�1���1； (Ⅱ)证明：取��中点�，连接��，��， 则易知�� ⊥ ��，�� ⊥ ��， 所以�� ⊥平面���， 所以�� ⊥ ��； (Ⅲ)��1 = 3，�� = �� = 2，则三棱锥� − ���的体积为 1 3 × 1 2 × 2 × 2 × 3 = 2． ( 16 (15 分） 17 (15 分） ) 2024-2025学年度高一年级第二学期质量检测数学 答题卷 考号： 姓名： 学校： 班级： 座号： ( 贴条形 码 区 )注意事项 1. 答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号填写清楚。 2. 客观题答题,必须使用2B铅笔填涂,修改时用橡皮擦干净。 3. 主观题必须使用黑色签字笔书写。 4. 必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效。 5. 保持答卷清洁完整。 正确填涂 m 缺考标记 一 .选择题(58分) 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A LB LC ( D ) B [C] D B [C] D B [C] D B C D 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A LB LC ( D ) B [C] D B [C] D B [C] D B C D 11 [A] [B] [C] [D] 二 .填空题(15分) ( 13 1 4 )12 三 .解答题 15 (13分） 第 1 页 共 2 页 ( 18 (17 分） )请使用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号 19 (17分） 第 2 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 2 页 2024-2025学年度高一年级第二学期质量检测数学 答题卷 考号： 学校： 班级：姓名： 座号： 注 意 事 项 1.　答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号填写清楚。 2.　客观题答题,必须使用2B铅笔填涂,修改时用橡皮擦干净。 3.　主观题必须使用黑色签字笔书写。 4.　必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效。 5.　保持答卷清洁完整。 正确填涂 缺考标记 贴条形码区 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 一.选择题(58分) 二.填空题(15分) 12 13 14 三.解答题 15 (13分） 16 (15分） 17 (15分） 第 2 页 共 2 页 请使用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号 18 (17分） 19 (17分） 绝密★启用前 2024-2025学年度高一年级第二学期质量检测数学试卷 考试时间：120分钟 满分150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数，则下列说法正确的是(    ) A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. 对应的点在第二象限 D. 2.下列说法中正确的是(    ) A. 时间能称为向量 B. 所有单位向量都是相等向量 C. 模为的向量与任一非零向量平行 D. 若，则 3.已知向量，，则(    ) A. B.     C. D. 4.如图，在中，，点是的中点设，，则(    ) A. B. C. D. 5.已知两个单位向量，若，则的夹角为(    ) A. B. C. D. 6.已知，，，则当最小时，的值是(    ) A. B. C. D. 7.已知某圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，若某一球的体积与该圆台体积相同，则该球的表面积为(    ) A. B. C. D. 8.如图，垂直于以为直径的圆所在平面，为圆上异于，的任意一点，则下列关系中不正确的是(    ) A. B. 平面 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 向量与向量的夹角为 D. 在的投影向量是 10.已知复数在复平面上对应的点为，则(    ) A. B. C. D. 是纯虚数 11.如图，几何体为正方体，则 A. 平面 B. C. 平面 D. 异面直线与所成的角为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.            13.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，，则四边形的面积为           14.设的内角，，所对的边分别为，，若，则角    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数，为虚数单位． 若是纯虚数，求； 若，求． 16.本小题分 已知向量，，． 求 若与垂直，求实数的值． 17.本小题分 在锐角中，角的对边分别为，且． Ⅰ求角的大小； Ⅱ若求的面积． 18.本小题分 如图所示，球的一个截面圆的面积是，球心到该截面圆圆心的距离是，求该球的表面积及体积． 19.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求证：． Ⅲ若，，求三棱锥的体积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 4页 绝密★启用前 2024-2025 学年度高一年级第二学期质量检测数学试卷 考试时间：120 分钟 满分 150 分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第 I卷（选择题） 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.若复数 z =− 1 + i，则下列说法正确的是( ) A. z 的虚部为 i B. z 的共轭复数为z =− 1 + i C. z 对应的点在第二象限 D. z = 2 2.下列说法中正确的是( ) A. 时间能称为向量 B. 所有单位向量都是相等向量 C. 模为 0 的向量与任一非零向量平行 D. 若|a | = |b |，则a = b 3.已知向量a = ( − 5,5)，b = (0, − 3)，则a + b =( ) A. ( − 5,1) B. ( − 5,2) C. ( − 8,5) D. ( − 5, − 8) 4.如图，在△ ABC 中，AB = 3AD，点 E 是 CD 的中点.设AB = a，AC = b ，则AE =( ) A. 1 6 a + 1 2 b B. 1 3 a + 1 2 b C. − 1 6 a + 1 2 b D. 1 6 a − 1 2 b 5.已知两个单位向量e1 , e2 ，若(e1 → − 2e2 → ) ⊥ e1 → ，则e1 , e2 的夹角为( ) A. 2π 3 B. π 3 C. π 4 D. π 6 6.已知OA = (2,2)，OB = (4,1)，OP = (x, 0)，则当AP ·BP 最小时，x 的值是( ) A. −3 B. 3 C. −1 D. 1 第 2页，共 4页 7.已知某圆台的上底面半径为 2，下底面半径为 4，高为 7，若某一球的体积与该圆台体积相 同，则该球的表面积为( ) A. 7π B. 14π C. 28π D. 56π 8.如图，PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于 A，B 的任意一点，则下列关系 中不正确的是( ) A. PA ⊥ BC B. BC ⊥平面 PAC C. AC ⊥ PB D. PC ⊥ BC 二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量a = (1,3)，b = (2, − 4)，则下列结论正确的是( ) A. (a → + b → ) ⊥ a → B. |2a + b | = 10 C. 向量a 与向量b 的夹角为3π 4 D. b 在a 的投影向量是 1,3 10.已知复数 z 在复平面上对应的点为 Z(2, − 1)，则( ) A. z =− 1 + 2i B. |z| = 5 C. z = 2 +  i D. z − 2 是纯虚数 11.如图，几何体 ABCD − A1B1C1D1为正方体，则 A. BD//平面 CB1D1 B. AC1 ⊥ BD C. AC1 ⊥平面 CB1D1 D. 异面直线 AD 与 CB1所成的角为 60° 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。 12.i + i2 + i3 + i4 = 13.已知水平放置的四边形 ABCD 的斜二测直观图为矩形 A ′B′C ′D ′，已知 A′B′ = 3, B′C′ = 3 2 ，则四边形 ABCD 的面积为 第 3页，共 4页 14.设△ ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若(a + b − c)(a + b + c) = ab，则角 C = 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 已知复数 z = a − 1 + ai(a ∈ R)，i 为虚数单位． (1)若 z 是纯虚数，求 a； (2)若|z| = 5，求z． 16.(本小题 15 分) 已知向量a = ( − 2,3)，b = (3,4)，c = a − 2b ． (1)求b ⋅ c (2)若a −λb 与 3a − b 垂直，求实数λ的值． 17.(本小题 15 分) 在锐角ΔABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，且 2asinB = 3b． (Ⅰ)求角 A 的大小； (Ⅱ)若 a = 4, b + c = 8,求ΔABC 的面积． 第 4页，共 4页 18.(本小题 17 分) 如图所示，球 O 的一个截面圆的面积是 36πcm2，球心 O 到该截面圆圆心 O′的距离是 8cm， 求该球的表面积及体积． 19.(本小题 17 分) 如图，在直三棱柱 ABC − A1B1C1中，AB ⊥ AC，D，E 分别为 BC，A1B1的中点． (Ⅰ)求证：DE/​ /平面A1ACC1； (Ⅱ)求证：AB ⊥ DE． (Ⅲ)若 AA1 = 3，AB = AC = 2，求三棱锥 A − BCE 的体积． 2024-2025学年度高一年级第二学期质量检测数学试卷答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数，则下列说法正确的是(    ) A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. 对应的点在第二象限 D. 【答案】C  【解答】解：因为复数，则，的虚部是，， 对应的点为，在第二象限，    即、、D错误，C正确．故选C． 2.下列说法中正确的是(    ) A. 时间能称为向量 B. 所有单位向量都是相等向量 C. 模为的向量与任一非零向量平行 D. 若，则 【答案】C  【解答】解：时间只有大小，没有方向，不是向量， A错误 所有单位向量的模都为，但方向不一定相同，所以不一定是相等向量， B错误 模为的向量是零向量，零向量与任何一个向量平行， C正确 相等向量要求大小和方向都相同，D错误．故选C． 3.已知向量，，则(    ) A.       B.         C. D. 【答案】B  【解析】，故选B． 4.如图，在中，，点是的中点设，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解答】 解：在中，，为中点， 则， 故选：． 5.已知两个单位向量，若，则的夹角为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以，， 所以向量，的夹角大小为． 故选B． 6.已知，，，则当最小时，的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查向量的数量积的坐标运算，二次函数的性质． 根据向量的数量积的坐标运算可得，利用二次函数的性质求解． 【解答】 解：， ， ， 当时，取到最小值． 故选B． 7.已知某圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，若某一球的体积与该圆台体积相同，则该球的表面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】解：由已知圆台的体积为， 设该球的半径为，则，，所以该球的表面积， 故选C． 8.如图，垂直于以为直径的圆所在平面，为圆上异于，的任意一点，则下列关系中不正确的是(    ) A. B. 平面 C. D. 【答案】C  【解答】解：由题意可得，平面， 因为，所以 因为平面，所以平面， 因为平面，所以 综上，选项A，，均正确， 故选C． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 向量与向量的夹角为 D. 在的投影向量是 【答案】AC  【解答】解：， 对于，，，故A正确； 对于，， ，故B错误； 对于，， ， 又，，故C正确 对于，在方向上的投影向量是 ，故D错误． 故选：． 10.已知复数在复平面上对应的点为，则(    ) A. B. C. D. 是纯虚数 【答案】CD  【解答】解：根据复数在复平面上对应的点为，则，所以错； ，所以错；   ，所以C正确； ，所以D正确． 故选CD． 11.如图，几何体为正方体，则 A. 平面 B. C. 平面 D. 异面直线与所成的角为 【答案】ABC  【解答】解： 对于，为正方体，，平面，平面，由线面平行的判定可得平面，A正确； 对于，连接，为正方体，，且平面，又平面，，又，、平面，平面，又平面，，B正确； 对于，，方法与选项中同理，，且平面， 故平面，平面，从而， 同理可得，，，平面， 故AC平面正确； 对于，异面直线与所成的角即为直线与所成的角，为，D错误． 故选ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.          ． 【答案】  【解答】解：， 故答案为：． 13.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，，则四边形的面积为          ． 【答案】  【解答】 解：由题意，， 由原图形面积与斜二测画法图形面积之间的关系， 可得． 故答案为：． 14.设的内角，，所对的边分别为，，若，则角____ 【答案】  【解答】解： 因为， 即， 所以由余弦定理有， 又， 所以．故答案为． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数，为虚数单位． 若是纯虚数，求； 若，求． 【答案】解：若是纯虚数，则所以． 因为， 所以， 所以或． 当时，，， 当时，，．  16.本小题分 已知向量，，． 求 若与垂直，求实数的值． 【答案】解：由题意得：， ． 由与垂直得： ， 即，即， 解得：．  17.本小题分 在锐角中，角的对边分别为，且． Ⅰ求角的大小； Ⅱ若求的面积． 【答案】解：Ⅰ中，， 根据正弦定理，得， 锐角中，，等式两边约去，得， 是锐角的内角，； Ⅱ 由余弦定理，化简得， ，平方得， 两式相减，得，可得．因此，的面积．  18.本小题分 如图所示，球的一个截面圆的面积是，球心到该截面圆圆心的距离是，求该球的表面积及体积． 【答案】解：由题意，球的一个截面圆的面积是． 则， 则， 在中，， 则， 解得， 所以球的表面积为， ．  【解析】由题意求出球的半径，再求其表面积与体积即可． 本题考查球的体积及表面积公式，考查学生的运算能力，属于中档题． 19.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求证：． Ⅲ若，，求三棱锥的体积． 【答案】Ⅰ证明见解答； Ⅱ证明见解答； Ⅲ．  【解析】解：Ⅰ证明：取的中点，连接，， 又，分别为，的中点， 所以易得，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； Ⅱ证明：取中点，连接，， 则易知，， 所以平面， 所以； Ⅲ，，则三棱锥的体积为． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$