浙江省Z20联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025届高三第三次联考（二模）数学试题

Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025 届高三第三次联考 数学试题卷 第 1 页 共 4 页 绝密★考试结束前 Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025 届高三第三次联考 数学试题卷 命题：富阳中学 磨题：平湖中学 新昌中学 元济高级中学 考生须知： 1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸 规定的地方． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸 上答题一律无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求． 1．已知集合 =   = − M x Z N x xx2 8 , 2 2 ，则M N = A． ，，，0 1 2 3 B． ，，1 2 3 C． ，，0 1 2 D． 1,2 2．已知复数 z 满足 位单数虚为= +iz i i1 ( )，则 =z A． 2 B． 2 C．1 D． 2 2 3．“ =k 0”是“直线 = +y kx 2与圆 + − =x y y2 02 2 相切”的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时 释放出的能量 E (单位：焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为： = +E Mlg 4.8 1.5 .若记 2025 年 1 月 7 日西藏日喀则发生里氏 6.8 级地震释放出来的能量为E1，2022 年 5 月 20 日四川雅安发 生里氏 4.8 级地震释放出来的能量为 E2 ，则 = E E 2 1 A．100 B．200 C．1000 D．2000 5．已知非零向量 ,a b满足 2a b a b= = + ，则 a在 b 方向上的投影向量为 A． b− 2 1 B． b− 2 3 C．b D． b− 4 1 6．已知数列 an{ }的前 n项和为 Sn ，则下列说法正确的是 A．若 Sn 0 ，则 an 0 B．若 Sn 0 ，则 + a Sn n 0 C．若 S an n ，则 an 0 D．若 + a Sn n 0，则 S a3 3 Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025 届高三第三次联考 数学试题卷 第 2 页 共 4 页 A1 A B C D B1 C1 D1 E F 7．已知 1 2,F F 分别是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b − =   的左、右焦点， A 为左顶点， B 是双曲线在第四 象限上一点， 2BF 的斜率为 3 ，且 2AB BF⊥ ，则双曲线的离心率为 A．2 B． 2 C．3 D． 3 8．定义在 (0, )+ 上的函数 ( )f x 满足 1 ( ) ( )f f x x = − ， 2 ( ) (2 )f f x x = − ，当 [1,2]x 时， ( ) ( 1)( 2)f x x x= − − ，则函数 1 ( ) 4 y f x= + 在区间[1,100]内的零点个数为 A．3 B．4 C．5 D．6 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分． 9．下列结论正确的是 A．若随机变量 (2,1)X N ，则 ( 3) 0.5P x   B．若随机变量 (2,1)X N ，则 (3 4) (1 2)P x P x     C．若随机变量 1 ( , ) 2 X B n ，且 ( ) 2E X = ，则 ( ) 1D X = D．若随机变量 1 ( , ) 2 X B n ，且 ( ) 1D X = ，则 (2 1) 4D X − = 10．已知函数 4 2( ) sin cos ,f x x x= − 则下列正确的是 A． 是 ( )f x 的一个周期 B． ( )f x 的图象关于点 ( ,0) 4  对称 C． ( )f x 的图象关于直线 2 x  = 对称 D． ( )f x 在区间 ( , ) 2   上单调递减 11．设正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 的棱长为 1，点 ,E F 分别为棱 ,AB AD上的动点（含端点），且 1EF = ， 则下列说法正确的是 A．三棱锥 1A AEF− 的体积有最大值 B．三棱锥 1A AEF− 的外接球的体积为定值 C．三棱锥 1 1A EFC− 的体积为定值 D．三棱锥 1 1A EFC− 的外接球的体积有最大值 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．若 4( )(1 )a x x− + 的展开式中 3x 的系数为 6 ，则实数 a的值为 ▲ . 13．一个袋中装有大小质地相同的 9 个小球，其中白球 2 个，红球 3 个，黑球 4 个，现从中不放回 地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为___________. 14．已知实数 ,a b满足 2a b+ = ，则 2 2 2 1a b a b + − + 的最大值为 ▲ . Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025 届高三第三次联考 数学试题卷 第 3 页 共 4 页 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． ABC 中，角 , ,A B C 对应的边分别为 , ,a b c ， 2 , cos( ) cos cosA B C a C A b C c B+ = − = + ， （1）求角 A ； （2）若点 D 在边 AC 上， 2 7 7 cos 3 14 BD BDC=  = −且 ，求 BCD 的面积. 16．已知四棱锥 P ABCD− 中，底面 ABCD是梯形， / / , , 2, 1AD BC AB AD BC AB AD AP⊥ = = = = ， APB 是等腰直角三角形， E 为棱 PC 上一点． （1）当 E 为 PC 中点时，求证： / /ED PAB平面 ； （2）若 3PD = ，当 2CE EP= 时， 求平面 EBD 与平面CBD 夹角的余弦值. 17．已知函数 1( ) ( 1)xf x x e −= − ． （1）求函数 ( )f x 图象在点 (1,0) 处的切线方程； （2）若不等式 ( ) lnf x x ax + 恒成立，求实数a 的取值范围. Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025 届高三第三次联考 数学试题卷 第 4 页 共 4 页 x y O A1 A2 R P Q M N F 18．已知 F 是椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y E a b a b + =   的右焦点，椭圆离心率 1 2 e = ，且椭圆上任意一点与点 F 距离的最大值为 3. （1）求椭圆E 的方程； （2）点 1 1 1 1( , )( 0, 0)M x y x y  在椭圆 E 上，椭圆在点 M 处的切线 1 1: 1 4 3 xx yy l + = 交 x 轴于点 P . ①求 4FP FM− 的最小值； ②设 1 2,A A 分别为椭圆 E 的左、右顶点，不垂直 x 轴的直线MF 交椭圆于另一点 N ，直线 1NA 与直线 2MA 交于点Q，问直线 MN 与直线 PQ的交点 R 是否在一条定直线上？若是，求出 该直线方程；若不是，请说明理由. 19．若数列中某相邻三项成等差数列，则称该三项为“等差组”；若数列中某相邻三项成等比数列， 则称该三项为“等比组”．现有一个 12 项的正项数列 na ： 1 2 12, , ,a a a ，其共有 10 组相邻三项， 记第 i 组相邻三项为 1 2( , , ), 1,2, ,10i i i iA a a a i+ += = . （1）若数列 na 满足 1 21, 2a a= = , ① 1A 为“等差组”， 2A 为“等比组”，求 4a ； ② 1A 为“等比组”， 2A 为“等差组”，求 4a . （2）若数列 na 满足 1 41, 4a a= = ，且 iA ( 1,2, ,10)i = 为“等差组”或“等比组”，求满足条件的数 列 na 的个数； （3）若数列 na 满足 1 21, 2a a= = ，且 ( 1,2, ,10)iA i = 中恰有 5 组“等差组”和 5 组“等比组”，求 12a 的最大可能值． Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025 届高三第三次联考 数学参考答案 第 1 页 共 7 页 A B C D E P F Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025 届高三第三次联考 数学参考答案 一、单项选择题 1-5：DBCCA 6-8： DAB 二、多项选择题 9．BCD 10．ACD 11．ABD 三、填空题 12．3 13． 16 21 14． 10 2 四、解答题 15．解： （1）由已知 3 C  = ， 又 cos( )a C A a− = 得 cos( ) 1C A− = ，即 3 C A  = = 5 分 （2） BCD 中， 3 21 sin 14 BDC = ， 7 分 所以 3 21 1 7 3 21 sin sin( ) 3 14 2 14 2 14 CBD BCD   =  + =  −  = 10 分 由 3 21 2 14 BD DC = ，得 2 3 CD = ， 所以 3 3 ABCS = 。 13 分 （其它方法酌情给分） 16．解： （1）取 PB 中点 F ，连 ,EF AF ， 则 1 / / 2 EF BC EF BC=且 ， 所以 / /EF DA EF DA=且 ， 所以四边形 EFAD 是平行四边形， 所以 / /ED FA ， 又 ED PAB面 ， 所以 / /ED PAB平面 。 6 分 （2）在平面 PAD 内过 A 作直线 AM 垂直于 AD 由已知 AB AD AB PA⊥ ⊥且 又 AD PA A= 所以 AB PAD⊥面 ，故 AB AM⊥ Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025 届高三第三次联考 数学参考答案 第 2 页 共 7 页 A B C D E P x y z 由 AM AB AM AD AM ABCD AB AD A ⊥   ⊥  ⊥ =  面 8 分 以 A 为原点， , ,AB AD AM 分别为 , ,x y z 轴建系， 则 1 3 (1,0,0), (1,2,0), (0,1,0), (0, , ) 2 2 B C D P − ， 由 2 3 CE CP= ，得 1 1 3 ( ) 3 3 3 E ，， ， 所以面 BCD的法向量为 1 (0,0,1)m = ， 10 分 面 BDE 的法向量为 2 ( 3 31)m = ， ，， 12 分 得 1 2 1 2 1 cos 7 m m m m   = = ， 所以平面 EBD 与平面CBD 夹角的余弦值为 7 7 15 分 17．解： （1） 1( ) ( 1) 1xf x x e − = + − ， 2 分 所以 (1) 1f  = ， 所以切线方程为 1y x= − 5 分 （2）方法一：由已知 1( 1) ln 0xx e x ax x− −  + 且 ， 则 1( 1) lnxx e x a x − − −  ， 7 分 令 1( 1) ln ( ) xx e x g x x − − − = ，则 2 1 2 ln 1 ( ) xx e x g x x − + −  = ， 9 分 令 2 1( ) ln 1, (1) 0xh x x e x h−= + − = ， 2 1 1( ) (2 ) 0xh x x x e x − = + +  ， 所以 ( )g x 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, )+ 上单调递增， 所以 (1) 0a g = 。 15 分 Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025 届高三第三次联考 数学参考答案 第 3 页 共 7 页 方法二：令 1( ) ( 1) lnxg x x e x ax−= − − − ，则 1 1 ( ) ( 1) 1xg x x e a x − = + − − − ， 令 1 1( ) ( 1) 1xh x x e a x −= + − − − ，则 1 2 1 ( ) ( 2) 0xh x x e x − = + +  ， 所以 ( )h x 在 (0, )+ 上单调递增， 又 0x → 时， ( )h x →−， x →+时， ( )h x →+， 所以存在 0 (0, )x  + ，使 0( ) 0h x = ， 9 分 即 ( )g x 在 0(0, )x 上单调递减，在 0( , )x + 上单调递增， 所以 0 1 0 0 0 0( ) ln ( 1) 0 x g x x e x a x − = − − +  ， 即 0 0 1 1 0 0 0 0ln ( 1) 1 0 x x x e x x x e − − − − + +  ， 即 0 12 0 0ln 1 0 x x e x − + −  ， 令 2 1( ) ln 1xm x x e x−= + − ，则 2 1 1 ( ) ( 2 ) 0xm x x x e x − = + +  ， 又 (1) 0m = ，所以 00 1x  ， 所以 0 1 0 0 1 1 ( 1) 1 x a x e x − + = + −  ，即 0a  。 15 分 方法三：由已知 0x  ，又 1x = 时不等式成立，得 0a  7 分 当 0a  时， ln lnx ax x+  令 1( ) ( 1) lnxg x x e x−= − − ，则 9 分 1 1 11 1( ) 1 ( 1)( )x x xg x e xe x e x x − − − = − + − = + − 1 1( ) xh x e x −= − 在 (0, )+ 上单调递增，且 (1) 0h = 所以 ( )g x 在 (0,1) 上递增，在 (1, )+ 上递减 所以 ( ) (1) 0g x g = ，即 1( 1) lnxx e x− −  所以当 0a  时， ( ) lnf x x ax + 恒成立 综上，a的范围为 0a  15 分 Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025 届高三第三次联考 数学参考答案 第 4 页 共 7 页 方法四：先证明 1xe x + ， 9 分 则 1 ln 1 ln lnx x xxe e x x x x ax− + −=  +  + + 即 0ax  ， 0x  ，所以 0a  。 15 分 18．解： （1）由已知 1 2 3 c a a c  =   + = ，得到 2, 1a c= = ， 3b = ， 所以椭圆方程为 2 2 1 4 3 x y + = 。 4 分 （2）①由已知点 1 4 ( ,0)P x ， 1 4 1FP x = − ， 5 分 又 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 ( 1) 2 1 3 ( 2) 2 4 2 2 FM x y x x x x x= − + = − + + − = − = − ， 所以 1 1 4 4 2 9 4 2 9FP FM x x − = + −  − ， 当且仅当 1 2x = 时取等号，所以 4FP FM− 的最小值为4 2 9− 9 分 ②由已知设直线 2 21( 0) ( , )MN x my m N x y= + ： ， ， 由 2 2 1 1 4 3 x my x y = +   + =  消元得 2 2(3 4) 6 9 0m y my+ + − = ， 则 1 2 1 22 2 6 9 , 3 4 3 4 m y y y y m m − − + = = + + ，所以 1 2 1 2 3 ( ) 2 my y y y= + 11 分 方法一： 1 2 2 : ( 2) 2 A N y l y x x = + + ， 2 1 1 : ( 2) ( 2) MA y l y x x = − − ， Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025 届高三第三次联考 数学参考答案 第 5 页 共 7 页 所以 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( 2) 2 ( 2) 4 2 6 ( 2) ( 2) 3 Q y x y x my y y y x y x y x y y − + + − + = = + − − + 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 6 6 2 6 12 4 4 3 3 y y y y y y y y y y + − + + = = = + + 14 分 即点 1 1 2 (4, ) 2 y Q x − ，所以直线 PQ的方程为 1 1 1 1 1 4 ( ) 2( 2)( 1) x y y x x x x = − − − 与直线MN 联立，得 1 1 1 1 1 4 ( ) 1 2( 2)( 1) mx y x x x x x = − + − − 即 1 1 1 1 1 42 ( 1) 1 2( 2) 2 2 x x x x x x − − = − = − − − ，解得 2x = ， 即点 R 在直线 2x = 上。 17 分 方法二： 1 2 2 : ( 2) 2 A N y l y x x = + + ， 2 1 1 : ( 2) ( 2) MA y l y x x = − − 则 1 2 1 2 2 1 2 1 ( 2) ( 3)2 2 ( 2) ( 1) y x y myx x y x y my + ++ = = − − − 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3 3 9 3 3 2 2 2 2 3 3 1 3 1 2 2 2 2 y y y y y y y y y + + + = = = + + 所以 4Qx = 14 分 以下同方法一 方法三：由定义可知 1 2 3 4 A N A Nk k = − ， 又 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 ( 1)( 1) A M A N y y y y k k x x my my  =  = − − − − 1 2 2 1 2 1 2 9 ( ) 1 4 y y m y y m y y = = − − + + ， 所以 1 2 1 3 A N A M k k = ,设直线 1 : ( 2)A N y k x= + ，则直线 2 : 3 ( 2)A M y k x= − Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025 届高三第三次联考 数学参考答案 第 6 页 共 7 页 所以点 1 1 2 (4, ) 2 y Q x − ， 14 分 以下同方法一。 19．解： （1）① 4 9 2 a = 2 分 ② 4 6a = 4 分 （2）分类讨论： ①若 1A 为“等差组”，则设 1 2 31, 1 , 1 2a a d a d= = + = + ， 若 2A 为“等差组”，则 2(1 2 ) 1 4d d+ = + + ，可解出 1d = ， 若 2A 为“等比组”，则 2(1 2 ) 4(1 )d d+ = + ，可解出 3 2 d =  （负值舍去） 6 分 ②若 1A 为“等比组”，则设 2 1 2 31, ,a a q a q= = = 若 2A 为“等差组”，则 22 4q q= + ，可解出 1 33 4 q  = （负值舍去） 若 2A 为“等比组”，则 4 4q q= ，可解出 3 4q = ， 8 分 由此可见， 1 4a a 的取值可能共有 4 种，而 5 10a a 的取值同时取决于 3 10A A 是“等差组” 还是“等比组”，故总可能为 84 2 1024 = 种。 10 分 （3）由 1 21, 2a a= = 及任意相邻三项成“等差组”或“等比组”，可知符合要求的 12 项的正项数列仅 有有限种。不妨设 1 2 12, , ,a a a ，使 12a 取到最大，我们证明：前 5 组相邻三项为“等比组”， 后 5 组相邻三项为“等差组”。 反证法：假如不然，易知存在  1,2, ,9i 使得 1 2( , , )i i i iA a a a+ += 为“等差组”， 且 1 1 2 3( , , )i i i iA a a a+ + + += 为“等比组”，即有 1 22 i i ia a a+ += + ，且 2 2 1 3i i ia a a+ + += ， 我们令 1 2 12 1 2 1 2 3 12( , , , ) ( , , , , , , , , )i i i ia a a a a a a a a a  + + +   = ， 其中 2 2 1 2 2 2 ( ) 1 4 i i i i i i i a a a a a a a  + + + + + = =  ，此时， 2 1 1 2 1 2 1( , , ) ( , , ) ( , , ) i i i i i i i i i i a a a a a a a a a a  ++ + + + +   = = 为“等比组” 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2( , , ) ( , , ) ( , , ) i i i i i i i i i i i i i i i a a a a a a a a a a a a a a a   + + ++ + + + + + + +   = = 为“等差组”， 而对于  1,2, ,10 ( 1)j i i +不含 和 ， 1 2( , , )j j ja a a+ +   与 1 2( , , )j j ja a a+ + 同为“等差组”或“等比 组”，这意味着 1 2 12, , ,a a a  的所有 10 组相邻三项中，也恰有 5 组“等差组”和 5 组“等比组”， 故为符合要求的数列，但 12 12 12a a a =  ，与 12a 的最大性矛盾。 15 分 所以 12a 取到最大，当且仅当前 5 组相邻三项为“等比组”，后 5 组相邻三项为“等差组”， Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025 届高三第三次联考 数学参考答案 第 7 页 共 7 页 即 1 2 12( , , , ) (1,2,4,8,16,32,64,96,128,160,192,224)a a a = ， 故 12a 最大可能值为 224。 17 分