精品解析：内蒙古赤峰曾军良实验学校（赤峰四中桥北新校）2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

赤峰曾军良实验学校（赤峰四中桥北新校） 2024-2025学年度下学期期中考试 高二数学 注意：请把数学答案写在答题卡上，留好试卷以备考后讲评. 第I卷（选择题） 一、单项选择题： 本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错0分. 1. 电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ） A. B. 27 C. D. 6 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表： -2 -1 1 2 3 24 36 40 48 56 且回归方程为，则当时，的预测值为（ ） A. 59.5 B. 60.5 C. 61.5 D. 62.5 4. 袋中装有5个红球、10个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球后则另外换1个红球放回袋中，直到取得红球为止.若抽取的次数为，则表示事件“放回3个红球”的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量X的分布列如图所示，若Y＝3X＋2，则（ ） X 0 1 P A. B. 2 C. D. 4 6. 若，则的值是（ 　 ） A. B. 127 C. 128 D. 129 7. 从中依次不放回地取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 甲、乙、丙、丁、戊五个人并排站在一起拍照，下列说法错误的是（ ） A. 若甲站正中间，则共有24种排法 B. 若甲、乙相邻，则共有36种排法 C. 若甲不站两端，则共有48种排法 D. 若甲、乙、丙各不相邻，则共有12种排法 10. 已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A. B. C. D. 11. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下列关于函数的结论正确的是（ ） -1 0 2 4 5 1 2 0 2 1 A. 函数的极值点的个数为3 B. 函数的单调递减区间为 C. 若时，的最大值是2，则t的最大值为4 D. 当时，方程有4个不同的实根 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题 5分，共15分） 12. 在某项测量中，其测量结果服从正态分布，且，则_____________． 13. 某综合性大学数学系为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有______种不同的选修方式可选．（用数字填写答案） 14. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是______． 四、解答题 15. 设函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值和最小值． 16. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2. （1）求n的值； （2）求展开式中含的项的系数； （3）设，则当时，求a除以15所得余数. 17. 为了推动足球运动的发展，某足球比赛允许不同俱乐部的运动员参加．现有来自甲俱乐部的运动员4名，其中知名选手2名；乙俱乐部的运动员5名，其中知名选手3名．从这9名运动员选择5名参加比赛． （1）求选出的5人中恰有2人是知名选手，且这2名知名选手来自同一俱乐部的概率； （2）设随机变量X为选出的5人中知名选手的人数，求X的分布列与数学期望． 18. 河北省高考从2018年秋季高中入学的新生开始新模式，即模式；2021年开始，高考总成绩由语数外＋物理、历史（选1门）＋化学、生物、政治、地理（选2门）等六门科目构成．现将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、、B、、C、、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布． （1）求化学原始成绩在区间的人数； （2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间的人数，求X的分布列和数学期望． （附：若随机变量，则，，） 19. 已知函数，当时，有极大值． （1）求实数a，b的值； （2）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰曾军良实验学校（赤峰四中桥北新校） 2024-2025学年度下学期期中考试 高二数学 注意：请把数学答案写在答题卡上，留好试卷以备考后讲评. 第I卷（选择题） 一、单项选择题： 本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错0分. 1. 电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ） A. B. 27 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理易得答案. 【详解】分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成种颜色. 故选：A. 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数后代入计算. 【详解】由已知， 所以， 故选：B. 3. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表： -2 -1 1 2 3 24 36 40 48 56 且回归方程为，则当时，的预测值为（ ） A. 59.5 B. 60.5 C. 61.5 D. 62.5 【答案】A 【解析】 【分析】计算，由回归直线经过样本中心点，列方程求出，再预报时的预测值. 【详解】，， 因为回归直线经过点， 所以 所以， 故当时的预测值为. 故选：A. 4. 袋中装有5个红球、10个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球后则另外换1个红球放回袋中，直到取得红球为止.若抽取的次数为，则表示事件“放回3个红球”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到“放回3个红球”表示的含义，由此即可得到答案. 【详解】因为“放回3个红球”表示前3次摸到的都是黑球，第4次摸到红球， 所以X=4. 故选：C 5. 已知随机变量X的分布列如图所示，若Y＝3X＋2，则（ ） X 0 1 P A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算，再根据方差公式，即可求解. 【详解】由分布列可知，， 则， ，所以. 故选：B 6. 若，则的值是（ 　 ） A. B. 127 C. 128 D. 129 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法计算可得. 【详解】解：因为， 令，可得， 令，可得， 所以； 故选：D 7. 从中依次不放回地取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率的定义和古典概型计算. 【详解】第一次取到的是偶数有：，共有种方法，在第一次是偶数的条件下， 第二次取到的是3的倍数共有11种方法， ； 故选：A. 8. 若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得函数在上有两个不同的零点等价于曲线和在上有两个不同的交点，设，，利用导数说明函数的单调性，求出极大值与端点处函数值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，令，即，则， 所以函数在上有两个不同的零点等价于曲线和在上有两个不同的交点， 设，，，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，当时，，且时，， 故的取值范围为. 故选：D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 甲、乙、丙、丁、戊五个人并排站在一起拍照，下列说法错误的是（ ） A. 若甲站正中间，则共有24种排法 B. 若甲、乙相邻，则共有36种排法 C. 若甲不站两端，则共有48种排法 D. 若甲、乙、丙各不相邻，则共有12种排法 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，采用特殊元素优先法；对于B，采用捆绑法；对于C，采用特殊元素优先法；对于D，采用插空法. 【详解】若甲站在最中间，有种排法，A正确； 若甲、乙两人相邻站在一起，共有种排法，B错误； 若甲不站最边上，则共有种排法，C错误； 若甲、乙、丙各不相邻，则共有种排法，D正确． 故选：BC. 10. 已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D. 【详解】对B，，B正确； 对A，，，A错误； 对C，，，C正确； 对D， ，D正确. 故选：BCD. 11. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下列关于函数的结论正确的是（ ） -1 0 2 4 5 1 2 0 2 1 A. 函数的极值点的个数为3 B. 函数的单调递减区间为 C. 若时，的最大值是2，则t的最大值为4 D. 当时，方程有4个不同的实根 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：由的图象可知，当时，，再由导函数的符号可判断； 对于B：由图象得当时，，当时，，根据导函数的符号与函数的单调性之间的关系可判断； 对于C：由时，函数的最大值是2可判断； 对于D：作出函数的大致图象可判断． 【详解】解：对于A：由的图象可知，当时，，且当时，，当时，，当时，，当时，，所以0，2，4是函数的极值点，故A选项正确； 对于B：由导函数的正负与函数之间的关系可知，当时，，当时，，所以函数的单调递减区间为，，故B选项错误； 对于C：当时，函数的最大值是2，而的最大值不是4，故C选项错误；对于D：作出函数的大致图象如图所示，当时，直线与函数的图象有4个交点，故D选项正确． 故选：AD． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题 5分，共15分） 12. 在某项测量中，其测量结果服从正态分布，且，则_____________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求概率即可. 【详解】由题设，，而， 又，故， 所以. 故答案为： 13. 某综合性大学数学系为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有______种不同的选修方式可选．（用数字填写答案） 【答案】 【解析】 【分析】先按和两种情况分成三组，再分配到三年去即可. 【详解】由题意可知三年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门， 则四门学科可按和两种情况分成三组， 若按分成三组，有种分组方法， 若按分成三组，有种分组方法， 所以每位学生共有种不同的选修方式可选． 故答案为：. 14. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断的单调性，进而利用换元即可求解. 【详解】令，， 则由题意可得在上恒成立， 所以在上单调递减， 又因为， 所以当时，，当时，， 令，则，即的解集为， 所以，解得， 综上， 故答案为： 四、解答题 15. 设函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程； (2) 利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值. 【小问1详解】 由题意知，，即切点为， 由已知，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故在点处的切线方程为： 【小问2详解】 令，即得或， 令，则得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点为，，因为 ,, 故在区间上的最大值为，最小值为. 16. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2. （1）求n的值； （2）求展开式中含的项的系数； （3）设，则当时，求a除以15所得余数. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的比值，列式计算即可； （2）写出通项公式，通过赋值，即可求得含项的系数； （3）将改写为，将其展开，即可求得除以所得余数. 【小问1详解】 根据题意，，即，又，故. 【小问2详解】 ， 其展开式的通项公式，， 令，解得，则， 故展开式中含的项的系数为：. 【小问3详解】 当时，， ， 而能够被整除， 故a除以15所得余数为. 17. 为了推动足球运动的发展，某足球比赛允许不同俱乐部的运动员参加．现有来自甲俱乐部的运动员4名，其中知名选手2名；乙俱乐部的运动员5名，其中知名选手3名．从这9名运动员选择5名参加比赛． （1）求选出的5人中恰有2人是知名选手，且这2名知名选手来自同一俱乐部的概率； （2）设随机变量X为选出的5人中知名选手的人数，求X的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列： X 1 2 3 4 5 P 【解析】 【分析】（1）结合概率公式计算即可得； （2）根据随机变量X的可能取值逐一计算相应概率可得分布列，即可得期望. 【小问1详解】 设“选出的5人中恰有2人是知名选手且这2名知名选手来自同一俱乐部”为事件A， 则； 【小问2详解】 由题意可知，X的取值可能为1，2，3，4，5． ， ， ， ， ， 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P . 18. 河北省高考从2018年秋季高中入学的新生开始新模式，即模式；2021年开始，高考总成绩由语数外＋物理、历史（选1门）＋化学、生物、政治、地理（选2门）等六门科目构成．现将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、、B、、C、、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布． （1）求化学原始成绩在区间的人数； （2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间的人数，求X的分布列和数学期望． （附：若随机变量，则，，） 【答案】（1）1637（人） （2） X 0 1 2 3 P ． 【解析】 【分析】（1）根据物理原始成绩，结合正态分布的对称性求解即可； （2）由题意，再列出分布列，结合二项分布的数学期望求解即可. 【小问1详解】 因为物理原始成绩， 所以 ． 所以化学原始成绩在的人数为（人）． 【小问2详解】 由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间内的概率为． 所以随机抽取三人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，且， 所以，， ，． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以数学期望． 19. 已知函数，当时，有极大值． （1）求实数a，b的值； （2）当时，证明：． 【答案】（1） （2） 证明：令，要证，即证， 由（1）知，即证，即证， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，即. 故当时，. 【解析】 【分析】（1）利用极大值的定义可得即可求解； （2）令，要证，即证，即证，令，利用导数分析的单调性及最值，继而即可求解. 【小问1详解】 ， 又当时，有极大值， 所以，解得. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $