精品解析：辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试卷

滨城高中联盟2024~2025学年度下学期高一5月份考试 数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟． 命题人：大连市第一中学 胡冬梅 校对人：大连市第一中学 王丹 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 设，则“是第一象限角”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4. 已知，，则的值为 A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A B. C. D. 6. 已知角为的一个内角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 当时，取得最大值，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为（ ）. A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 是边长为3等边三角形，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 10. 计算下列各式值，其结果为1的有（ ） A. B. C D. 11. 函数部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上无对称中心 C. ，若恒成立，则的最小值为 D. 已知是函数在上的两个零点，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12 已知，，且，，求=________. 13. 先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，则不等式的解集为___________． 14. 已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量 （1）已知且，求 （2）已知，且，求向量与向量的夹角． 16. 已知函数． （1）化简； （2）若，求的值． 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于两点，点． （1）若点，求的值； （2）若，求． 18. 大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设． （1）试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）当时，求加温带的长； （3）为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用． 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围； （3）若函数在上有3个零点,求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨城高中联盟2024~2025学年度下学期高一5月份考试 数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟． 命题人：大连市第一中学 胡冬梅 校对人：大连市第一中学 王丹 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，结合特殊角的三角函数值，即得答案. 【详解】， 故选：A 2. 设，则“是第一象限角”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】充分性：若是第一象限角，则, ,可得，必要性：若，不是第三象限角，，，则是第一象限角，“是第一象限角”是“”的充分必要条件，故选C. 【方法点睛】本题通过任意角的三角函数主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 3. 已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设扇形的弧长为，半径为，由题意可知，再利用基本不等式，即可求出扇形的周长最小值. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 所以扇形的面积为，所以， 又扇形的周长为，所以，当且仅当，即时，取等号. 故选：D 4. 已知，，则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得： 本题选择C选项. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式展开后求得，然后求得，再由二倍角公式计算． 【详解】，又，则， 所以， ， 故选：A． 6. 已知角为的一个内角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件分析的范围，再利用求出，再利用二倍角公式即可求解. 【详解】因为为三角形内角，所以，所以， 又因为，且， 所以，所以， 所以， 由二倍角公式有： . 故选：A 7. 当时，取得最大值，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简，求得其取得最大值时的取值情况，再求其正切值即可. 【详解】因为 ， 故当取得最大值时，若，则， 则 ， 则. 故选：C. 8. 已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算得到，再使用平面向量数量积运算法则进行计算. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据向量线性运算求解判断；对B，根据向量的数量积及运算律和模的计算判断；对C，由向量数量积及运算律求解判断；对D，由向量投影的定义求解判断. 【详解】如图： 对于A，，故A错误； 对于B，， 所以，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，在上的投影向量是，故D正确. 故选：BCD. 10. 计算下列各式值，其结果为1的有（ ） A B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二倍角公式、诱导公式及和差角公式一一判断即可. 【详解】对于A： ，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：因为， 所以， 所以 ，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：AD 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上无对称中心 C. ，若恒成立，则的最小值为 D. 已知是函数在上的两个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数图像即可算出函数的周期，由,即可求出，再代入一个最高点即可求出函数的解析式，即可判断A；由图像的平移变换即可求得变换后的图像，求出函数的对称中心，即可判断B；通过分离参数，构造新函数，再利用三角函数知识即可求得的最小值，即可判断C，利用两角差的余弦公式计算可得D. 【详解】对于A：由题意知，，， 则，又，， 即， （），（）， 又，，，故A正确； 对于B：把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变， 得到的函数，令，解得， 所以函数在的对称中心为，故B错误； 对于C：对，恒成立， 即，对恒成立， 令，，则，， ，，， 的最小值为，故C正确； 对于D：由， 因为是函数在上的两个零点， 因为，则，则，， 所以，， 所以 ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，，且，，求=________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，，且，，求得，，再利用两角差的正弦公式求解. 【详解】因为，，且，， 所以，， 则， ， 因为，， 所以， 所以， 故答案为： 13. 先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则得到解析式，再根据正切函数的性质解得即可. 【详解】将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到， 再将向左平移个单位长度后可得， 由，即， 则， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是______. 【答案】##5.25 【解析】 【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案. 【详解】函数的最小正周期且，得， 由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得， 综上，， 又关于直线对称，所以，解得，， 在的范围内，满足条件的值为和和， 验证可知，这三个值均满足函数在上单调， 因此，符合要求所有值的和为 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量 （1）已知且，求 （2）已知，且，求向量与向量的夹角． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，得到方程，解出即可； （2）由题意得，利用向量数量积运算律及定义得，解出即可 【小问1详解】 由，所以设 又得，解得， 所以或 【小问2详解】 由题知，，，， 所以， 所以 所以 所以 所以 因为 所以向量与向量的夹角为. 16. 已知函数． （1）化简； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）首先可得，利用诱导公式求出，再由诱导公式及同角三角函数的基本关系求出，即可得解. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 因为，所以， ， ， 因为，所以，所以， 故，因此． 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于两点，点． （1）若点，求的值； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用定义求出，再将，利用两角和额余弦公式进行求解即可； （2）将，从而利用两角和的正弦公式进行求解即可． 【小问1详解】 因为是锐角，且在单位圆上， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 且， 所以，可得，且， 所以 ． 18. 大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设． （1）试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）当时，求加温带的长； （3）为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用． 【答案】（1），； （2）． （3）当米时，照明装置费用最低，最低费用为元． 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形边角关系列式求出函数关系及定义域. （2）由（1）的结论，利用正余弦齐次式法计算得解. （3）确定费用最低的条件，并设，利用辅助角公式及和和角的正弦公式求出的范围，再借助函数单调性求出最小值. 【小问1详解】 在中，由，得，， 又中，由勾股定理得， 因此， 当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，， 所以函数关系式为，定义域为. 【小问2详解】 由（1）知， 因此， 于是. 【小问3详解】 依题意，要使费用最低，只需最小即可， 由（1）得， 设，则，， ，由，得， ，于是， 令，函数在上为增函数， 则当时，最小，且最小值为，此时， 所以当米时，照明装置费用最低，最低费用为元． 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围； （3）若函数在上有3个零点,求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得，再由最小正周期为，求得，即可得到的解析式； （2）利用指数函数和正弦函数的性质可得，的值域，再根据值域的包含关系列不等式组求解即可； （3）由题意，令，则函数有两个零点，且的图象与直线，共有3个公共点，结合的图象求的取值范围即可. 【小问1详解】 因为 ， 函数的最小正周期为，又，则，所以， 所以. 【小问2详解】 因为是增函数，当时， 当时，，则， 所以， 由题意可知， 则解得，即的取值范围为． 【小问3详解】 （3）令，由（2）知当时，，即， 则函数有两个零点， 且的图象与直线，共有3个公共点， 由的图象可知，当，时，，得， 由，得，，符合题意． 当，时，，解得， 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $