精品解析：河北省唐山市丰南区2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

河北省唐山市丰南区2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 是虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知非零向量不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（ ） A. 垂直 B. 共线 C. 不垂直 D. 以上都可以 3. 若复数的实部与虚部互为相反数，则 A. B. C. D. 2 4. 如图，已知，则（ ） A. B. C D. 5. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列命题正确的是（ ） A. 平面 B. 与相交 C. 与是异面直线 D. 四边形为正方形 6. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知,则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 7. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. 16 B. C. 18 D. 二、多选题 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 的相反向量是 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 若，则 10. 已知是两个不重合平面，是两条不重合直线，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则与是异面直线 B. 若，则平行于内无数条直线 C 若，则 D. 若，则与一定相交 11. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则以下说法正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 若，则外接圆半径为 D. 若周长为15，则内切圆半径为 三、填空题 12. 已知两个单位向量满足则夹角为______ 13. 河北省邢台市又称卧牛城，其卧牛雕像现坐落于达活泉公园．如图，为了测量卧牛雕像的高度，选取了与该雕像底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在点C处测得点A的仰角为，，，，则卧牛雕像的高度______m．（参考数据：取，） 14. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3）．则该箱中有这样的陀螺__________个．如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，则共需涂颜料_________ 四、解答题 15. 已知平面向量. （1）若，求向量坐标； （2）若，求的值； （3）若向量，若与共线，求的值. 16. 如图，在平面四边形ABCD中，，． （1）若，，求的值； （2）若，，求三角形ABD的面积． 17. 如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，为的中点，侧棱长为3. （1）证明：平面； （2）求该正四棱台的表面积. 18. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，角的平分线交于点，的周长为15，求的长． 19. 如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. （1）判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） （2）求证：平面； （3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北省唐山市丰南区2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 是虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法法则直接求解即可 【详解】， 故选：B 2. 已知非零向量不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（ ） A. 垂直 B. 共线 C. 不垂直 D. 以上都可以 【答案】A 【解析】 【分析】由与的数量积判断. 【详解】因为， 所以， 故选：A 3. 若复数的实部与虚部互为相反数，则 A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据复数除法法则(分子分母同时乘以分母的共轭复数)得，因为该复数的实部与虚部互为相反数，所以，故选C 考点：复数除法 相反数 4. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出． 【详解】由，得，而， 所以. 故选：A. 5. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列命题正确的是（ ） A. 平面 B. 与相交 C. 与是异面直线 D. 四边形为正方形 【答案】A 【解析】 【分析】由空间中线面的位置关系逐个判定即可. 【详解】因为分别为的中点，在正方体中易证平面，不在平面内，所以平面，A对， 在平面内，与平面相交于点，不在上，所以与为异面直线，B错， 因为分别为的中点，易知， 所以与共面，C错， 设正方体的棱长为2，易知，， ， 所以四边形为菱形而不是正方形，D错， 故选：A． 6. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知,则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测法判断的形状，并求出各边边长，即可求周长. 【详解】由题设知：原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：B 7. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得到，从而求出、. 【详解】因为，由正弦定理可得， 即，又，所以， 因为且，所以，所以 又，所以，. 故选：B 8. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. 16 B. C. 18 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先作出平面截正方体的截面，再根据截面的形状和性质，求截面的面积. 【详解】取的中点的中点，连接，，， ，所以四点共面， 如图所示. ，且平面，平面， 所以平面， 因为，且， 所以四边形是平行四边形，则， 且平面，平面， 所以平面， 且，平面， 所以平面平面，所以四边形即为平面截该正方体所得截面， 易得， 所以四边形的面积. 故选：C. 二、多选题 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 的相反向量是 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相反向量定义以及投影向量的公式计算可以判断AC，计算，由向量垂直以及向量共线的运算法则计算可求出的值，从而判断BD. 【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确； 对于B，因为，所以， 又，且，所以，解得，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为，又，且， 所以，解得，故D错误． 故选：AC. 10. 已知是两个不重合平面，是两条不重合直线，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则与是异面直线 B. 若，则平行于内的无数条直线 C 若，则 D. 若，则与一定相交 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，可得与平行或异面；对B，根据平行线间传递性可得；对C，根据平面平行的性质可得；对D，可判断当时，. 【详解】对A，若，则与平行或异面，故A错误； 对B，若，则平面内所有与平行的直线都与平行，故B正确； 对C，若，则平面内所有直线都与平行， 因为，所以，故C正确； 对D，若，当时，，故D错误. 故选：AD 11. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则以下说法正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 若，则外接圆半径为 D. 若周长为15，则内切圆半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件求得三边关系；对A：利用正弦定理即可直接求得；对B：判断为最大角，根据余弦定理判断的正负即可；对C：根据正弦定理直接求解即可；对D：根据等面积法，结合三角形面积公式即可求得. 【详解】因为，由正弦定理可得：，又，故可得， 设，则； 对A：，故A正确； 对B：根据大边对大角，为最大角，又，则， 又，故为锐角，则△为锐角三角形，故B错误； 对C：由B知：，为锐角，故， 又，设外接圆半径为，由正弦定理可得：，则，故C正确； 对D：若周长为15，即，则，故， 设内切圆半径为，则，即，解得，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知两个单位向量满足则的夹角为______ 【答案】 【解析】 【分析】两边平方，结合数量积运算公式得到方程，求出夹角. 【详解】两边平方得， 设的夹角为， 即， 因为单位向量，所以，解得， 因，所以. 故答案为： 13. 河北省邢台市又称卧牛城，其卧牛雕像现坐落于达活泉公园．如图，为了测量卧牛雕像的高度，选取了与该雕像底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在点C处测得点A的仰角为，，，，则卧牛雕像的高度______m．（参考数据：取，） 【答案】5 【解析】 【分析】在中，利用余弦定理解得，进而在中运算求解即可. 【详解】在中，因为， 由余弦定理可得， 即， 在中，可得， 所以卧牛雕像的高度m. 故答案：5. 14. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3）．则该箱中有这样的陀螺__________个．如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，则共需涂颜料_________ 【答案】 ①. 40 ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆锥、圆柱的体积公式、表面积公式求出一个陀螺的体积及表面积即可求解. 【详解】由，得， 圆锥部分的体积为，圆柱部分的体积为， 则一个陀螺的体积为，质量为， 所以该箱中共有陀螺个； 由图知，，则圆锥的侧面积为， 圆柱侧面积为，底面面积为， 因此一个陀螺的表面积为， 则， 所以给这箱陀螺的每个表面涂上颜料共需涂的颜料. 故答案为：40； 四、解答题 15. 已知平面向量. （1）若，求向量的坐标； （2）若，求的值； （3）若向量，若与共线，求的值. 【答案】（1） （2） （3）18 【解析】 【分析】（1）利用得出的值，再利用向量坐标的线性运算即可； （2）利用向量平行的坐标运算得出的值，再利用求模公式即可； （3）先计算和的坐标，再利用向量平行的坐标运算得出的值，即可求得. 【小问1详解】 因为，所以，解得，故， 则. 【小问2详解】 因为，所以，则， 则. 【小问3详解】 ，， 若与共线，则， 解得，即， 故. 16. 如图，在平面四边形ABCD中，，． （1）若，，求值； （2）若，，求三角形ABD的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理求出，然后在中利用正弦定理可求得结果； （2）分别在和中利用余弦定理表示出，再由可求出，从而可求出，再求出，然后可求出的面积. 【小问1详解】 在中，，，则由余弦定理得 ， 所以， 在中，，，，所以由正弦定理得 ，得, ，得； 【小问2详解】 在中，，由余弦定理得 ， 在中，，，则余弦定理得 , 因为，所以， 化简得，解得， 所以， 因为，所以， 所以的面积. 17. 如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，为的中点，侧棱长为3. （1）证明：平面； （2）求该正四棱台的表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线性质以及线面平行的判定定理即可证明出结论； （2）由正四棱台的上、下底面边长分别求得上下底面面积以及侧面面积即可得出表面积. 【小问1详解】 连结，交于点，连结. 在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点， 又为的中点， 又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 由已知，梯形中，，，， 过作，交于点， ，， 所以梯形的面积为 正四棱台的表面积为： . 18. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，角的平分线交于点，的周长为15，求的长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）正弦定理边化角结合两角和的正弦公式求解即可； （2）由余弦定理得，再利用等面积结合角分线性质即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，，所以． 在中，由余弦定理可得：，所以． 因为为角的平分线，所以， 因为， 所以， 即，所以． 19. 如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. （1）判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） （2）求证：平面； （3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）直线与直线是异面直线，直线与平面相交 （2）证明见解析 （3）存在，点为棱的中点，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由空间中的线面位置关系，即可判断； （2）取的中点为，连接，即可证明为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可证明； （3）根据题意，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可证明. 【小问1详解】 直线与直线是异面直线；直线与平面相交. 理由如下：因平面,平面, 平面, 故直线与直线是异面直线； 又因平面，因点是的中点，, 故相交，设交点为,则点平面， 又点平面，故直线与平面相交. 【小问2详解】 取的中点为，连接 ∵是棱的中点， ∴且 ∵点是棱的中点， ∴且 ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴. 且平面，平面， 所以平面. 【小问3详解】 当点为棱的中点时，平面平面， 证明：∵分别是棱的中点， ∴，∵ ，∴ ， ∵平面，平面，∴平面， ∵分别是棱的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，平面， ∴平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$