2025届广东省东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、中山纪念中学、珠海一中等六校高三5月联考数学试题

2025届高三·5月·六校联考 数学科试题 (满分150分。考试时间120分钟) 注意事项：1答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号 填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.已知集合A={x2<4},B={x0≤x≤3}，则AUB=() A.[0,2] B.{[02) c.[0,3 D.（-2,3] 2已知名，其中i为虚数单位，则)=() A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 3.双曲线- 京一立=1a>0)两个焦点，5，焦距为8，M为曲线上一点，ME-5,则Ml=（) A.1 B.1或9 C.9 D.3 4.数列{4n}的通项公式为a。=n'+n,则“k2-2“是“{an}为递增数列“的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 5.已知向量a=(2,-2),向量i在a上的投影向量c=(-1,),则ab=(） A,-4 B.-2 C.0 D.2 6.己知函数f(x)的定义域为R,函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数，函数G(x)=f(2+3x)-1为奇函 数，则下列说法错误的是（) A,函数f(x)的一个对称中心为(2，) B.f(0)=-1 C.函数f(x)为周期函数，且一个周期为4 D.f(0+f(2)+f(3)+f(4)=6 1/4 7.已知过点A(a,O)可以作曲线y=(x-1)e的两条切线，则实数a的取值范围是() A.(1,+) B.(-o,-e)U(2,+o) A C.(-0,-2)U(2,+0) D.(-,-3)U(1,+∞) B 8.如图，ABC-A'B'C'为直三棱柱，用一个平行于底面ABC的平面α截此三棱柱， 记下列三个三棱雏A-ABC,ABCB,A”-B'CC在平面a上方的部位体积为V,,, 并记三个三棱锥被平面α截得的面积分别为S,S,S,那么当V+V3=2y时， A C.1 D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方 图如图所示，则下列说法正确的是() ↑频率 组距 A.a的值为0.015 0.035 0.030-- B.估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C.估计总体中成绩落在[80,90)内的学生人数为105 0.010 D.估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为87 05060708090100成绩分 10抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出， 反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.己知抛物线y2=4x的焦点为F, O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l从点P(m,n)n2<4m)射入，经过抛物线上的点A(x,y)反射后， 再经抛物线上另一点B(x,片)反射后，沿直线！射出，经过点N,则下列结论中正确的是() A.点A(x,y)关于x轴的对称点在直线，上 B.若n=2,PB平分∠ABN,则m=5 C.若n=2,则抛物线上不存在点Q,使得QA⊥QB D.存在点P使得点F是△POB的垂心 I山.设有限集合U=(a,a,a,,a},其中m≥4，m∈N,若存在非空集合Mc0，使得M中所有元素 之和与CM中所有元素之和相等，则称集合U是“可拆等和集”，则() A.若集合U={-1,2,5,k}是“可拆等和集”，则k的取值共有6个 B.若集合U中元素满足a=1,a,=2,n∈N,g.2=a1+,则存在m使得U是“可拆等和集” C.存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列{a},使得集合U是“可拆等和集” D.若m=4k+3,k∈N,数列{an}是等差数列且公差d=a,则集合U是“可拆等和集" 2/4 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.圆x2+少2-4x+4y+4=0与圆r+广=4的公共弦长为 13.已知1=L2,则n2g= tana sina 1+cos2a 14.已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D和D,若对任意x∈D,恰好存在n个不同的实数x,x, …,xn∈D2,使得g(x)=f(x)(其中i=1,2…,n,n∈N),则称g(x)为f(x)的“n重覆盖函数若 am2+(2a-2)x-2,-1≤x≤0 g(x)= x-1,x>0 为)-10e:。号的3重覆盖函数，则实数0的取值范围是 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(x)=√3sin2cx-2cos2cx+1. 国若在[0引上单测递增，求e的取值范国： (2)若c=1,f(C)=-1,求a+b的最大值. 16.(15分) 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD,PC⊥CB,ABIICD,AD=DC=CB=1, AB=PD=2. P 0)证明：三面角P-A0-C为经 (2)求平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值. D 17.(15分) 设函数f(x)=ar2-a-lnx,其中a∈R ()讨论f(x)的单调性： (2)确定a的所有可能取值，使得>1-e在区间1，+o内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数) 3/4 18.(17分) 己知某盒子里装有除颜色外完全相同的5个小球，其中2个白球，3个黑球，每轮从盒子中随机取出1个小 球，放回盒子中 (1)若有放回地连续抽取5轮，求5轮取出的白球总数的数学期望： (2)若规定：取出的是白球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中， (I)求在第1轮取出黑球的条件下，第5轮恰好取出所有白球的概率： (Ⅱ)求第n(n≥2)轮恰好取出所有白球的概率. 19.(17分) 设M是由直线构成的集合，对于曲线C,若C上任意一点处的切线均在M中，且M中的任意一条直线都 是C上某点处的切线，则称C为M的包络曲线， (1)圆C,：x2+(y-3)=4是直线族r+m=1(m,n∈R)的包络曲线，求m,n满足的关系式： 3x2 2已知M,的包络曲线为C:之+少=1，设直线1k∈M,且，人与G的公共点分别为4B,记(n=P, 若直线I,1,斜率存在且不为零 (I)若两切线，的斜率之积为1，求点P的轨迹方程厂： (Ⅱ)己知P为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量PA=(x,y),点A绕着点P逆时针旋转0角 后得到点B,则PB=(xcos0-sin0,sin0+cos升，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点 做旋转，则称其为平面的旋转变换，平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二 次曲线为“反比例曲线”.若(1)中的曲线「是“反比例曲线”，过原点O,的直线女-y=0(0<k<)与曲线 「交于点A,将OA绕点A旋转至能在曲线「的渐近线上找到点O,点O满足OA=OA,以此类推， 过点O。(n∈N)作斜率为k的直线交曲线厂于点An,将O。A,绕点A旋转至能在曲线厂的渐近线上找到点 0.,点0满足04，=0A.在△0A0,中，设底边0n0,上的高为h,求∑h. 4/4 2025届高三·5月·六校联考数学科逐题详解 1.【详解】由A={x|x2<4}可得A-{|-2<x<2},又B={x0≤x≤3}， 所以AUB=B={x-2<x≤3}，即为(-2,3]故选：D. 2【详解】由题意知，名”)i,所以=1+i,所以：-=+=1i故选：B 3、解析：由题意可得b2=12,2c=8,即c=4,又a2+b2=c2,即a2=16-12=4→a=2, 由双曲线的定义可得MF-F=2a=4,解得MF=1或9， 又M+MF>2c=8,所以MF=9.故选：C 4.【详解】由题意得数列{a,}为递增数列等价于对任意neN,a1-a。=2n+k+1>0恒成立， 即k>-2n-1对任意neN恒成立，故k>（-21-)=-3 所以k2-2"是{an}为递增数列的充分不必要条件，故选：A 5.【详解1由题意，a=(2-2).c=(←1).则=8c=-a 2 a.b a a-b-ab-1- 所以向量6在a上的投影向量c= 89-、 d= 可同 ,所以a:5-,即a6=4故选：A 82 6.【详解1】函数f(x)=x-1满足题意，故选C 【详解2】对于A.因为G(x)=f(2+3x)-1为奇函数.所以G(-x)=-G(x),即f(2-3x)-1=f(2+3x)-1川， 所以f2-3x)+f(2+3x)=2,所以f(2-x)+f(2+x)=2. 所以函数∫(x)的图象关于点(2，)对称，所以A正确 对于B.在f(2-x)+f八2+x)=2中，令x=0,得2f(2)=2,得f(2)=1. 因为函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数，所以F(-x)=F(x): 所以f(1-x)-(1-x)=f(1+x)-(1+x),所以f1+x)-f1-x)=2x, 令x=1,则f(2)-f(0)=2,所以1-f(0)=2,得f0)=-1,所以B正确， 对于C,因为函数f(x)的图象关于点(2，)对称，f0)=-1,所以f(4)=3,所以f(0)≠f(4), 所以4不是∫(x)的周期，所以C错误 对于D,在f(2-x)+f2+x)=2中令x=1,则f)+f(3)=2, 1/10 令x=2,则f(0)+f(4)=2,因为f(0)=-1,所以f(4)=3, 因为(2)=1，所以f(I)+f(2)+f(3)+f(4)=6,所以D正确.故选：C 7.【解答】解：设切点为(x,%),则片=(：-I)e,y‘=xe',切线斜率k=xoe, 切线方程为y-%=xe(x-xo),代入4(a,0),可得-(xo-l)e=xe(a-xo), 整理可得x-1+a)x0+1=0,由题意可得该方程有两个解，则△=1+a-4>0,即a2+2a-3>0, 解得a>1或a<-3.故a的取值范围为(-0，-3)U(L,+0).故选D 8.由题意知平面a是直棱柱的中截面，故平面a与A'B,A'C,B'C相交于它们的中点处，故选B. 9.【详解】根据频率和等于1得：10a=1-10(0.01+0.035+0.03+0.0)=0.15,∴a=0.015,A正确： 由频率分布直方图可知，众数为75，B正确： 总体中成绩落在[80,90)内的学生人数为：300×0.03×10=90，C错误： 上面各组对应的频率分别为：0.1,015,0.35,0.3,0.1， 故第80百分位数在[80,90)内，设第80百分位数约为x,则：0.03×(90-x)+0.01×10=1-80%, x=86.66≈87，D正确：故选：ABD 10.对于A1,I2的不一定关于x轴对称，故A错误 对于B,当n=2,PB平分∠ABN时，1,2的方程分别为y=2和y=-2,关于x轴对称，此时 1⊥AB,2⊥AB,故PAB故为等腰直角三角形.故PA=AB=4,由AL,2),得P(5,2),故B正确： 对于C,由n=2由得412)，B1,-2),若存在点Q(x%),使得0A1QB,则kokon= 而k=名2=为-2-4 1迈，为+2,9千=24 本-1发-1-2 4 4 所以4.4 另+2一2-1.即元-4=-16，即=-12，显然不符合题意，故C正确： 对于D设P化)则停小，产兴则直线兰小与强物线方程广= -16-4 联立得y-y-=0 6-4 y-4 则以4，所以异则克即质君 若存在点P使得点F是aPOB的垂心，则OF⊥PB. 2/10 则O丽FB=45-飞-4=0,2.且4怀>片>0，③，联立①③，得 x>1, 联立12.得6-x-4=0,则△>0，得5=1+71成立，故D正确；故选BCD 2 11.【详解】对于A项，若M={1},则由“可拆等和集"的定义，有2+5+k=-1,解得k=-8: 若M={2},则由“可拆等和集的定义，有-1+5+k=2,解得k=-2: 若M={5},则由“可拆等和集"的定义，有2-1+k=5,解得片=4： 若M={1,2},则由“可拆等和集”的定义，有5+k=-1+2,解得k=-4: 若M={-1,5},，则由“可拆等和集“的定义，有2+k=-1+5,解得k=2,此时因集合U={-1,2,5,k}已含有 元素2，故舍去： 若M={2,5},则由“可拆等和集”的定义，有-1+k=2+5,解得k=8 若M={-1,2,5},则由“可拆等和集”的定义，有k=-1+2+5=6. 综上可知：k可取-8，-2，-4,6,4,8共6个值，故A正确： 对于B项：当n=6时，U={1,2,35,813},4,+a2+…+a=32,则M内集合元素之和为16，故可以取 M={3,13},M={1,2,5,8},符合题意，故B正确 对于C项，将U中所有元素同时除以a后可得U,=九q,9,…,9}, 根据等比数列前n项和公式，可得1+g+g++g”=上99- 1-9-1 因为g2.所以g-121.0g5孔所以有0 9-1 ≤gm1-1<g- 所以，当M={9}时，CM={九，9,9，…，q}中所有元素之和也小于g, 不满足要求，显然同时乘以a后仍然不满足： 当M,含有g以及g之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以a后仍然不满足 综上所述，不存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列{an},使得集合U是“可拆等和集”，故C错误： 对于D项，易知集合U中的元素个数为4k+3,k∈N”, 3/10 根据等差数列的性质可知，a+a4k3=a2+a4k+2=a3十ak+1=…=a2+a2+3,k∈N”, 共有4+3-=2k+1组（剩余元素为4，从中剔除a1+a之后，剩余2组 2 从这2k组相同的数据中任意选出k组，将对应的元素分到集合M中： d=a,a+az2=a+kd+a+(2k+1)d=a+ka+a+(2k+1)a=(3k+3)a, 而a+3=a+(3k+2)d=(3k+3)a1=ak1+a2k+2, 不妨将a,a+2这两个元素也分到集合M中，则可满足M,M中的元素之和相等故D正确.故选：ABD 12.【详解1】两圆x2+y2-4x+4y+4=0与圆r+y=4均过点(2,0.(0，-2)弦长为25。 【详解2】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程x-y-2=0 121 圆x2+y2=4的圆心0.0)到直线x-y-2=0的距离d= =√2 V2+(-1)2 故公共弦长为2W2-dF=24-2=25,故答案为：2反， 13.【详解】，1=1 -2 cosa=1 2 00s a 1-2sin a, tan a sina sina sina 4 又cos2a+sin2a=1,所以(1-2sina)+sin2a=1→5sin2a-4sina=0=sina=0或sina= 51 由题可知sina=0不合题意，所以sina= '所以cosa=1-2.4 4 4-3 55 sin2a-2sincrcosa sin a=tan a=4 1+cos2a 1+2cos'a-1 cosa 3·故答案为：一3 4详1了付-e异-e+。 e+1 的定义域为R, 即对任意∈R,存在3个不同的实数x,x,x3∈[-1，+o),使得g(x)=f(x)(其中1=1,2,3) e>0.则e+110gh<11ki<20<log+e1, 即8)-oe+。0,).即对任意0<k<Lg)=k有3个实根 当x>0时，g(x)=x-=k已有两个根，故只需-1≤x≤0时，g(x)=k仅有1个根 当a=0时，g(x)=-2x-2∈[-2,0]，不符合题意 当a>0时，g(0)=-2<0,则需满足g(-1)=a-2a+2-221,解得a≤-1，此时a无解， 当a0时，抛物线开口向下，由a<0.可得2,20s-1, 2a 4/10 所以函数g(x)在[-1,0单调递减.又g(0)=-2<0,所以g(-)=a-2a+2-2≥1， 所以as-1,综上，实数a的取值范围是{da≤-1}： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.【详解】(1)f(x)=V3sin2cx-2cos2cx+1=V3sin2cx-cos2cx=2sin 2分 当xe0时.2a-[3g-引 6-63-6 因为y=2sinx在 22 上单调递增 …4分 所以2-所以cs1 …5分 可得c的取值范围为(0，刂，……… .6分 2cel,0<c<.名2c-ggc)-2anc-引-l .7分 C是三角形内角，名2C-名15所以20-吾-g得C- 6 66 3 4…9分 由余弦定理：c2=a2+b2-2 ab cosC 即1=a2+b2-2 abcos 号=a+8+ab-e+-b≥a+6-(g-2a+6. 3 可得a+s号a+6s 3 …412分 当且仅当a:b-5时等号成立，a+b取得最大值2 3 3 …13分 16.(I)证明：在梯形ABCD中，取AB中点M,连接CM, :DC∥AM且DC=AM,.AMCD为平行四边形， .CM=AD=1.CM-B-1 ∴.△ABC为直角三角形，AC⊥CB, 2分 又PC⊥CB,PC∩AC=C,∴BC⊥平面PAC,∴.CB⊥PA, 4分 又，PA⊥AD,且AD必与BC相交，.PA⊥平面ABCD, 六平面PAD⊥平面ABCD,∴二面角P-AD-C为 2 …6分 (2)解：过C作C:∥AP,由(1)知，A⊥平面ABCD,所以C:⊥平面ABCD,则CA,CB,C:两两垂 直，从而可建立以C为原点的空间直角坐标系C一贮如图，……7分 5/10 个 D M 由题意，P50.3，A300,B010,D2-0 则西=(50，亚=@0.而-50.乎-50 9分 设n=(x,y,)是平面PAB的一个法向量， 4”=-5x中y=0,取x1,则m=,50》 则 AP.n=√3：=0 4山…4411分 设2=(xy,)是平面PCD的一个法向量， 则 2x-2=0,取x=1,则n,=山5，-)， 44444413分 Cp.n2=V3x+√3：=0 设平面PAB与平面PCD夹角为B, coso-lcos1425 1%川n455 平面PHD与平面P8C夹角的余弦值为25 …15分 17.【答案】解：0由题意，f)=2m-1- 2ax2-1 ,X>0,………4…1分 ①当a≤0时，2ar2-1<0,f'(x)<0,f(x)在(0，+o)上单调递减. ,2分 ②当a>0时， 2a(x+ -(x- f"(x)= 4……3分 当xe0,2a 时，)<0，当re2+o)时，广)>0， 6/10