精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

东北师大附中2024-2025学年下学期高一年级期中考试 数学科试卷 考试时长：120分钟 试卷总分：120分 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　） A. B. C. D. 2. 已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（ ） A 1或 B. C. 或 D. 3. 如图所示的正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 5. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知四边形为平行四边形，，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 设向量，，若函数在区间上恰有个零点，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 10. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在单调递减 B. 函数图象关于中心对称 C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数a的取值范围为 11. 直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ） A. 的取值范围是 B. 点经过的外心 C. 点所在轨迹的长度为2 D. 的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _______． 13. 已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_______． 14. 如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，，，则_______；若，则的最大值为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知向量，满足，． （1）若，求； （2）若，求当k为何值时，． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，D为AC边的中点，求BD的长． 17. 已知，，且，． （1）求的值； （2）求的值． 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，求的面积S的取值范围． 19. 克罗狄斯·托勒密（ptolemy）所著《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形（所有内角都小于的四边形）中，两条对角线的乘积不大于两组对边乘积之和，当且仅当四边形的对角互补（即四边形为圆的内接四边形）时两者相等． 已知圆O是凸四边形ABCD的外接圆，其中． （1）若圆O的半径为r，且， （ⅰ）求的大小； （ⅱ）求的取值范围（用r表示）． （2）若，，求的面积S的最大值以及当S取最大值时AD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东北师大附中2024-2025学年下学期高一年级期中考试 数学科试卷 考试时长：120分钟 试卷总分：120分 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应的点的坐标写出复数的代数形式，结合共轭复数的定义进行求解即可. 【详解】因为复数对应的点的坐标是， 所以，因此， 故选：B 2. 已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（ ） A. 1或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分由三点共线，可得与共线，根据共线向量坐标表示求解. 【详解】因为三点共线，所以与共线， 则，解得或. 故选：A 3. 如图所示的正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用斜二测画法将直观图还原成原图后计算面积即可. 【详解】由题意知，，， 所以，， 直观图还原的原图如图所示， 所以原图形的面积为. 故选：B. 4. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理得，结合已知得，得解. 【详解】因为， 所以， 即，. 故选：D 6. 已知四边形为平行四边形，，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的线性运算及数量积的运算律，得，即可求解. 【详解】因为，则， 又，则，， 所以， 又，，所以， 故选：C. 7. 如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解. 【详解】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 故选：C 8. 设向量，，若函数在区间上恰有个零点，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积坐标运算及辅助角公式，得，令，作出在的图象，根据条件，将问题转化成与在有个交点，利用对称性，可得，再由，即可求解. 【详解】因为，， 则， 又， 所以， 则，令，得到， 令，又，则，又在图象如图， 又因为在区间上恰有个零点，所以与在有个交点， 由图知，又， 则， 又，所以， 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知根据除法运算可得，根据复数模的运算可判断；根据共轭复数和虚部的概念可判断；由复数的四则运算可判断；由虚数不能比较大小可判断. 【详解】因为，所以， 所以，故正确； 因为，所以，所以的虚部为，故错误； ，故正确； 因为虚数不能比较大小，故错误. 故选：. 10. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在单调递减 B. 函数图象关于中心对称 C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数a的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB的正误，利用图像变换可判断C的正误，根据正弦函数的性质可判断D的正误. 【详解】由图象可得，且，故即， 而，故， 因为，故，故， 对于A，当，， 而在上为减函数，故在为减函数，故A正确. 对于B，，故为函数图象的对称轴，故B错误. 对于C，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C正确. 对于D，当时，， 因为函数的值域为，故， 故，故D正确. 故选：ACD. 11. 直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ） A. 的取值范围是 B. 点经过的外心 C. 点所在轨迹的长度为2 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D. 【详解】由，又斜边，则，则，A正确； 若为中点，则，故，又， 所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误； 由上，则， 又，则，当且仅当等号成立， 所以，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角差余弦公式运算即可得解. 【详解】. 故答案为： 13. 已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知求出.结合已知推得，求出，然后即可根据投影向量得出答案. 【详解】由已知可得，. 因为， 所以， 解得或（舍去）， 所以，， 所以，向量在向量方向上的投影向量为，坐标为. 故答案为：. 14. 如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，，，则_______；若，则的最大值为_______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】连接，由已知结合余弦定理可得，，可填第一空；设，在中，有，利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式化简求解可填第二空. 【详解】连接，中，，，    由余弦定理得， 则，所以是等腰三角形，所以， 所以； 设，在中，， 所以是等腰三角形，在中，有， 所以，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以的最大值是. 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，． （1）若，求； （2）若，求当k为何值时，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积运算律，求解作答； （2）利用垂直关系的向量表示求解作答. 【小问1详解】 根据题意，， 所以； 【小问2详解】 因为，即， 即，则， 由， 得， 解得， 所以当时，. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，D为AC边的中点，求BD的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）结合三角恒等变换化简可得，解方程即可求解； （2）由余弦定理可得，再根据，两边完全平方即可求解. 【小问1详解】 因为， ， 所以，解得或， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得， 解得或，因为，所以， 由得， 所以， 所以. 17. 已知，，且，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的范围及可求的值； （2）先求，结合和角公式，求出，根据的范围可得角的大小. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，所以，且； . 因为，所以. 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，求的面积S的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换将式子变形即可求解； （2）由正弦定理可得，根据面积公式结合角的范围即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 所以，所以，因为为锐角三角形，所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 由正弦定理得， 所以， 所以， 由可得，所以，所以， 所以，即. 19. 克罗狄斯·托勒密（ptolemy）所著《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形（所有内角都小于的四边形）中，两条对角线的乘积不大于两组对边乘积之和，当且仅当四边形的对角互补（即四边形为圆的内接四边形）时两者相等． 已知圆O是凸四边形ABCD的外接圆，其中． （1）若圆O的半径为r，且， （ⅰ）求的大小； （ⅱ）求的取值范围（用r表示）． （2）若，，求的面积S的最大值以及当S取最大值时AD的长． 【答案】（1）（ⅰ） （ⅱ） （2）， 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）由正弦定理可解. （ⅱ）设，根据正弦定理求，再把表示出来即可求得范围. （2）由正弦定理可求，的长，由弦表原理可建立与的关系，继而应用基本不等式可求解. 【小问1详解】 如图： （ⅰ）因为圆O是凸四边形ABCD的外接圆， 所以，又，， 所以， 即， 解得，所以. （ⅱ）由（ⅰ）知，，， 设， 所以， ， 整理得，因为， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 如图： ，因为，， 所以， 即， 所以，， ，，, 由弦表原理得：， 即， 所以，（当时取等）， 解得，， 因为， 所以的面积S的最大值，当S取最大值时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$