(四)探究性试题-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·真题与拓展训练

参考答案及重难题解析·陕西数学 新 中 考 试 题 集 训 ∵ n1 =n2, ∴ 滤纸能紧贴此漏斗内壁. (2)由(1)知 CD=DE=CE= 5 cm,∴ ∠CDE= 60°, 如解图①,过 C 作 CF⊥DE 于点 F,则 DF = 1 2 DE = 5 2 (cm), 在 Rt△CDF 中,CF= CD2-DF2 = 5 3 2 (cm), ∴ V=π·( 5 2 ) 2× 5 3 2 × 1 3 = 125 3 24 π(cm3) . 答:滤纸围成圆锥形的体积是 125 3 24 π cm3 . (四)探究性试题 类型一　 代数推理 1.C　 2.1(或 8) 3.9,144　 【解析】当 n = 6 时,从 1,2,3,4,5,6 中,取两个数 的和大于 6,这两个数分别是{6,1},{6,2},{6,3},{6, 4},{6,5},{5,2},{5,3},{5,4},{4,3},∴ k = 5+3+1 = 9; 当 n= 24 时,从 1,2,3…22,23,24 中,取两个数的和大于 24,这两个数分别是:{24,1},{24,2},…,{24,23},{23, 2} { 23, 3}, …, { 23, 22}, { 22, 3}, { 22, 4}, …, { 22, 21},…,{14,11},{14,12},{14,13},{13,12},∴ k = 23+ 21+19+…+3+1= 144. 4.解:假设 4n-2= x2-y2,其中 x,y 均为自然数. 分下列三种情形分析: ①若 x,y 均为偶数,设 x = 2k, y = 2m,其中 k,m 均为自 然数, 则 x2-y2 =(2k) 2-(2m) 2 = 4(k2-m2)为 4 的倍数, 而 4n-2 不是 4 的倍数,矛盾,故 x,y 不可能均为偶数; ②若 x,y 均为奇数,设 x= 2k+1,y= 2m+1,其中 k,m 均为自 然数, 则 x2-y2 =(2k+1) 2 -(2m+ 1) 2 = 4( k2 -m2 +k-m)为 4 的 倍数, 而 4n-2 不是 4 的倍数,矛盾,故 x,y 不可能均为奇数; ③若 x,y 一个是奇数一个是偶数,则 x2-y2 为奇数, 而 4n-2 是偶数,矛盾,故 x,y 不可能一个是奇数一个是 偶数, 由①②③可知,形如 4n-2(n 为正整数)的正整数 N 不能 表示为 x2-y2(x,y 均为自然数) . 类型二　 规律探索型 1.D　 2.D　 3.C 4.解:(1)36,120, n(n+1) 2 ; (2)不能; (3)由题知,前 n 排盆景的总数可表示为 n(n+1), 令 n(n+1)= 420,解得 n1 =-21,n2 = 20. ∵ n 为正整数,∴ n= 20, 即一共能摆 20 排. 类型三　 操作探索型 1.解:(1)如解图,过 B 作 BH⊥AP 于 H, 第 1 题解图 ∵ AB = 60 米,∠PAB = 79°,sin79°≈0.98, cos79°≈0.19, ∴ AH=AB·cos79°≈60×0.19= 11.4(米), BH=AB·sin79°≈60×0.98= 58.8(米), ∵ ∠PAB= 79°,∠PBA= 64°, ∴ ∠APB= 180°-79°-64° = 37°, ∴ tan∠APB= tan37° = BH PH ≈0.75, ∴ PH≈ 58.8 0.75 = 78.4(米), ∴ AP=AH+PH≈11.4+78.4= 89.8(米), 即 A,P 两点间的距离约为 89.8 米; (2)②. 2.解:操作　 (1)EF= 1; (2)∵ △AFE 为等腰直角三角形,EF=AF= 1, ∴ AE= 2EF= 2 ,∴ BE= 2- 2 , ∵ GE=H′G′ = 2 x = 2 ( 2 -1) = 2- 2 ,AH = GH = 2 x = 2- 2 , ∴ BE=GE=AH=GH; 探究　 如解图,以 B 为圆心,BO 为半径画弧交 BC 于 P′, 交 AB 于 Q′,则直线 P′Q′为分割线, 第 2 题解图 此时 BP′= 2 ,P′Q′= 2+2 = 2,符合要求, 或以 C 为圆心,CO 为半径画弧,交 BC 于 P,交 CD 于 Q,则 直线 PQ 为分割线, 此时 CP=CQ= 2 ,PQ= 2+2 = 2, ∴ BP= 2- 2 , 综上:BP 的长为 2或 2- 2 . 类型四　 综合探究 1.解:(1)DM=DN;AC=CE; AB AC =BD CD ; (2)如解图①,过 C 作 CM⊥AD 于点 M,过点 B 作 BN⊥AD 交 AD 的延长线于点 N,则∠CMD=∠BND= 90°, 第 1 题解图① 设 AB=AC= 2a, 在 Rt△ABN 中,∠BAD= 45°, ∴ sin45° = BN AB = 2 2 , ∴ BN= 2 a=AN, 在 Rt△ACM 中,∠CAD= 60°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 44 参考答案及重难题解析·陕西数学 新 中 考 试 题 集 训 ∴ sin60° = CM AC = 3 2 ,∴ CM= 3 a, ∵ ∠CMD=∠BND= 90°,∠BDN=∠CDM, ∴ △BDN∽△CDM,∴ BD CD = BN CM = 2 3 = 6 3 ; (3)如解图②, 第 1 题解图② 作法提示:①作 30°角:先作等边三角形 EFG,再作∠GEF 的角平分线,交 GF 于点 Q; ②构造相似:再作 QO = QE,交 EF 的延长线于点 O,易证 △OQF∽△OEQ,且相似比为 QF QE = 1 3 ; ③作圆:以 O 为圆心,OQ 为半径作圆,则 P 为圆与线段 EF 的交点. (4)延长 CA 到 F,使得∠BFC=∠E=β, ∵ ∠BDF=∠CDE,∴ △DCE∽△DBF, ∴ DE DF =CD BD ,∴ BD·DE=FD·DC, ∵ CD= 1,∴ BD·DE=FD, 过点 B 作 BG⊥AC 于 G, 在 Rt△BAG 中,AB= 5,∠BAG=α, ∴ AG=AB·cosα= 5cosα,BG=AB·sinα= 5sinα, 在 Rt△BFG 中,∠F=β,∴ FG= BG tanβ = 5sinα tanβ , 第 1 题解图③ ①当 0<cosα≤ 3 5 时,点 G 在线段 AD 上(不含 A 点),如解图③, 此时 DG=AD-AG= 3-5cosα, ∴ BD·DE=FD·DC = FD = FG+DG = 5sinα tanβ -5cosα+3; ②当 3 5 < cosα< 1 时,点 G 在线段 AD 的延长线上,如解 图④, 第 1 题解图④ 此时 DG=AG-3= 5cosα-3, ∴ BD·DE = FD·DC = FD = FG- DG= 5sinα tanβ -5cosα+3; 综上所述,BD·DE = 5sinα tanβ -5cosα +3. 2.解:(3)①35°; ②∵ BC= 16.8 m,∴ AE= 16.8 m, 在 Rt△ADE 中,tanα= DE AE , ∴ DE=AE·tanα≈16.8×0.7= 11.76(m), ∴ CD=CE+DE≈13.4(m), 即旗杆的高度 CD 约为 13.4 m. ③∵ 三角板只有 30°、60°的三角板和 45°的三角板,而 B 点 的仰角为 35°, ∴ 三角板测不出仰角 α 的度数; 第 2 题解图 如 解 图, 作 EF = DE, 则 △DEF 为等腰直角三角形, ∠DFE= 45°, ∴ DE=EF≈11.8 m, ∵ AE= 16.8 m, ∴ AF=AE-EF= 5(m), ∴ 向右走 5 m,用 45°直角三角板测量即可(答案不唯一, 向左走用 30°三角板测量也可以) . (五)课题学习型试题 1.【基础应用】 解:∵ ∠B= 75°,∠C= 45°,∴ ∠A= 180°-∠B-∠C= 60°, ∵ ∠C= 45°,BC= 2, BC sinA = AB sinC ,∴ 2 sin60° = AB sin45° , 解得 AB= 2 6 3 ; 【推广证明】 证明:如解图①,作 AD⊥BC 于点 D,作 CE⊥AB 于点 E,连 接 AO 并延长交☉O 于点 F,连接 CF, 第 1 题解图① ∵ a·AD 2 = c·CE 2 , ∴ a·csinB= c·bsin∠BAC, ∴ a sin∠BAC = b sinB , 同理可证, a sin∠BAC = c sin∠ACB , ∴ a sin∠BAC = b sinB = c sin∠ACB , ∵ AF 是直径,∴ ∠ACF= 90°, ∵ ∠B=∠AFC, ∴ sinB=sin∠AFC= b AF = b 2R ,∴ b sinB = 2R, ∴ a sin∠BAC = b sinB = c sin∠ACB = 2R; 【拓展应用】 第 1 题解图② 解:如解图②,连接 DB, ∵ BC= 3,CD= 4,∠C= 90°, ∴ BD= BC2+CD2 = 32+42 = 5, ∴ sin∠BDC= BC BD = 3 5 , ∵ ∠ABC=∠C= 90°, ∴ ∠ABC+∠C= 180°, ∴ AB∥CD,∴ ∠ABD=∠BDC, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 54 39-1 39-2 39-3 39-4 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 版权归 所有 39　 　 　 　 (四)探究性试题 类型一　 代数推理 1.(2024·宜宾)如果一个数等于它的全部真因数(含单位 1,不含它本身)的和, 那么这个数称为完美数.例如:6 的真因数是 1、2、3,且 6 = 1+2+3,则称 6 为完 美数.下列数中为完美数的是 ( C ) A.8 B.18 C.28 D.32 第 2 题图 2.(2024·德阳)数学活动课上,甲组同学给乙组同学出 示了一个探究问题:把数字 1 至 8 分别填入如图的八个 圆圈内,使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差 的绝对值不等于 1.经过探究后,乙组的小高同学填出了 图中两个中心圆圈的数字 a、b,你认为 a 可以是　 1 　 (填上一个数字即可) . 3.(2024·成都)在综合实践活动中,数学兴趣小组对 1~ n 这 n 个自然数中,任 取两数之和大于 n 的取法种数 k 进行了探究.发现:当 n = 2 时,只有{1,2}一 种取法,即 k= 1;当 n= 3 时,有{1,3}和{2,3}两种取法,即 k= 2;当 n= 4 时,可 得 k= 4;….若 n= 6,则 k 的值为　 9　 ;若 n= 24,则 k 的值为　 144　 . 4.(2024 安徽节选)请认真阅读下面的命题和部分证明过程. 问题:如何证明命题“像 2,6,10,14,…这些形如 4n-2(n 为正整数)的正整 数 N 不能表示为x2-y2(x,y 均为自然数)” . 证明:假设 4n-2= x2-y2,其中 x,y 均为自然数. 分下列三种情形分析: ①若 x,y 均为偶数,设 x= 2k,y= 2m,其中 k,m 均为自然数, 则 x2-y2 =… 请你将上述证明过程补充完整. 解:假设 4n-2=x2-y2,其中 x,y 均为自然数.分下列三种情形分析: ①若 x,y 均为偶数,设 x=2k,y=2m,其中 k,m 均为自然数, 则 x2-y2 =(2k) 2-(2m) 2 =4(k2-m2)为 4 的倍数. 而 4n-2 不是 4 的倍数,矛盾,故 x,y 不可能均为偶数; ②若 x,y 均为奇数,设 x=2k+1,y=2m+1,其中 k,m 均为自然数, 则 x2-y2 =(2k+1) 2-(2m+1) 2 =4(k2-m2+k-m)为 4 的倍数, 而 4n-2 不是 4 的倍数,矛盾,故 x,y 不可能均为奇数; ③若 x,y 一个是奇数一个是偶数,则 x2-y2 为奇数; 而 4n-2 是偶数,矛盾,故 x,y 不可能一个是奇数一个是偶数; 由①②③可知,形如 4n-2(n为正整数)的正整数 N不能表示为 x2-y2(x,y 均 为自然数) . 类型二　 规律探索型 1.(2024·云南)按一定规律排列的代数式:2x,3x2,4x3,5x4,6x5,…,第 n 个代数 式是 ( D ) A.2xn B.(n-1)xn C.nxn +1 D.(n+1)xn 2.(2024·扬州)1202 年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数:1,1,2, 3,5,…,这一列数满足:从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数之和. 则在这一列数的前 2 024 个数中,奇数的个数为 ( D ) A.676 B.674 C.1 348 D.1 350 3.(2024·重庆)用菱形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有 2 个菱 形,第②个图案中有 5 个菱形,第③个图案中有 8 个菱形,第④个图案中有 11 个菱形,…,按此规律,则第⑧个图案中,菱形的个数是 ( C ) 第 3 题图 A.20 B.21 C.23 D.26 4.(2024·凉山州)阅读下面材料,并解决相关问题: 如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有 1 个点,第二行 有 2 个点,…,第 n 行有 n 个点…,容易发现,三角点阵中前 4 行的点数之和 为 10. (1)探索:三角点阵中前 8 行的点数之和为 　 36 　 ,前 15 行的点数之和 为　 120　 ,那么,前 n 行的点数之和为　 　 　 　 ; (2)体验:三角点阵中前 n 行的点数之和　 不能　 (填“能”或“不能”)为 500; (3)运用:某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用 420 盆同样规 格的花,按照第一排 2 盆,第二排 4 盆,第三排 6 盆,…,第 n 排 2n 盆的规 律摆放而成,则一共能摆放多少排? 第 4 题图 解:(1)36,120,n(n +1) 2 ; (2)不能; (3)由题知,前 n排盆景的总数可表示为 n(n+1), 令 n(n+1)= 420 得,解得 n1 =-21,n2 =20. ∵n为正整数,∴n=20, 即一共能摆 20 排. 类型三　 操作探索型 1.(2024·枣庄)【实践课题】测量湖边观测点 A 和湖心岛上鸟类栖息点 P 之间 的距离. 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况,在岸边选取合适的点 B.测量 A,B 两点间的距离以及∠PAB 和∠PBA,测量三次取平均值,得到数据:AB = 60 米, ∠PAB= 79°,∠PBA= 64°.画出示意图,如图①: 　 　 　 图① 　 　 　 图② 第 1 题图 【问题解决】(1)计算 A,P 两点间的距离. (参考数据:sin64°≈0.90,sin79°≈0.98,cos79°≈0.19,sin37°≈0.60,tan37°≈ 0.75) 【交流研讨】甲小组回班汇报后,乙小组提出了另一种方案: 如图②,选择合适的点 D,E,F,使得 A,D,E 在同一条直线上,且 AD = DE, ∠DEF=∠DAP,当 F,D,P 在同一条直线上时,只需测量 EF 即可. (2)乙小组的方案用到了　 ②　 .(填写正确答案的序号) ①解直角三角形　 　 　 　 ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好,对于实际测量,要根据现场地形状况 选择可实施的方案. 解:(1)如解图,过 B 作 BH⊥AP 于 H, ∵AB=60 米,∠PAB=79°,sin79°≈0.98,cos79°≈0.19, ∴AH=AB·cos79°≈60×0.19=11.4(米), BH=AB·sin79°≈60×0.98=58.8(米), ∵∠PAB=79°,∠PBA=64°, ∴∠APB=180°-79°-64°=37°, ∴tan∠APB=tan37°=BH PH ≈0.75, ∴PH≈58.8 0.75 =78.4(米), ∴AP=AH+PH=11.4+78.4=89.8(米), 即 A,P 两点间的距离约为 89.8 米; (2)②　 【解法提示】∵ AD =DE,∠DEF =∠DAP,且 F,D,P 在同一条直线 上,∴∠ADP=∠EDF,∴△ADP≌△EDF(ASA),∴AP =EF,∴只需测量 EF 即可得到 AP 长度,∴乙小组的方案用到了②. 2.(2024·河北)情境　 图①是由正方形纸片去掉一个以中心 O 为顶点的等腰 直角三角形后得到的.该纸片通过裁剪,可拼接为图②所示的钻石型五边形, 数据如图所示.(说明:纸片不折叠,拼接不重叠无缝隙无剩余) 操作　 嘉嘉将图①所示的纸片通过裁剪,拼成了钻石型五边形. 如图③,嘉嘉沿虚线 EF,GH 裁剪,将该纸片剪成①,②,③三块,再按照图④所 示进行拼接.根据嘉嘉的剪拼过程,解答问题: (1)直接写出线段 EF 的长; (2)直接写出图③中所有与线段 BE 相等的线段,并计算 BE 的长. 探究　 淇淇说:将图①所示纸片沿直线裁剪,剪成两块,就可以拼成钻石型五 边形. 请你按照淇淇的说法设计一种方案:在图⑤所示纸片的 BC 边上找一点 P(可 以借助刻度尺或圆规),画出裁剪线(线段 PQ)的位置,并直接写出 BP 的长. 图① 　 图② 　 图③ 　 图④ 　 图⑤ 第 2 题图 解:操作(1)EF=1; (2)∵△AFE 为等腰直角三角形,EF=AF=1; ∴AE= 2EF= 2 ,∴BE=2- 2 , ∵GE=H′G′= 2 x= 2 ( 2 -1)= 2- 2 ,AH=GH= 2 x=2- 2 , ∴BE=GE=AH=GH; 探究　 如解图,以 B 为圆心,BO为半径画弧交 BC 于 P′,交 AB 于 Q′,则直线 P′Q′为分割线, 此时 BP′= 2 ,P′Q′= 2+2 =2,符合要求, 或以 C 圆心,CO为半径画弧,交 BC 于 P,交 CD于 Q,则直线 PQ为分割线, 此时 CP=CQ= 2 ,PQ= 2+2 =2,∴BP=2- 2 , 综上:BP 的长为 2或 2- 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 40-1 40-2 　 　 　40　 类型四　 综合探究 1.(2024·淮安)综合与实践 【问题初探】(1)某兴趣小组探索这样一个问题:若 AD 是△ABC 的角平分线,则线段 AB、AC、BD、CD 有何数量关系? 下面是小智、小勇的部分思路和方法,请完成 填空: 图① 小智的思路和方法: 如图①,作 DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为 M、N. ∵ AD 平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,∴ 　 DM=DN　 . ∵ S△ABD = 1 2 AB·DM,S△ACD = 1 2 AC·DN, ∴ S△ABD S△ACD =AB AC . 再用另一种方式表示△ABD 与△ACD 的面积,即可推导出结论…… 图② 小勇的思路和方法: 如图②,作 CE∥AB,交 AD 的延长线于点 E. ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠BAD=∠CAD. ∵ CE∥AB,∴ ∠BAD=∠E. ∴ ∠CAD=∠E. ∴ 　 AC=CE　 . 再通过证明△CDE∽△BDA 得到比例式,从而推导出 结论…… 根据小智或小勇的方法,可以得到线段 AB、AC、BD、CD 的数量关系是　 　 　 　 . 【变式拓展】(2)小慧对问题作了进一步拓展:如图③,在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 边上一点,∠BAD= 45°,∠CAD= 60°,求BD CD 的值.请你完成解答. 图③ 　 　 　 　 图④ 　 　 　 　 图⑤ 第 1 题图 【迁移应用】(3)请你借助以上结论或方法,用无刻度直尺和圆规在图④的线段 EF 上作一点 P,使 EP= 3FP.(要求:不写作法,保留作图痕迹) 【综合提升】(4)如图⑤,在△ABC 中,AB= 5,AC= 4,∠BAC=α(α<90°),点 D 在 AC 边上,CD = 1,点 E 在 BD 的延长线上,连接 EC,∠BEC = β(β<α),请直接写出 BD·DE 的值(用含 α,β 的式子表示) . 解:(1)DM=DN;AC=CE;AB AC =BD CD ; (2)如解图①,过 C 作 CM⊥AD于点 M,过点 B 作 BN⊥AD交 AD的延长线于点 N,则∠CMD=∠BND=90°,设 AB=AC=2a,在 Rt△ABN中,∠BAD=45°, ∴sin45°=BN AB = 2 2 ,∴BN = 2 a =AN,在 Rt△ACM 中,∠CAD = 60°,∴ sin60° = CM AC = 3 2 ,∴ CM = 3 a,∵∠CMD =∠BND = 90°,∠BDN =∠CDM,∴△BDN∽ △CDM,∴BD CD = BN CM = 2 3 = 6 3 ; (3)如解图②,作法提示:①作 30°角:先作等边三角形 EFG,再作∠GEF 的角平分线,交 GF 于点 Q; 2.(2024·新疆)数学活动课上为了测量学校旗杆的高度,某小组进行了以下实践活动: (1)准备测量工具 ①测角仪:把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处,细线的另一端系一个小重物,制成一个简单的测角仪(图①),利用它可以测量仰角或俯角; ②皮尺. (2)实地测量数据 ①将这个测角仪用手托起,拿到眼前,使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点(图②); ②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为 16.8 m,眼睛到地面的距离为 1.6 m. (3)计算旗杆高度 ①根据图③中测角仪的读数,得出仰角 α 的度数为　 35°　 ; ②根据测量数据,画出示意图④,AB= 1.6 m,BC= 16.8 m,求旗杆 CD 的高度(精确到 0.1 m); (参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43) ③若测量者仍站在原处(B 点),能否用三角板替代测角仪测出仰角 α? 若能,请写出测量方法;若不能,该如何调整位置才能用三角板测出仰角 α,请写出测 量方法. 图① 　 　 　 图② 　 　 　 图③ 　 　 图④ 第 2 题图 解:(3)①35°; ②∵BC=16.8 m,∴AE=16.8 m, 在 Rt△ADE 中,tanα=DE AE , ∴DE=AE·tanα≈16.8×0.7≈11.76(m), ∴CD=CE+DE≈13.4(m) . 即旗杆的高度 CD约为 13.4 m. ③∵三角板只有 30°、60°的三角板和 45°的三角板,而 B 点的仰角为 35°, ∴三角板测不出仰角 α的度数; 如解图,作 EF=DE,则△DEF 为等腰直角三角形,∠DFE=45°, ∴DE=EF≈11.8 m, ∵AE=16.8 m, ∴AF=AE-EF=5 m, ∴向右走 5 m,用 45°直角三角板测量即可(答案不唯一,向左走用 30°三角板测量也可以) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋