(一)开放性试题&(二)真实情境试题&(三)学科融合试题-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·真题与拓展训练

参考答案及重难题解析·陕西数学 新 中 考 试 题 集 训 五、新中考方向性试题集训 (一)开放性试题 类型一　 条件开放型 1.x2-1(答案不唯一)　 2.2(答案不唯一) 3.∠ADE=∠C(或∠AED=∠B 或 AD AE =AC AB ) 4.OB=OD(答案不唯一) 5.解:①(或③) . 理由:选择①CE∥DF; ∵ AE∥BF,CE∥DF,∴ ∠A=∠FBD,∠D=∠ECA, ∵ AE=BF,∴ △AEC≌△BFD(AAS), ∴ AC=BD,∴ AC-BC=BD-BC,即 AB=CD. 选择③∠E=∠F; ∵ AE∥BF,∴ ∠A=∠FBD, ∵ AE=BF,∠E=∠F, ∴ △AEC≌△BFD(ASA),∴ AC=BD, ∴ AC-BC=BD-BC,即 AB=CD. 类型二　 结论开放型 1.2(或 3)　 2.-1(答案不唯一) 3.解:(1)轴对称图形,面积相等; (2)如解图.(答案不唯一) 第 3 题解图 类型三　 解题策略开放型 1.C　 【解析】解法 1:∵ 四边形 OABC 是矩形,∴ AB =OC,OA =BC,设 B 点的坐标为(a,b),∵ 矩形 OABC 的对称中心为 点 M,∴ 延长 OM 恰好经过点 B,M( a 2 , b 2 ),∵ 点 D 在 AB 上,且 AD = 1 4 AB,∴ D ( a 4 , b),∴ BD = 3 4 a,∴ S△BDM = 1 2 BD·h= 1 2 × 3 4 a×(b- b 2 )= 3 16 ab,∵ D 在反比例函数的 图象上,∴ 1 4 ab = k,∵ S△ODM = S△AOB -S△AOD -S△BDM = 1 2 ab- 1 2 k- 3 16 ab= 3,∴ ab= 16,∴ k= 1 4 ab= 4. 解法 2:连接 BM,∵ 点 M 是矩形的对称中心,∴ 三角形 DMO 的面积=三角形 DMB 的面积,则三角形 DBO 的面积 为 6,∵ AD= 1 4 AB,∴ AD ∶DB= 1 ∶3,∴ 三角形 ADO 的面积 ∶ 三角形 DBO 的面积为1 ∶ 3,即三角形 ADO 的面积为 2, ∴ k= 4. 2.A　 【解析】解法 1:如解图①,过点 F 作 FH⊥DC 交 DC 延 长线于点 H,∴ ∠H= 90°.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠D = 90°,AD=DC,∵ AE 绕点 E 逆时针旋转 90°,得到 FE,∴ AE = FE,∠AEF = 90°, ∵ ∠DAE +∠AED = 90°,∠HEF + ∠AED = 90°,∴ ∠DAE = ∠HEF,在△ADE 和△EHF 中, ∠D=∠H, ∠DAE=∠HEF, AE=EF, { ∴ △ADE≌△EHF(AAS),∴ AD=EH,DE =HF,∴ EH=DC,∴ DE =CH =HF,∴ ∠HCF = 45°,∴ ∠G = 45°,设 CH=HF=DE= x,正方形边长为 y,则 CE= y-x,CF= 2 x,CG= 2 y,∴ FG=CG-CF= 2 y- 2 x,∴ FG CE = 2 . 图① 　 　 图② 第 2 题解图 解法 2:如解图②,连接 AC,先证△ADE∽△ACF,得∠ACF =∠ADE= 90°,再证△EAC∽△FAG. 解法 3:如解图③,在 AD 上截取 AH = CE,连接 EH,证 △AHE≌△ECF,DH = DE,得∠ECF = ∠AHE = 135°,得 ∠BCG= 45°,得∠G= 45°,后同解法 1. 第 2 题解图③ 3. 40 3 　 【解析】解法 1:如解图①,过 B 作 BE⊥AD,交 AD 延 长线于点 E,∴ ∠DEB = 90°,∵ ∠C = 90°,∠ADC =∠BDE, ∴ △BDE∽△ADC,∴ AC BE = CD DE ,∵ AC = 4,CD = 1,∴ 4DE = BE,∵ ∠BAD = 45°,∠DEB = 90°,∴ △ABE 是等腰直角三 角形,即 AE=BE= 4DE,∴ AD = 3DE,∵ 在 Rt△ACD 中,AD = AC2+CD2 = 17 ,∴ DE = 17 3 ,∴ BE = 4DE = 4 17 3 , ∵ ∠DEB= 90°,∴ BD = BE2+DE2 = 17 3 ,∴ BC = 20 3 ,∴ S△ABC = 1 2 AC·BC= 40 3 . 图① 　 　 　 图② 第 3 题解图 解法 2:如解图②,作 DE⊥AD 交 AB 于 E,作 EF⊥BD 于 F, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24 参考答案及重难题解析·陕西数学 新 中 考 试 题 集 训 可证△ACD≌△DFE,∴ DF = AC = 4,FE = CD = 1,由 EF∥ AC,可得△EBF∽△ABC,∴ BF BC = EF AC ,即 BF 5+BF = 1 4 ,∴ BF = 5 3 ,∴ S△ABC = 1 2 BC·AC= 1 2 ×(1+4+ 5 3 )×4= 40 3 . (二)真实情境试题 1.B　 2.> 第 3 题解图 3.解:(1)如解图:在地面 上取一点 C,测量 BC = m,测量∠ACB=α, 根据 tanα = AB BC ,即可得 出 AB 的长度; (2)∵ ∠ABC= 90°, ∴ tanα = AB BC ,∴ AB = BC ·tanα=mtanα. 4.(1)证明:在△ADM 和△ADN 中, AM=AN, DM=DN, AD=AD, { ∴ △ADM≌△ADN(SSS),∴ ∠AMD=∠AND; (2)解:(Ⅰ)选择②为条件,①为结论, 如解图①,在 AC 上取点 N,使 AN=AM,连接 DN, ∵ AD 平分∠MAC,∴ ∠DAM=∠DAN, 在△ADM 和△ADN 中, ∵ AM=AN,∠DAM=∠DAN,AD=AD, 第 4 题解图① ∴ △ADM≌△ADN(SAS), ∴ DM=DN,∠AMD=∠AND, ∵ AC=AM+MD,AC=AN+NC, ∴ DM=CN, ∴ DN=CN,∴ ∠C=∠CDN, ∴ ∠AMD=∠AND=∠CDN+∠C= 2∠C; (Ⅱ)选择①为条件,②为结论证法同(Ⅰ); (3)证明:如解图②,连接 BD,取 AE 的中点 F,连接 BF, 第 4 题解图② ∵ ∠BAC 的平分线是 AD, ∴ DC ( =BD ( ,∴ BD=CD, ∴ ∠BCD=∠CBD, ∵ AC 为☉O 的直径, ∴ ∠ABC= 90°, ∴ AE= 2BF= 2AF, ∴ ∠ABF=∠BAF, ∵ ∠BAF=∠BCD,∴ ∠ABF=∠CBD, ∵ AB ( =BC ( ,∴ AB=BC,∴ △ABF≌△CBD(ASA), ∴ BF=BD=CD,∴ AE= 2CD. (三)学科融合试题 1.B　 2.C　 3.C　 4.A　 5.B　 6.20　 7.128 8.解:(1) 1 4 ; (2)四张卡片内容中是化学变化的有:A,D,画树状图如 解图: 第 8 题解图 由树状图知,共有 12 种等可能的结果,其中小夏抽取两张 卡片内容均为化学变化的结果有:(A,D),(D,A),共 2 种, ∴ 小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为 2 12 = 1 6 . 9.解:(1)∵ AB= 24 cm,BE= 1 3 AB, 第 9 题解图 ∴ BE= 1 3 ×24= 8, ∵ cos12° = BG 8 , ∴ BG= 8cos12°(cm); (2)∵ sin12° = EG BE , ∴ EG= 8sin12°(cm), 如解图,延长 GB,NM 交于点 H, ∴ 四边形 DNHG 是矩形, ∴ NH=DG=DE-EG=(28-8sin12°)(cm), ∴ HM=NH-MN=(20-8sin12°)(cm), ∵ ∠ABG= 12°,∠ABM= 147°, ∴ ∠FBG= 135°,∴ ∠MBH= 45°, ∴ BH=HM=(20-8sin12°)(cm), ∴ DN=GH=BG+BH=(8cos12°+20-8sin12°)(cm) . 10.解:(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁,理由如下, 解法 1:如解图①,作出示意图,由题意知,AB = AC = BC = 7 cm,折叠后 CD=CE= 1 2 ×10= 5(cm), ∵ 圆锥形滤纸底面周长= 1 2 ×10π= 5π(cm), ∴ DE·π=5π(cm),∴ DE= 5 cm, ∴ DE AB =CD CA =CE CB ,∴ △CDE∽△CAB, ∴ 滤纸能紧贴此漏斗内壁. 图① 　 图② 　 图③ 第 10 题解图 解法 2:由 2πr= nπR 180 得, n 360 = r R 解图②中,n1 = 90°×2= 180°, 解图③中, r R = 3.5 7 = 1 2 ,∴ n2 = 180°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 34 参考答案及重难题解析·陕西数学 新 中 考 试 题 集 训 ∵ n1 =n2, ∴ 滤纸能紧贴此漏斗内壁. (2)由(1)知 CD=DE=CE= 5 cm,∴ ∠CDE= 60°, 如解图①,过 C 作 CF⊥DE 于点 F,则 DF = 1 2 DE = 5 2 (cm), 在 Rt△CDF 中,CF= CD2-DF2 = 5 3 2 (cm), ∴ V=π·( 5 2 ) 2× 5 3 2 × 1 3 = 125 3 24 π(cm3) . 答:滤纸围成圆锥形的体积是 125 3 24 π cm3 . (四)探究性试题 类型一　 代数推理 1.C　 2.1(或 8) 3.9,144　 【解析】当 n = 6 时,从 1,2,3,4,5,6 中,取两个数 的和大于 6,这两个数分别是{6,1},{6,2},{6,3},{6, 4},{6,5},{5,2},{5,3},{5,4},{4,3},∴ k = 5+3+1 = 9; 当 n= 24 时,从 1,2,3…22,23,24 中,取两个数的和大于 24,这两个数分别是:{24,1},{24,2},…,{24,23},{23, 2} { 23, 3}, …, { 23, 22}, { 22, 3}, { 22, 4}, …, { 22, 21},…,{14,11},{14,12},{14,13},{13,12},∴ k = 23+ 21+19+…+3+1= 144. 4.解:假设 4n-2= x2-y2,其中 x,y 均为自然数. 分下列三种情形分析: ①若 x,y 均为偶数,设 x = 2k, y = 2m,其中 k,m 均为自 然数, 则 x2-y2 =(2k) 2-(2m) 2 = 4(k2-m2)为 4 的倍数, 而 4n-2 不是 4 的倍数,矛盾,故 x,y 不可能均为偶数; ②若 x,y 均为奇数,设 x= 2k+1,y= 2m+1,其中 k,m 均为自 然数, 则 x2-y2 =(2k+1) 2 -(2m+ 1) 2 = 4( k2 -m2 +k-m)为 4 的 倍数, 而 4n-2 不是 4 的倍数,矛盾,故 x,y 不可能均为奇数; ③若 x,y 一个是奇数一个是偶数,则 x2-y2 为奇数, 而 4n-2 是偶数,矛盾,故 x,y 不可能一个是奇数一个是 偶数, 由①②③可知,形如 4n-2(n 为正整数)的正整数 N 不能 表示为 x2-y2(x,y 均为自然数) . 类型二　 规律探索型 1.D　 2.D　 3.C 4.解:(1)36,120, n(n+1) 2 ; (2)不能; (3)由题知,前 n 排盆景的总数可表示为 n(n+1), 令 n(n+1)= 420,解得 n1 =-21,n2 = 20. ∵ n 为正整数,∴ n= 20, 即一共能摆 20 排. 类型三　 操作探索型 1.解:(1)如解图,过 B 作 BH⊥AP 于 H, 第 1 题解图 ∵ AB = 60 米,∠PAB = 79°,sin79°≈0.98, cos79°≈0.19, ∴ AH=AB·cos79°≈60×0.19= 11.4(米), BH=AB·sin79°≈60×0.98= 58.8(米), ∵ ∠PAB= 79°,∠PBA= 64°, ∴ ∠APB= 180°-79°-64° = 37°, ∴ tan∠APB= tan37° = BH PH ≈0.75, ∴ PH≈ 58.8 0.75 = 78.4(米), ∴ AP=AH+PH≈11.4+78.4= 89.8(米), 即 A,P 两点间的距离约为 89.8 米; (2)②. 2.解:操作　 (1)EF= 1; (2)∵ △AFE 为等腰直角三角形,EF=AF= 1, ∴ AE= 2EF= 2 ,∴ BE= 2- 2 , ∵ GE=H′G′ = 2 x = 2 ( 2 -1) = 2- 2 ,AH = GH = 2 x = 2- 2 , ∴ BE=GE=AH=GH; 探究　 如解图,以 B 为圆心,BO 为半径画弧交 BC 于 P′, 交 AB 于 Q′,则直线 P′Q′为分割线, 第 2 题解图 此时 BP′= 2 ,P′Q′= 2+2 = 2,符合要求, 或以 C 为圆心,CO 为半径画弧,交 BC 于 P,交 CD 于 Q,则 直线 PQ 为分割线, 此时 CP=CQ= 2 ,PQ= 2+2 = 2, ∴ BP= 2- 2 , 综上:BP 的长为 2或 2- 2 . 类型四　 综合探究 1.解:(1)DM=DN;AC=CE; AB AC =BD CD ; (2)如解图①,过 C 作 CM⊥AD 于点 M,过点 B 作 BN⊥AD 交 AD 的延长线于点 N,则∠CMD=∠BND= 90°, 第 1 题解图① 设 AB=AC= 2a, 在 Rt△ABN 中,∠BAD= 45°, ∴ sin45° = BN AB = 2 2 , ∴ BN= 2 a=AN, 在 Rt△ACM 中,∠CAD= 60°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 44 37-1 37-2 37-3 37-4 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 版权归 所有 37　 　 　 　 新中考方向性试题集训 (一)开放性试题 类型一　 条件开放型 1.(2023·浙江嘉兴市、舟山市)一个多项式,把它因式分解后有一个因式为(x+ 1),请你写出一个符合条件的多项式:　 x2-1(答案不唯一) 　 . 2.(2024·长春)已知直线 y= kx+b(k、b 是常数)经过点(1,1),且 y 随 x 的增大 而减小,则 b 的值可以是　 2(答案不唯一) 　 .(写出一个即可) 3.(2024·滨州)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上.添加一个条件使 △ADE∽△ACB,则这个条件可以是 　 . (写出一种情况即可) 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 4.(2024·济宁)如图,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,OA=OC,请补 充一个条件　 OB=OD(答案不唯一) 　 ,使四边形 ABCD 是平行四边形. 5.(2024·江苏盐城)已知:如图,点 A、B、C、D 在同一条直线上,AE∥BF,AE = BF.若　 ①(或③) 　 ,则 AB=CD. 请从①CE∥DF;②CE=DF;③∠E=∠F 这 3 个选项中选择一个作为条件(写 序号),使结论成立,并说明理由. 解:①(或③) . 理由:选择①CE∥DF; ∵AE∥BF,CE∥DF,∴∠A=∠FBD,∠D=∠ECA, ∵AE=BF,∴△AEC≌△BFD(AAS),∴AC=BD, ∴AC-BC=BD-BC,即 AB=CD. 选择③∠E=∠F; ∵AE∥BF,∴∠A=∠FBD, ∵AE=BF,∠E=∠F,∴△AEC≌△BFD(ASA),∴AC=BD, ∴AC-BC=BD-BC,即 AB=CD. 类型二　 结论开放型 1.(2024·滨州)写出一个比 3大且比 10小的整数　 2(或 3) 　 . 2.(2024·菏泽)写出满足不等式组 x+2≥1, 2x-1<5{ 的一个整数解　 -1(答案不唯一)　 . 3.(2023·枣庄)(1)观察分析:在一次数学综合实践活动中,老师向同学们展示 了图①,图②,图③三幅图形,请你结合自己所学的知识,观察图中阴影部分构 成的图案,写出三个图案都具有的两个共同特征:　 轴对称图形　 ,　 面积相等　 ; (2)动手操作:请在图④中设计一个新的图案,使其满足你在(1)中发现的共 同特征. 第 3 题图 解:(1)轴对称图形,面积相等; (2)如解图:(答案不唯一) 类型三　 解题策略开放型 1.(2023·张家界)如图,矩形 OABC 的顶点 A,C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上, 点 D 在 AB 上,且 AD= 1 4 AB,反比例函数 y = k x (k>0)的图象经过点 D 及矩形 OABC 的对称中心 M,连接 OD,OM,DM.若△ODM 的面积为 3,则 k 的值为 ( C ) A.2 B.3 C.4 D.5 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 2.(2024·重庆)如图,在正方形 ABCD 的边 CD 上有一点 E,连接 AE,把 AE 绕点 E 逆时针旋转 90°,得到 FE,连接 CF 并延长与 AB 的延长线交于点 G.则FG CE 的 值为 ( A ) A. 2 B. 3 C. 3 2 2 D.3 3 2 3.(2024·达州)如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,点 D 在线段 BC 上,且∠BAD = 45°,若 AC= 4,CD= 1,则△ABC 的面积是　 　 　 　 . (二)真实情境试题 1.(2024·绥化)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化 简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是 6 和 1;小冬在化简过程中写 错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2 和-5.则原来的方程是 ( B ) A.x2+6x+5= 0 B.x2-7x+10= 0 C.x2-5x+2= 0 D.x2-6x-10= 0 第 2 题图 2.(2024·常州)小丽进行投掷标枪训练,总共投掷 10 次,前 9 次标枪的落点如图所示,记录成绩(单位: m),此时这组成绩的平均数是 20 m,方差是s21 m2 .若 第 10 次投掷标枪的落点恰好在 20 m 线上,且投掷结 束后这组成绩的方差是s22 m2,则s21 　 >　 s22(填“>”、“ =”或“<”) . 3.(2024·包头)如图,学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼 AB 的高度”的 实践活动.教学楼周围是开阔平整的地面,可供使用的测量工具有皮尺、测角 仪(皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离;测角仪的功能是测 量角的大小) . (1)请你设计测量教学楼 AB 的高度的方案,方案包括画出测量平面图,把应 测数据标记在所画的图形上(测出的距离用 m,n 等表示,测出的角用 α,β 等表示),并对设计进行说明; (2)根据你测量的数据,计算教学楼 AB 的高度(用字母表示) . 第 3 题图 解:(1)如解图:在地面上取一点 C,测量 BC =m,测量∠ACB =α,根据 tanα= AB BC ,即可得出 AB 的长度; (2)∵∠ABC=90°,∴tanα=AB BC ,∴AB=BC·tanα=mtanα. 4.(2024·通辽)【实际情境】 手工课堂上,老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工 具.同学们认真观察后,组装了花折伞的骨架,粘贴了彩色伞面,制作出精美的 花折伞. 【模型建立】 (1)如图①,从花折伞中抽象出“牵形图”,AM = AN,DM = DN.求证∠AMD =∠AND. 【模型应用】 (2)如图②,△AMC 中,∠MAC 的平分线 AD 交 MC 于点 D.请你从以下两个条 件:①∠AMD= 2∠C;②AC=AM+MD 中选择一个作为已知条件,另一个作 为结论,并写出结论成立的证明过程.(注:只需选择一种情况作答) 【拓展提升】 (3)如图③,AC 为☉O 的直径,AB ( =BC ( ,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 E,交 ☉O 于点 D,连接 CD.求证 AE= 2CD. 　 图① 　 图② 　 图③ 第 4 题图 (1)证明:在△ADM 和△ADN中, AM=AN, DM=DN, AD=AD, ì î í ï ï ï ï ∴△ADM≌△ADN(SSS),∴∠AMD=∠AND; (2)解:(Ⅰ)选择②为条件,①为结论, 如解图①,在 AC 上取点 N,使 AN=AM,连接 DN, ∵AD平分∠MAC,∴∠DAM=∠DAN, 在△ADM 和△ADN中, ∵AM=AN,∠DAM=∠DAN,AD=AD, ∴△ADM≌△ADN(SAS), ∴DM=DN,∠AMD=∠AND, ∵AC=AM+MD,AC=AN+NC, ∴DM=CN,∴DN=CN,∴∠C=∠CDN, ∴∠AMD=∠AND=∠CDN+∠C=2∠C; (Ⅱ)选择①为条件,②为结论,详细证明见答案册; (3)证明:如解图②,连接 BD,取 AE 的中点 F,连接 BF, ∵∠BAC 的平分线是 AD,∴DC ( =BD ( 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 38-1 38-2 38-3 38-4 　 　 　38　 (三)学科融合试题 1.(2024·达州)当光线从空气射入水中时,光线的传播方向发生了改变,这就 是光的折射现象(如图所示),图中∠1=80°,∠2= 40°,则∠3 的度数为 ( B ) A.30° B.40° C.50° D.70° 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2.(2024·山西)一只杯子静止在斜面上,其受力分析如图所示,重力 G 的方向 竖直向下,支持力 F1 的方向与斜面垂直,摩擦力 F2 的方向与斜面平行.若斜 面的坡角 α= 25°,则摩擦力 F2 与重力 G 方向的夹角 β 的度数为 ( C ) A.155° B.125° C.115° D.65° 3.(2024·江西)将常温中的温度计插入一杯 60 ℃的热水(恒温)中,温度计的 读数 y(℃)与时间 x(min)的关系用图象可近似表示为 ( C ) A 　 　 　 B 　 　 　 C 　 　 　 D 4.(2024·四川内江)如图所示的电路中,当随机闭合开关S1、S2、S3 中的两个时, 灯泡能发光的概率为 ( A ) A. 2 3 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 6 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5.(2024·重庆)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质,下图是这类物 质前四种化合物的分子结构模型图,其中灰球代表碳原子,白球代表氢原子. 第 1 种如图①有 4 个氢原子,第 2 种如图②有 6 个氢原子,第 3 种如图③有 8 个氢原子,……按照这一规律,第 10 种化合物的分子结构模型中氢原子的个 数是 ( B ) A.20 B.22 C.24 D.26 6.(2024·扬州)物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特 性实现图象投影的方法.如图,燃烧的蜡烛(竖直放置) AB 经小孔 O 在屏幕 (竖直放置)上成像 A′B′,设 AB = 36 cm,A′B′= 24 cm,小孔 O 到 AB 的距离为 30 cm,则小孔 O 到 A′B′的距离为　 20　 cm. 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7.(2024·福建)无动力帆船是借助风力前行的.如图是帆船借助风力航行的平 面示意图,已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA 为 70°,帆与航行 方向的夹角∠PDQ 为 30°,风对帆的作用力 F 为 400 N.根据物理知识,F 可以 分解为两个力 F1 与 F2,其中与帆平行的力 F1 不起作用,与帆垂直的力 F2 又 可以分解为两个力 f1 与 f2,f1 与航行方向垂直,被舵的阻力抵消;f2 与航行方 向一致,是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大 小,据此,建立数学模型:F =AD = 400,则 f2 =CD = 　 128　 .(单位:N)(参考数 据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77) 8.(2024·临夏州)物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成.某学 习小组在延时课上制作了 A,B,C,D 四张卡片,四张卡片除图片内容不同外, 其他没有区别,放置于暗箱中摇匀. A.铁钉生锈 　 　 B.滴水成冰 　 　 C.矿石粉碎 　 　 D.牛奶变质 (1)小临从四张卡片中随机抽取一张,抽中 C 卡片的概率是　 　 　 　 ; (2)小夏从四张卡片中随机抽取两张,用列表法或画树状图法求小夏抽取两 张卡片内容均为化学变化的概率. 解:(2)四张卡片内容中是化学变化的有:A,D,画树状图如解图: 由树状图知,共有 12 种等可能的结果,其中小夏抽取两张卡片内容均为化学 变化的结果有:(A,D),(D,A),共 2 种, ∴小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为 2 12 = 1 6 . 9.(2024·呼和浩特)实验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小亮同学安 装的化学实验装置,安装要求为试管口略向下倾斜,铁夹应固定在距试管口的 三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图,已知试管 AB= 24 cm, BE= 1 3 AB,试管倾斜角∠ABG 为 12°. (1)求试管口 B 与铁杆 DE 的水平距离 BG 的长度;(结果用含非特殊角的三 角函数表示) (2)实验时,导气管紧靠水槽壁 MN,延长 BM 交 CN 的延长线于点 F,且 MN⊥ CF 于点 N(点 C,D,N,F 在一条直线上),经测得:DE = 28 cm,MN = 8 cm, ∠ABM= 147°,求线段 DN 的长度.(结果用含非特殊角的三角函数表示) 第 9 题图 解:(1)∵AB=24 cm,BE= 1 3 AB,∴BE= 1 3 ×24=8, ∵cos12°=BG 8 ,∴BG=8cos12°(cm); (2)∵sin12°=EG BE ,∴EG=8sin12°(cm), 如解图,延长 GB,NM 交于点 H, ∴四边形 DNHG是矩形, ∴NH=DG=DE-EG=(28-8sin12°)(cm), ∴HM=NH-MN=(20-8sin12°)(cm), ∵∠ABG=12°,∠ABM=147°, ∴∠FBG=135°,∴∠MBH=45°, ∴BH=HM=(20-8sin12°)(cm), ∴DN=GH=BG+BH=(8cos12°+20-8sin12°)(cm) . 10.(2024·广东)综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图①所示: ①一张直径为 10 cm 的圆形滤纸; ②一只漏斗口直径与母线均为 7 cm 的圆锥形过滤漏斗. 图① 　 　 　 图② 第 10 题图 【实践操作】 步骤 1:取一张滤纸; 步骤 2:按如图②所示步骤折叠好滤纸; 步骤 3:将其中一层撑开,围成圆锥形; 步骤 4:将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中. 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)? 用你所学的数学知识 说明. (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留 π) 解:(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁,理由如下, 解法一:如解图①,作出示意图,由题意知,AB=AC=BC=7 cm, 折叠后 CD=CE= 1 2 ×10=5(cm), 小圆锥形滤纸底面周长= 1 2 ×10π=5π(cm), ∴DE·π=5π(cm),∴DE=5(cm), ∴DE AB =CD CA =CE CB , ∴△CDE∽△CAB, ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁. 解法二:由 2πr=nπR 180 得, n 360 = r R . 解图②中,n1 =90°×2=180°, 解图③中, r R =3.5 7 = 1 2 ,∴n2 =180°, ∵n1 =n2,∴滤纸能紧贴此漏斗内壁. (2)由(1)知 CD=DE=CE=5(cm), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋