15.一战成名优质原创卷(一)-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·真题与拓展训练

参考答案及重难题解析·陕西数学 一 战 成 名 原 创 卷 (2)作 E 关于直线 AC 的对称点 E′,连接 CE′,EE′,BE′, BE′交 AC 于 P,如解图①: ∵ E,E′关于直线 AC 对称, ∴ PE=PE′,∴ PB+PE=PB+PE′, ∵ B,P,E′共线, ∴ 此时 PB+PE 最小,最小值为 BE′的长度, ∵ ∠ABC= 90°,AB=BC= 2,∴ ∠ACB= 45°, ∵ 点 E 是 BC 的中点,∴ CE= 1, ∵ E,E′关于直线 AC 对称, ∴ ∠ACE′=∠ACB= 45°,CE=CE′= 1,∴ ∠BCE′= 90°, 在 Rt△BCE′中,BE′= BC2+CE′2 = 22+12 = 5 , ∴ PB+PE 的最小值为 5 ; 图① 　 　 　 图② 第 26 题解图 (3)作 C 关于 AD 的对称点 M,连接 DM,CM,CM 交 AD 于 H,作 C 关于 AB 的对称点 N,连接 BN,延长 DC,AB 交于 G,连接 NG,连接 MN 交 AB 于 E,交 AD 于 F,如解图②, ∵ C,N 关于 AB 对称,C,M 关于 AD 对称, ∴ CE=NE,CF=MF,∴ CE+EF+CF=NE+EF+MF, ∵ N,E,F,M 共线,∴ 此时 CE+EF+CF 最小, ∵ ∠A= 60°,∠ABC= 90°,∠BCD= 150°, ∴ ∠ADC= 60°, ∵ C,M 关于 AD 对称, ∴ ∠MDH=∠CDH = 60°,∠CHD =∠MHD = 90°,CD =MD = 1 000 米, ∴ ∠MCD=∠CMD= 30°, ∴ DH= 1 2 CD= 500(米),CH=MH= 3DH= 500 3 (米), ∴ CM= 1 000 3 米, ∵ ∠ADC= 60°,∠A= 60°,∴ △ADG 是等边三角形, ∴ DG=AD= 2 000 米,∴ CG=DG-CD= 1 000(米), ∵ ∠BCD= 150°,∴ ∠BCG= 30°, ∵ C,N 关于 AB 对称,∠ABC= 90°, ∴ C,B,N 共线,CG=NG= 1 000 米,∠BNG=∠BCG= 30°, ∴ BG= 1 2 CG= 500(米),BC=BN= 3BG= 500 3 (米), ∴ CN= 1 000 3 米=CM,∴ ∠CNM=∠CMN, ∵ ∠BCD= 150°,∠MCD= 30°,∴ ∠NCM= 120°, ∴ ∠CNM=∠CMN= 30°, 在 Rt△BNE 中,BE= BN 3 = 500 3 3 = 500(米), 在 Rt△MHF 中,FH= MH 3 = 500 3 3 = 500(米), ∴ DF=FH+DH= 500+500= 1 000(米) . 答:BE 的长为 500 米,DF 的长为 1 000 米. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 四、一战成名优质原创卷 15.一战成名优质原创卷(一) 快速对答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C A C D A D 填空题 9.xy(x+2)　 10.3　 11.120°　 12.<　 13.6 1.B　 2.D　 3.C　 4.A　 5.C　 6.D　 7.A 8.D　 【解析】设抛物线解析式为 y = ax( x-4),把(-1,5)代 入得 5=a×(-1)×(-1-4),解得 a= 1,∴ 抛物线解析式为 y = x2-4x,开口向上,∴ A 选项不符合题意;抛物线的对称轴 为直线 x=- b 2a =- -4 2 = 2,∴ B 选项不符合题意;∵ 抛物线 与 x 轴的交点坐标为(0,0),(4,0),∴ 当 0<x<4 时,y<0, ∴ C 选项不符合题意;已知 A( x1,2),B( x2,3)是图象上两 点,不能判断 x1 与 x2 的大小,∴ D 选项符合题意. 9.xy(x+2)　 10.3　 11.120°　 12.< 13.6　 【解析】如解图,过点 M 作 MK⊥BC 于点 K,延长 KM 交 AD 于点 I,过点 N 作 NH⊥MK 于点 H,过点 N 作 NG⊥ AD 于点 G,延长 GN 交 BC 于点 L,过点 M 作 MJ⊥NG 于 点 J,易知四边形 MHNJ 是正方形,四边形 IKLG、四边形 ABKI 是矩形,∴ AB = IK = GL,∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=CD=BC=AD= 4,∠ABC= 90°,∴ AC = 4 2 ,∴ MN = 1 2 AC= 2 2 ,则 MH=NJ=MN·sin45° = 2 2 × 2 2 = 2,∵ E、 F 为 AD、BC 中点,∴ DE = BF = 2, S阴影 = S△DEN + S△BMF = 1 2 DE·NG+ 1 2 MK·BF= 1 2 BF·(AB+MH)= 6. 第 13 题解图 14.解:原式=-1+2- 3 -1 =- 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 33 参考答案及重难题解析·陕西数学 一 战 成 名 原 创 卷 15.解:原式= x2-4xy+4y2-4x2+y2-5y2 =-3x2-4xy. 16.解:原方程两边同乘(x+2)(x-2), 得 3(x-2)+(x+2)(x-2)= x(x+2), 整理得 3x-10= 2x, 解得 x= 10, 检验:当 x= 10 时,(x+2)(x-2)≠0, 故原方程的解为 x= 10. 17.解:如解图,点 E 即为所求. 第 17 题解图 18.证明:∵ 四边形 BCDE 是矩形, ∴ EB=DC,∠EBC=∠DCB, ∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB,∴ ∠ABE=∠ACD, 在△ABE 与△ACD 中, AB=AC, ∠ABE=∠ACD, EB=DC, { ∴ △ABE≌△ACD(SAS),∴ AE=AD. 19.解:(1) 1 6 ; (2)随机投掷正四面体两次,所有可能出现的结果如下: 　 　 第一次 第二次　 　 1 2 3 4 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) 由表可知,共有 16 种等可能的结果,而两次朝下数字之 和大于 4 的结果有 10 种, ∴ P (朝下数字之和大于 4)= 10 16 = 5 8 . 20.解:设甲乙两队同时施工 4 天后,余下的工程乙队还需要 x 天能够完成任务, 根据题意得 4 10 +4 +x 15 = 1, 解得 x= 5. 答:乙队还需要 5 天能够完成任务. 21.解:由题意得:AB⊥BC,CD= 17.5 米, 设 BD= x 米,则 BC=BD+CD=(x+17.5)米, 在 Rt△ABC 中,∠ACB= 42°, ∴ AB=BC·tan42°≈0.9(x+17.5)米, 在 Rt△ABD 中,∠ADB= 58°, ∴ AB=BD·tan58°≈1.6x(米), ∴ 1.6x= 0.9(x+17.5),解得 x= 22.5, ∴ AB= 1.6x= 36(米), ∴ 鼓楼 AB 的高度约为 36 米. 22.解:(1)设 BC 所在直线的函数表达式为 y = kx+b(k≠0), 把 B(0,1 000),C(10,0)代入, 得 b= 1 000, 10k+b= 0,{ 解得 k=-100, b= 1 000,{ ∴ BC 所在直线的函数表达式为 y=-100x+1 000; (2)当 x= 6 时,y=-100×6+1 000= 400, ∵ 1 000-400= 600(米), ∴ 甲机器人到达目的地 N 时,乙机器人行走的距离为 600 米. 23.解:(1)8,C; (2)抽取的这些学生的平均成绩为: 8×65+10×75+14×85+18×95 50 = 83.4(分) . 答:所抽取的这些学生的平均成绩是 83.4 分; (3)700× 18 50 = 252. 答:估计该校竞赛成绩达到 90 分及以上的学生人数 为 252. 24.(1)证明:∵ AD 是☉O 的直径, ∴ ∠ABD= 90°,∴ ∠DAB+∠ADB= 90°, ∵ DF 为☉O 的切线,∴ ∠ADF= 90°, ∴ ∠DAF+∠F= 90°,∴ ∠ADB=∠F, ∵ ∠ACB=∠ADB,∴ ∠ACB=∠F, ∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB, ∴ ∠F=∠ABC,∴ DF∥BC; (2)解:解法 1:由(1)知∠ABD=∠ADF= 90°, ∵ ∠DAB=∠FAD,∴ △ABD∽△ADF, ∴ AB AD =AD AF ,即 AD2 =AB·AF, ∵ AB=AC= 10,AF= 15, ∴ AD2 = 150,解得 AD= 5 6 (负值已舍去), 在 Rt△ADF 中,DF= AF2-AD2 = 152-(5 6 ) 2 = 5 3 . 解法 2:∵ AB=AC= 10,AF= 15,∴ BF=AF-AB= 5, ∵ ∠F=∠F,∠FBD=∠FDA= 90°, ∴ △FBD∽△FDA,∴ BF ∶DF=DF ∶AF, ∴ DF2 =BF·AF= 5×15= 75, ∴ DF= 75 = 5 3 (负值已舍去) . 25.解:(1)由题意可得,顶点 P 的坐标为(5,10), ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x-5) 2+10(a≠0) . 又∵ 抛物线过点 B(10,1),∴ 1=a×52+10,∴ a=- 9 25 . ∴ 抛物线的表达式为 y=- 9 25 (x-5) 2+10; (2)∵ 平行线段 EF 与 BC 之间的距离为 8 米,AB= 1 米, ∴ E,F 的纵坐标为 9. 由(1)知抛物线的表达式为 y=- 9 25 (x-5) 2+10, ∴ 令 y= 9,得 9= - 9 25 (x-5) 2+10, ∴ x= 10 3 或 x= 20 3 (不合题意,舍去), ∴ 点 E 与隧道左壁 OC 之间的距离为 10 3 米. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 43 参考答案及重难题解析·陕西数学 一 战 成 名 原 创 卷 26.解:(1)∵ FD∥AE,∴ S△FAE =S△DAE,∴ S△AOF =S△DOE, ∵ EF 恰好将△ABC 分为面积相等的两部分, ∴ S四边形ABEF =S△EFC,∴ S四边形ABEF-S△AOF =S△EFC-S△EDO, 即 S四边形ABEO =S四边形CDOF, ∴ S四边形ABEO+S△ODE =S四边形CDOF+S△AOF,即 S△ABD =S△ACD . ∴ BD=CD,即 AD 为斜边 BC 上的中线, ∴ AD= 1 2 BC. 在 Rt△ABC 中,∵ AB2+AC2 =BC2, ∴ BC= 32+42 = 5,∴ AD= 5 2 . (2)如解图,过点 P 作 PH⊥CD 于点 H,则 PH 将弓形面 积二等分,延长 PH 交 AB 于点 M,在 MB 上截取 MN = MA,连接 CN,则由 AM,MP,PD ( ,AD 围成的图形与 MN, MP,PC ( ,CN 围成的图形面积相等.若想将图形的面积二 等分,只需在 MB 上取一点 Q,使 S△PMQ = 1 2 S△CNB,则 PQ 为所开挖的渠道.过点 A 作 AG⊥CD 于点 G,过点 C 作 CE ⊥AB 于点 E,过点 C 作 CF∥AD 交 AB 于点 F,设CD ( 的圆 心为 O,连接 OD, 第 26 题解图 ∵ P 是CD ( 的中点,PH⊥CD, ∴ CD ( 的圆心 O 在线段 PM 上, ∵ OH⊥CD,∴ CH=DH= 1 2 CD= 60 米. ∴ OH= OD2-DH2 = 652-602 = 25(米), ∴ PH=OP-OH= 65-25= 40(米) . ∵ 四边形 ABCD 的面积为 12 600 平方米,AB∥CD, ∴ (160+120)·CE 2 = 12 600,∴ CE= 90 米, ∴ AG=MH=CE= 90 米, ∴ PM=PH+MH= 40+90= 130(米) . 在 Rt△CEB 中,∵ tanB= CE BE ,∴ 18 17 = 90 BE ,∴ BE= 85 米. ∵ AB∥CD,CF∥AD,∴ 四边形 AFCD 为平行四边形, ∴ AF=CD= 120 米. ∴ BF=AB-AF= 160-120= 40(米), ∴ EF=BE-BF= 85-40= 45(米) . 在 Rt△ADG 和 Rt△CFE 中, AG=CE, AD=CF,{ ∴ Rt△ADG≌Rt△CFE(HL), ∴ DG=EF= 45 米, ∴ HG=DH-DG= 60-45= 15(米), ∴ AM=MN=GH= 15 米, ∴ BN=AB-AM-MN= 160-15-15= 130(米) . ∵ S△PMQ = 1 2 S△CNB,∴ 1 2 × 1 2 ×130×90= 1 2 ×130×MQ, ∴ MQ= 45 米.∴ AQ=AM+MQ= 15+45= 60(米), ∴ Q 的位置在距离点 A 60 米的地方. 在 Rt △PMQ 中, PQ = PM2+MQ2 = 1302+452 = 5 757 (米) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16.一战成名优质原创卷(二) 快速对答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A D A D B A 填空题 9.±5　 10.( 5 -1)　 11.2 5 　 12.6　 13.4 7 1.D　 2.B　 3.A　 4.D　 5.A　 6.D　 7.B 8.A　 【解析】∵ 点 M(a,b)在以 y 轴为对称轴的二次函数y= -x2+mx+2 的图象上,∴ - m 2×(-1) = 0,解得 m= 0,∴ y = -x2 +2,∵ 点 M(a,b)在二次函数 y=-x2+2 的图象上,∴ a+b = a+(-a2+2)= -(a- 1 2 ) 2+ 9 4 ,∴ 当 a = 1 2 时,a+b 取得最大 值 9 4 . 9.±5　 10.( 5 -1)　 11.2 5 　 12.6 13.4 7 　 【解析】解法 1:如解图,设正六边形 ABCDEF 的中 心为 O,过点 M、O 作直线 l 交 CD 于点 N,则直线 l 将正 六边形的面积平分,直线 l 被正六边形所截的线段长是 MN,连接 OF,过点 M 作 MH⊥OF 于点 H,连接 OA,∵ 六 边形 ABCDEF 是正六边形,AB = 6,中心为 O,∴ AF = AB = 6,∠AFO= 1 2 ∠AFE = 1 2 ×(6 -2)×180° 6 = 60°,MO = ON, ∵ OA=OF,∴ △OAF 是等边三角形,∴ OA = OF = AF = 6, ∵ AM= 2,∴ MF=AF-AM= 6-2 = 4,∵ MH⊥OF,∴ ∠FMH = 90° - 60° = 30°, ∴ FH = 1 2 MF = 1 2 × 4 = 2, MH = MF2-FH2 = 42-22 = 2 3 ,∴ OH = OF-FH = 6-2 = 4, ∴ OM= MH2+OH2 = (2 3 ) 2+42 = 2 7 ,∴ NO = OM = 2 7 ,∴ MN=NO+OM= 2 7 +2 7 = 4 7 . 第 13 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 53 29-1 29-2 29-3 29-4 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 版权归 所有 29　 　 　 　 15 一战成名优质原创卷(一) (总分:120 分　 时间:120 分钟) 第一部分(选择题　 共 24 分) 一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,计 24 分.每小题只有一个选项是符合题意的) 1.-2 024×?= 1,则“?”表示的数是 ( B ) A. 1 2 024 B.- 1 2 024 C.-2 024 D.2 024 2.如图,生活中常见的路障锥上面部分通常是圆锥的形状,则它的侧面展开图是 ( D ) A 　 　 　 　 B 　 　 　 　 C 　 　 　 　 D 第 2 题图 　 第 3 题图 　 第 5 题图 　 第 7 题图 3.如图,AB∥CD∥EF,CE 平分∠BCD,若∠ABC= 58°,则∠CEF 的度数为( C ) A.131° B.141° C.151° D.161° 4.下列不等式中,与-x>1 组成的不等式组无解的是 ( A ) A.x>2 B.x<0 C.x<-2 D.x>-3 5.在如图所示的 3×3 网格中,点 A,B,M,N,P,Q 均在小正方形的顶点上,其中能 和点 A,B 构成等腰三角形的是 ( C ) A.点 M B.点 N C.点 P D.点 Q 6.直线 y= kx+1 经过点 A( -1,-3)关于原点对称的点 A′,则直线 y= kx+1 一定不 经过 ( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.如图,AC 是正方形 ABCD 的对角线,AE 平分∠CAB 交 DC 的延长线于点 E,交 BC 于点 F,则CF BF 的值为 ( A ) A. 2 B. 2 2 C.2 D. 1 2 8.已知抛物线 y=ax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表. x … -1 0 2 3 4 … y … 5 0 -4 -3 0 … 则下列关于抛物线的结论中错误的是 ( D ) A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是直线 x= 2 C.当 0<x<4 时,y<0 D.若 A(x1,2),B(x2,3)是图象上两点,则 x1<x2 第二部分(非选择题　 共 96 分) 二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,计 15 分) 9.因式分解:x2y+2xy= 　 xy(x+2) 　 . 10.如图,正五边形 ABCDE 的边长 AB 为 3,对角线 AD 和 BE 相交于点 F,则 DF 的长为　 3　 . 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 　 　 　 第 13 题图 11.如图,点 A,B,C 均在☉O 上,OA⊥OB,OC 交 AB 于点 D,若∠BOC = 30°,则 ∠OAD+∠BDC= 　 120°　 . 12.若点 A(m+2,y1)、B(m-2,y2)在反比例函数 y = -k2 x (k≠0)的图象上,且 0< m<2,则 y1,y2 的大小关系是 y1 　 <　 y2(填“>”“ =”或“<”) . 13.如图,在正方形 ABCD 中,AB= 4,E、F 为边 AD、BC 的中点,点 M、N 是线段 AC 上的两个动点,且 MN= 1 2 AC,则图中阴影部分的面积为　 6　 . 三、解答题(共 13 小题,计 81 分,解答应写出过程) 14.(本题满分 5 分)计算:(- 1 2 )×2+ | 3 -2 | -2 0240 . 解:原式=-1+2- 3 -1 =- 3 . 15.(本题满分 5 分)化简:(x-2y) 2-(2x-y)(2x+y)-5y2 . 解:原式=x2-4xy+4y2-4x2+y2-5y2 =-3x2-4xy. 16.(本题满分 5 分)解方程: 3 x+2 +1= x x-2 . 解:原方程两边同乘(x+2)(x-2),得 3(x-2)+(x+2)(x-2)= x(x+2), 整理得 3x-10=2x, 解得 x=10, 检验:当 x=10 时,(x+2)(x-2)≠0, 故原方程的解为 x=10. 17.(本题满分 5 分)如图,点 D 在△ABC 的边 BC 的延长线上,利用尺规作图法 在 AC 的延长线上求作一点 E,使得 DE∥AB.(不写作法,保留作图痕迹) 第 17 题图 解:如解图,点 E 即为所求. 18.(本题满分 5 分)如图,四边形 BCDE 是矩形,AB=AC.求证:AE=AD. 第 18 题图 证明:∵四边形 BCDE 是矩形, ∴EB=DC,∠EBC=∠DCB, ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABE=∠ACD, 在△ABE 与△ACD中, AB=AC, ∠ABE=∠ACD, EB=DC, ì î í ï ï ï ï ∴△ABE≌△ACD(SAS), ∴AE=AD. 19.(本题满分 5 分)如图,均匀的正四面体的各面依次标有 1、2、3、4 四个数字. 小明做了 60 次投掷试验,结果统计如下: 朝下数字 1 2 3 4 出现的次数 16 20 14 10 (1)计算上述试验中“4 朝下”的频率是　 　 　 　 ; (2)随机投掷正四面体两次,请用列表或画树状图法,求两次朝下的数字之 和大于 4 的概率. 第 19 题图 解:(2)随机投掷正四面体两次,所有可能出现的结果如下: 　 　 第一次 第二次　 　 1 2 3 4 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) 20.(本题满分 5 分)某市今年进行煤气工程改造,甲乙两个工程队共同承包这 个工程.这个工程若甲队单独做需要 10 天完成;若乙队单独做需要 15 天完 成.若甲乙两队同时施工 4 天,余下的工程由乙队完成,问乙队还需要几天能 够完成任务? 解:设甲乙两队同时施工 4 天后,余下的工程乙队还需要 x 天能够完成任务, 根据题意得 4 10 +4+x 15 =1,解得 x=5. 答:乙队还需要 5 天能够完成任务. 21.(本题满分 6 分)西安鼓楼,位于西安市中心,建于明太祖朱元璋洪武十三 年,是中国古代遗留下来的众多鼓楼中形制最大,保存最完整的鼓楼之一.五 一假期,小宇和小哲参加研学旅游,参观鼓楼后,他们想用学过的数学知识对 鼓楼进行测量,他们的测量方案如下:小哲站在点 C 处,利用测角仪测得鼓楼 的最高点 A 的仰角为 42°,小哲向点 B 的方向径直走了 17.5 米到达点 D,此 时利用测角仪测得鼓楼最高点 A 的仰角为 58°.已知点 C,D 与点 B 在同一条 水平线上,并且测角仪的高度忽略不计.请你计算鼓楼 AB 的高度.(结果保留 整数,参考数据:sin42°≈0.669,cos42°≈0.743,tan42°≈0.900,sin58°≈0.848, cos58°≈0.530,tan58°≈1.600) 第 21 题图 解:由题意得:AB⊥BC,CD=17.5 米, 设 BD=x 米,则 BC=BD+CD=(x+17.5)米, 在 Rt△ABC 中,∠ACB=42°, ∴AB=BC·tan42°≈0.9(x+17.5)米, 在 Rt△ABD中,∠ADB=58°, ∴AB=BD·tan58°≈1.6x(米), ∴1.6x=0.9(x+17.5),解得 x=22.5, ∴AB=1.6x=36(米), ∴鼓楼 AB 的高度约为 36 米. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 30-1 30-2 30-3 30-4 　 　 　30　 22.(本题满分 7 分)M、N 两地相距 1 000 米.甲、乙两机器人分别从 M、N 两地同 时出发,匀速而行,去往目的地 N,M.图中 OA,BC 分别表示甲、乙机器人离 M 地的距离 y(米)与行走时间 x(分钟)的函数关系. (1)求 BC 所在直线的函数表达式; (2)当甲机器人到达目的地 N 时,求此时乙机器人行走的距离. 第 22 题图 解:(1)设 BC 所在直线的函数表达式为 y = kx+b(k≠0),把 B(0,1 000),C(10,0)代入, 得 b=1 000, 10k+b=0,{ 解得 k=-100, b=1 000,{ ∴ BC 所在直线的表达式为 y = - 100x + 1 000; (2)当 x=6 时,y=-100×6+1 000=400, ∵1 000-400=600(米), ∴甲机器人到达目的地 N时,乙机器人行走的距离为 600 米. 23.(本题满分 7 分)为宣传 6 月 8 日世界海洋日,某校举行了主题为“珍惜海洋 资源,保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动.为了解全校 700 名学生此次竞 赛成绩的情况,随机抽取了 50 名参赛学生的成绩,整理并绘制出如下不完整 的统计表和统计图. 组别 分数 /分 频数 组内学生的 平均成绩 /分 A 60≤x<70 a 65 B 70≤x<80 10 75 C 80≤x<90 14 85 D 90≤x≤100 18 95 　 　 第 23 题图 请根据图表信息,解答以下问题: (1)表中 a= 　 8　 ,所抽取参赛学生的成绩的中位数落在“组别”　 C　 ; (2)求所抽取的这些学生的平均成绩; (3)请你估计该校竞赛成绩达到 90 分及以上的学生人数. 24.(本题满分 8 分)如图,△ABC 内接于☉O,AB = AC,AD 是☉O 的直径,交 BC 于点 E,DF 为☉O 的切线,连接 BD. (1)求证:DF∥BC; (2)已知 AC= 10,AF= 15,求 DF 的长. 第 24 题图 (1)证明:∵AD是☉O的直径, ∴∠ABD=90°, ∴∠DAB+∠ADB=90°, ∵DF 为☉O的切线, ∴∠ADF=90°, ∴∠DAF+∠F=90°, ∴∠ADB=∠F, ∵∠ACB=∠ADB,∴∠ACB=∠F, ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∴∠F=∠ABC, ∴DF∥BC; (2)解:由(1)知∠ABD=∠ADF=90°, ∵∠DAB=∠FAD,∴△ABD∽△ADF, ∴AB AD =AD AF ,即 AD2 =AB·AF, ∵AB=AC=10,AF=15,∴AD2 =150,解得 AD=5 6 (负值已舍去), 在 Rt△ADF 中,DF= AF2-AD2 = 152-(5 6 ) 2 =5 3 . 25.(本题满分 8 分)高速隧道是为了满足更好地适应地形、保护环境、节省土地 和提高通行效率等方面的需要,除此之外高速隧道还有重要的战略意义.如 图②所示,某高速隧道的下部近似为矩形 OABC,上部近似为一条抛物线.已 知OA= 10 米,AB= 1 米,高速隧道的最高点 P(抛物线的顶点)离地面 OA 的 距离为 10 米. (1)建立如图②所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式; (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯 E,F,若平行线段 EF 与 BC 之间的距离为 8 米,则点 E 与隧道左壁 OC 之间的距离为多少米? 图① 　 　 图② 第 25 题图 解:(1)由题意可得,顶点 P 的坐标为(5,10), ∴设抛物线的表达式为 y=a(x-5) 2+10(a≠0) . 又∵抛物线过点 B(10,1), ∴1=a×52+10,∴ a=- 9 25 , ∴抛物线的表达式为 y=- 9 25 (x-5) 2+10; (2)∵平行线段 EF 与 BC 之间的距离为 8 米,AB=1 米, ∴E,F 的纵坐标为 9. 由(1)知抛物线的表达式为 y=- 9 25 (x-5) 2+10, ∴令 y=9,得 9=- 9 25 (x-5) 2+10,∴ x=10 3 或 x=20 3 (不合题意,舍去), ∴点 E 与隧道左壁 OC 之间的距离为10 3 米. 26.(本题满分 10 分)【问题探究】 (1)如图①,在 Rt△ABC 中,AB = 4,AC = 3,∠BAC = 90°,点 E,点 F 分别为 BC,AC 边上的两个点,连接 AE、EF,过点 F 作 FD∥AE,交 BC 于点 D,连 接 AD,若 EF 恰好将△ABC 分为面积相等的两部分,求 AD 的长. 【问题解决】 (2)杨叔叔承包了一块土地欲进行耕种,土地形状如图②所示,其中四边形 ABCD 的面积为 12 600 平方米,AB∥CD,AB = 160 米,CD = 120 米,tanB = 18 17 ,CD ( 所在圆的半径为 65 米.已知CD ( 的中点 P 处有一口灌溉水井,现结 合实际耕种需求,需在 AB 上找一点 Q,使 PQ 将这块土地的面积分为相 等的两部分,用于耕种两种不同的作物,并沿 PQ 修一条灌溉水渠(水渠 的宽度忽略不计),请在图中找出点 Q 的位置,并计算灌溉水渠 PQ 的长. (结果保留根号) 图① 　 　 　 图② 第 26 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋