12.陕西副题、模拟题改编卷(三)-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·真题与拓展训练

参考答案及重难题解析·陕西数学 副 题 ︑模 拟 题 改 编 卷 12.陕西副题、模拟题改编卷(三) 快速对答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B A B C B C 填空题 9.- 1 2 　 10.1　 11.(n+1) 2 　 12.b<c<a　 13. 9 4 1.A　 2.B　 3.B　 4.A　 5.B　 6.C　 7.B 8.C　 【解析】设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c,由题意知 9a-3b+c= 16, c=-5, 9a+3b+c=-8, { 解得 a= 1, b=-4, c=-5, { ∴ 二次函数的解析式为 y = x2-4x-5=(x-5)(x+1)= (x-2) 2-9,∴ 函数的图象开口向 上,顶点为(2,-9),图象与 x 轴的两个交点是( -1,0)和 (5,0),对称轴为直线 x= 2,在 y 轴右侧,函数有最小值-9, 故 A、B、D 选项不正确,选项 C 正确,符合题意. 9.- 1 2 　 10.1　 11.(n+1) 2 　 12.b<c<a 13. 9 4 　 【解析】如解图,连接 AC 交 l 于点 O.∵ 直线 l 将 ▱ABCD 的面积平分,AC 为▱ABCD 的对角线,∴ O 为 AC 的中点,为平行四边形的中心.∴ OA=OC.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD,∴ ∠NAO =∠MCO, DM AN = ED EA . 又∵ ∠AON =∠COM,∴ △AON≌△COM(ASA),∴ AN = CM,∴ DM CM =ED EA ,又∵ ED= 2,AD = 4,AB = 3,∴ 3-CM CM = 2 6 , ∴ CM= 9 4 . 第 13 题解图 14.解:原式= 2 3 ÷2-( 3 -1)+1 = 3 - 3 +1+1 = 2. 15.解:原方程去分母得(x+1)(x-2)-4= x2-4, 整理得-x-6=-4, 解得 x=-2, 检验:当 x=-2 时,x2-4= 0, 则 x=-2 是原方程的增根, 故原分式方程无解. 16.解:解不等式 5x-2<3(x+1),得 x< 5 2 , 解不等式 2x-2 3 ≥x-1,得 x≤1. 则原不等式组的解集为 x≤1. 17.解:如解图,四边形 AMNP 即为所求. 第 17 题解图 18.证明:∵ DC⊥AC 于点 C,∴ ∠ACB+∠DCE= 90°, ∵ ∠ABC= 90°,∴ ∠ACB+∠A= 90°, ∴ ∠A=∠DCE, ∵ DE⊥BC 于点 E,∴ ∠E= 90°,∴ ∠B=∠E. 在△ABC 和△CED 中 ∠B=∠E, ∠A=∠DCE AC=CD, { , ∴ △ABC≌△CED(AAS),∴ BC=ED. ∵ ED2+CE2 =CD2, ∴ BC2+CE2 =CD2 . 19.解:设该文具店中这种黑色中性笔的单价为 x 元,则 6x+6x+3= 27, 解得 x= 2. 答:该文具店中这种黑色中性笔的单价是 2 元. 20.解:(1) 1 4 ; (2)画树状图如解图: 第 20 题解图 由树状图可知,共有 12 种等可能的结果,其中两人抽取 的卡片恰好组成“自由”一词的结果有 2 种, ∴ 两人抽取的卡片恰好组成 “自由” 一词的概率为 2 12 = 1 6 . 21.解:如解图,延长 BC 交 AD 于点 E, 根据题意,得 BE = 80 米,AD = 21 米,∠CAE = 14°,∠CDE = 31°,∠AEC= 90°, 在 Rt△ACE 中,CE=AE·tan∠CAE=(21+DE)·tan14°≈ 0.25(21+DE), 在 Rt△CDE 中, CE = DE· tan∠CDE = DE· tan31° ≈ 0.6DE, ∴ 0.25(21+DE)= 0.6DE,解得 DE= 15, ∴ CE≈0.6×15= 9(米),∴ BC=BE-CE= 80-9= 71(米), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62 参考答案及重难题解析·陕西数学 副 题 ︑模 拟 题 改 编 卷 即大楼的高度 BC 约为 71 米. 第 21 题解图 22.解:(1)79,79; (2)c= 1 10 ×[(73-80)2+(74-80)2+(75-80) 2 +(77-80) 2 + 2×(80-80) 2+(81-80) 2+2×(85-80) 2+(90-80) 2] = 27, ∵ 27<51.4, ∴ 乙班的成绩更稳定; (3)根据题意得 45× 4 10 +40× 6 10 = 42. 答:估计这两个班可以获奖的总人数是 42. 23.解:(1)当 20<x≤51 时,设关系式为 y=mx+n, ∴ 20m+n= 960, 40m+n= 1 660,{ ∴ m= 35, n= 260,{ ∴ y= 35x+260. ∴ 灌浆期内 y 与 x 之间的函数关系式为 y= 35x+260(20< x≤51); (2)由题意,令 x= 50, ∴ y= 35×50+260= 2 010. 又∵ 当 x= 20 时,y= 960, ∴ 每公顷小麦在第 50 天与第 20 天的需水量的差值为 2 010-960= 1 050(m3) . 24.(1)证明:∵ ∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB, ∴ ∠ADB=∠CDB,∴ AB ( =CB ( , ∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD=∠CBD,∴ AD ( =CD ( , ∴ AD ( +AB ( =CD ( +BC ( ,∴ BD 是圆的直径,∴ ∠BAD= 90°, ∴ AB⊥AD; (2)解:∵ AD ( =CD ( ,∴ AD=CD, ∵ AC=AD,∴ AC=CD=AD, ∴ △ACD 是等边三角形,∴ ∠ACD=∠CAD= 60°, ∴ ∠ABD=∠CBD= 60°,∴ ∠FBC= 60°, ∴ ∠CDB=∠ADB= 30°, ∵ CF∥AD,∴ ∠F+∠BAD= 90°, ∴ ∠F= 90°,∠BCF= 30°, ∵ BF= 2,∴ BC= 2BF= 4, ∵ ∠BCD= 90°,∠BDC= 30°, ∴ BD= 2BC= 8,∴ 圆的半径长是 4. 25.解:(1)由题可知,抛物线的顶点坐标为(12,8), 设 y=a(x-12) 2+8, 依题意,得 a=- 1 18 , ∴ 该抛物线的函数表达式为 y=- 1 18 (x-12) 2+8; (2)方案一:令 y= 6,则 6= - 1 18 (x-12) 2+8. 解得 x1 = 6,x2 = 18,∴ BC=AD= 12, 又∵ AB=CD= 6, ∴ 矩形 ABCD 的周长 C1 = 2×12+2×6= 36(m); 方案二:令 y= 4,则- 1 18 (x-12) 2+8= 4, 解得x1 = 12-6 2 ,x2 = 12+6 2 , ∴ B′C′=A′D′= 12+6 2 -(12-6 2 )= 12 2 , 又∵ A′B′=C′D′= 4, ∴ 矩形 A′B′C′D′的周长C2 = 2×12 2 +2×4=(24 2 +8)m. ∵ C1 = 36= 28+8= 4×7+8,C2 = 24 2 +8= 4×6 2 +8, ∴ 36<24 2 +8,即 C1<C2 . 26.解:(1) 过 P 作 PC⊥OB 于 C,作 PD⊥OA 于 D,如解 图①, 第 26 题解图① ∵ ∠AOB= 120°, ∠EPF= 60°, ∴ ∠OEP+∠OFP= 180°, ∵ ∠OEP+∠PED= 180°, ∴ ∠OFP =∠PED,即∠PFC =∠PED, ∵ OP 平分∠AOB,PC⊥OB,PD⊥OA, ∴ PC=PD, ∵ ∠PCF=∠PDE= 90°,∴ △PCF≌△PDE(AAS), ∴ CF=DE,∴ OE+OF=(OD-DE)+(OC+CF)= OD+OC, ∵ ∠POD=∠POC= 60°,∴ ∠OPD=∠OPC= 30°, ∴ OD=OC= 1 2 OP= 2, ∴ OE+OF= 4, 第 26 题解图② 设 OF= x,则 OE= 4-x, 过 F 作 FG⊥ AO 于 G, 如解 图②, ∵ ∠OFG=∠AOB-∠G = 120°- 90° = 30°, ∴ OG= 1 2 x,GF= 3 2 x, ∴ EG=OE+OG= 4- 1 2 x, ∴ EF = EG2+GF2 = (4- 1 2 x) 2+( 3 2 x) 2 = x2-4x+16 = (x-2) 2+12 , ∴ 当 x= 2 时,EF 取最小值 12 = 2 3 , ∴ 线段 EF 的最小值是 2 3 ; (2)当整个水面 AB 都被灯光照到时, ①C 与 A 重合,F 与 B 重合,设 PH 交 P1P2 于 K,圆心为 O,连接 HO,AO,P1O,过 P1 作 P1T⊥AB 于 T,如解图③, ∵ 点 P 是拱桥AB ( 的中点,PH⊥AB, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 72 参考答案及重难题解析·陕西数学 副 题 ︑模 拟 题 改 编 卷 第 26 题解图③ ∴ O,P,H 共线,AH = BH= 1 2 AB= 12 m, 设☉O 半径为 r m,则 OH = OP - PH = ( r - 8)m, 在 Rt△AHO 中,AH2+OH2 =OA2, ∴ 122+( r-8) 2 = r2,解得 r= 13,∴ OP1 = 13 m, ∵ PP1 ( =PP2 ( ,且 P1P2 = 10 m,∴ P1K=P2K= 5 m, ∴ OK= P1O2-P1K2 = 132-52 = 12(m), ∴ PK=OP-OK= 13-12= 1(m), ∴ KH=PH-PK= 8-1= 7(m),∴ P1T=KH= 7 m, ∵ AT=AH-TH= 12-5= 7(m), ∴ AT=P1T,∴ ∠P1AT= 45°, ∵ ∠CP1D= 90°,即∠AP1D= 90°, ∴ △AP1D 是等腰直角三角形, ∴ AD= 2AT= 14(m),即 CD= 14 m, ∴ DB=AB-AD= 24-14= 10(m), 同理可得 BE= 14 m,即 FE= 14 m, ∴ DE=EF-DB= 14-10= 4(m), ∴ 这两个灯照在水面 AB 上的重叠部分的水面宽度为 4 m; ②当 E 与 A 重合,D 与 B 重合时,如解图④, 第 26 题解图④ ∵ AT=P1T= 7 m=P2M,P1P2 = 10 m, ∴ AM=AT+TM= 17(m), ∴ AP2 = AM2+P2M2 = 172+72 = 338 (m), ∵ cos∠P2AM= AM AP2 = AP2 AF ,∴ 17 338 = 338 AF , ∴ AF= 338 17 ,同理 BC= 338 17 , ∴ CF=AF+BC-AB= 338 17 +338 17 -24= 268 17 (m), ∴ 这两个灯照在水面 AB 上的重叠部分的水面宽度为 268 17 m. 综上所述,这两个灯照在水面 AB 上的重叠部分的水面宽 度为 4 m 或 268 17 m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13.陕西副题、模拟题改编卷(四) 快速对答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D C B B C C 填空题 9.a(a-2)+b(a-2)　 10.36　 11.8　 12.16　 13.15+3 5 1.A　 2.D　 3.D　 4.C　 5.B　 6.B　 7.C 8.C　 【解析】 将 ( - 1, - 3), ( 1,5) 代入 y = ax2 + bx + 2 得 -3=a-b+2, 5=a+b+2,{ 解得 a=-1, b= 4,{ ∴ y= -x 2 +4x+2 = -( x-2) 2 +6, ∴ 抛物线开口向下,对称轴为直线 x = 2,顶点坐标为(2, 6),∴ ①错误,②正确.∵ 点 A 坐标为(0,2),点 A,B 关于对 称轴对称,∴ 点 B 坐标为(4,2),③错误.∵ 0<x1 <1,4<x2 < 5,∴ 点 C 到对称轴的距离小于点 D 到对称轴的距离,∴ y1 >y2 .④正确.故选 C. 9.a(a-2)+b(a-2)(答案不唯一)　 10.36　 11.8　 12.16 13.15+3 5 　 【解析】如解图,过点 B 作 BM∥EF 交 DC 于M, 过点 A 作 AN∥EF,使 AN = EF,连接 NE,NC,则四边形 ANEF 是平行四边形,∴ AF = NE,∴ AF+EC = NE+EC≥ NC,即 AF+CE 的最小值为 NC,∵ 四边形 ABCD 是矩形, AB= 12,AD = 6,∴ AD = BC = 6,AB = CD = 12,AB∥DC, ∠ABC= 90°,∴ AC = AB2+BC2 = 6 5 ,四边形 EFMB 是 平行四边形,∴ BM=EF,∴ BM=AN,∵ EF⊥AC,∴ BM⊥AC, AN⊥AC,∴ ∠CAN = 90°,∠MBC+∠ACB = 90° = ∠ACB+ ∠ACD,∴ ∠MBC = ∠ACD,∴ tan∠MBC = tan∠ACD,∴ CM CB = AD DC ,即 CM 6 = 6 12 ,∴ MC = 3,∴ BM = BC2+CM2 = 62+32 = 3 5 =AN = EF,∴ CN = AC2+AN2 = 15,∵ AF+ FE+EC≥NC+EF,∴ AF+FE+EC≥15+3 5 ,∴ AF+FE+EC 的最小值为 15+3 5 . 第 13 题解图 14.解:原式= 9+2 2 -1-3 = 5+2 2 . 15.解:解不等式 3-x≥2(x-3),得 x≤3, 解不等式 x-1 2 -x +1 3 >-1,得 x>-1, 则不等式组的解集为-1<x≤3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 82 23-1 23-2 23-3 23-4 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 版权归 所有 23　 　 　 　 12 陕西副题、模拟题改编卷(三) (总分:120 分　 时间:120 分钟) 第一部分(选择题　 共 24 分) 一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,计 24 分.每小题只有一个选项是符合题意的) 1.下列实数中,为无理数的是 ( A ) A. 8 B. 2 7 C. 4 D.(π+1) 0 2.下列图形中,是中心对称但不是轴对称图形的是 ( B ) A 　 　 　 　 　 B 　 　 　 　 　 C 　 　 　 　 　 D 3.(2024 铁一中一模)如图,AB 和 CD 是直尺的两边,且 AB∥CD,把三角尺的直 角顶点放在 CD 上.若∠1=52°,则∠2 的度数是 ( B ) A.52° B.38° C.28° D.45° 第 3 题图 　 　 　 第 5 题图 4.计算:(- 1 2 a2b) 3 = ( A ) A.- 1 8 a6 b3 B.- 1 8 a5 b3 C.- 1 6 a6 b3 D.- 1 6 a5 b3 5.(2024 高新一中六模)如图,直线 y= 2x-1 与直线 y=-x+b 相交于点 P(2,m), 则关于 x 的不等式 2x-b>-x+1 的解集是 ( B ) A.x<2 B.x>2 C.x<3 D.x>3 6.(2024 曲江一中二模)如图,在▱ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,添加下 列条件不能判定▱ABCD 为矩形的只有 ( C ) A.AC=BD B.AB= 6,BC= 8,AC= 10 C.AC⊥BD D.∠1=∠2 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7.《梦溪笔谈》是我国古代科技著作,其中记录了计算圆弧长度的“会圆术” .如 图,AB ( 是以点 O 为圆心、OA 为半径的圆弧,M 是☉O 上一点,N 是 AB 的中点, MN⊥AB.“会圆术”给出AB ( 的弧长 l 的近似值计算公式:l =AB+MN 2 OA .当 OA= 4, ∠AOB= 60°时,则 l 的值为 ( B ) A.11-2 3 B.11-4 3 C.8-2 3 D.8-4 3 8.(2023 陕西副题改编)如表中列出的是一个二次函数的自变量 x 与函数 y 的 几组对应值: x … -3 0 3 5 … y … 16 -5 -8 0 … 则下列关于这个二次函数的结论中,正确的是 ( C ) A.图象的对称轴在 y 轴左侧 B.有最大值-9 C.图象与 x 轴有两个交点 D.图象开口向下 第二部分(非选择题　 共 96 分) 二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,计 15 分) 9.如图,数轴上点 A 所表示的数的倒数为　 　 　 　 . 第 9 题图 10.如图,正六边形 ABCDEF 和正方形 ABGH 的边长都为 2,则△BCG 的面积 为　 　 　 　 . 第 10 题图 　 第 11 题图 　 第 13 题图 11.(2024 汉中市一模)围棋,起源于中国,古称“弈”,是棋类之鼻祖,距今已有 4 000 多年的历史.现用围棋中的黑子摆出如图所示的正方形图案,则第 n 个 正方形图案有黑子　 (n+1) 2 　 (用含有 n 的式子表示)个. 12.(2024 铁一滨河三模)在函数 y = k x 的图象上有两点 A(x1,y1)、B(x2,y2),当 0<x1<x2,y1<y2,且图象上有三点(-2,a),(1,b),(3,c),则函数值 a,b,c 的大 小关系为　 b<c<a　 . 13.(2023 陕西副题)如图,在▱ABCD 中,AB= 3,AD= 4,点 E 在 AD 的延长线上, 且 DE= 2,过点 E 作直线 l 分别交边 CD,AB 于点 M,N.若直线 l 将▱ABCD 的 面积平分,则线段 CM 的长为　 　 　 　 . 三、解答题(共 13 小题,计 81 分,解答应写出过程) 14.(本题满分 5 分)计算: 12 ÷2- | 1- 3 | +(6-π) 0 . 解:原式=2 3 ÷2-( 3 -1)+1= 3 - 3 +1+1=2. 15.(本题满分 5 分)解方程:x +1 x+2 - 4 x2-4 = 1. 解:原方程去分母得(x+1)(x-2)-4=x2-4,整理得-x-6=-4,解得 x=-2,检 验:当 x=-2 时,x2-4=0,则 x=-2 是原方程的增根,故原分式方程无解. 16.(本题满分 5 分)(2024 西工大附中一模)解不等式组: 5x-2<3(x+1), 2x-2 3 ≥x-1. ì î í ï ï ï ï 解:解不等式 5x-2<3(x+1),得 x< 5 2 , 解不等式 2x-2 3 ≥x-1,得 x≤1. 则原不等式组的解集为 x≤1. 17.(本题满分 5 分)(2023 陕西副题改编)如图在△ABC 的边 AB,BC,CA 上分别 确定点 M,N,P,使得四边形 AMNP 为菱形,请作出菱形 AMNP.(保留作图痕 迹,不写作法) 第 17 题图 解:如解图,四边形 AMNP 即为所求. 18.(本题满分 5 分)(2023 陕西副题改编)如图,在△ABC 中,∠B = 90°,作 CD⊥ AC,且使 CD=AC,作 DE⊥BC,交 BC 的延长线于点 E.求证:BC2+CE2 =CD2 . 第 18 题图 证明:∵DC⊥AC 于点 C,∴∠ACB+∠DCE=90°, ∵∠ABC=90°,∴∠ACB+∠A=90°,∴∠A=∠DCE, ∵DE⊥BC 于点 E,∴∠E=90°,∴∠B=∠E. 在△ABC 和△CED中, ∠B=∠E, ∠A=∠DCE AC=CD, ì î í ï ï ï ï , ∴△ABC≌△CED(AAS),∴BC=ED. ∵ED2+CE2 =CD2,∴BC2+CE2 =CD2 . 19.(本题满分 5 分)(2024 铁一中一模)小远在文具店买了一盒 24 色马克笔和 一种黑色中性笔 6 根,共用了 27 元.已知他买一盒马克笔的钱比 6 根黑色中 性笔的钱多 3 元.求该文具店中这种黑色中性笔的单价. 解:设该文具店中这种黑色中性笔的单价为 x 元,则 6x+6x+3=27,解得 x=2. 答:该文具店中这种黑色中性笔的单价是 2 元. 20.(本题满分 5 分)(2024 高新一中六模)甲骨文是迄今为止中国发现的年代最 早的成熟文字系统,是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉.小文在了解 了甲骨文后,制作了如图所示的四张卡片(这四张卡片分别用字母 A,B,C,D 表示,正面文字依次是文、明、自、由,这四张卡片除正面内容不同外,其余均 相同),现将四张卡片背面朝上,洗匀放好. (1)小文从中随机抽取一张卡片,抽取卡片上的文字是“明”的概率为　 　 　 ; (2)小文从中随机抽取一张卡片,不放回,小丽再从剩余的三张中随机抽取 一张卡片,请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自 由”一词的概率. A 　 　 B 　 　 C 　 　 D 第 20 题图 由树状图可知,共有 12 种等可能的结果,其中两人抽取的卡片恰好组成“自 由”一词的结果有 2 种, ∴两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率为 2 12 = 1 6 . 21.(本题满分 6 分)(2024 陕师大附中二模)无人机在实际生活中应用广泛,如 图所示,某人利用无人机测大楼的高度 BC,无人机在空中点 A 处,测得点 A 与地面距离 80 米,测得 C 点的俯角为 14°,控制无人机水平移动至点 D,测得 AD= 21 米,楼顶 C 点的俯角为 31°(点 A、B、C、D 在同一平面内),求大楼的高 度 BC.(tan14°≈0.25,tan31°≈0.6) 第 21 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24-1 24-2 24-3 24-4 　 　 　24　 22.(本题满分 7 分)某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛,从甲班和乙班 各随机抽取 10 名学生.统计这部分学生的竞赛成绩,并对数据(成绩)进行了 收集、整理、分析.下面给出了部分信息. 【收集数据】 甲班 10 名学生竞赛成绩:70,71,72,78,79,79,85,86,89,91 乙班 10 名学生竞赛成绩:73,74,75,77,80,80,81,85,85,90 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51.4 乙班 80 80 80,85 c 【解决问题】 根据以上信息,回答下列问题: (1)填空:a= 　 79　 ,b= 　 79　 ; (2)求出 c 的值,并说明哪个班的成绩更稳定; (3)甲班共有学生 45 人,乙班共有学生 40 人.按竞赛规定,80 分及 80 分以上 的学生可以获奖,估计这两个班可以获奖的总人数是多少? 解:(2)c= 1 10 ×[(73-80) 2+(74-80) 2+(75-80) 2+(77-80) 2+2×(80-80) 2+ (81-80) 2+2×(85-80) 2+(90-80) 2] =27, ∵乙班方差小于甲班,∴乙班的成绩更稳定; (3)根据题意得 45× 4 10 +40× 6 10 =42, 答:估计这两个班可以获奖的总人数是 42 人. 23.(本题满分 7 分)(2023 陕西副题改编)某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆 期连续 51 天的累计需水量进行研究,得到当地每公顷小麦在这 51 天内累计 需水量 y(m3)与天数 x 之间的关系如图所示,其中,线段 OA,AC 分别表示抽 穗期、灌浆期的 y 与 x 之间的函数关系. (1)求灌浆期内 y 与 x 之间的函数关系式; (2)求当地每公顷小麦在第 50 天与第 20 天的需水量的差值. 第 23 题图 解:(1)当 20 <x≤51 时,设关系式为 y = mx+n, ∴ 20m+n=960, 40m+n=1 660,{ ∴ m=35, n=260,{ ∴ y=35x+260. 24.(本题满分 8 分)(2024 榆林市二模改编)如图,圆内接四边形 ABCD 的对角 线 AC,BD 交于点 E,BD 平分∠ABC,∠BAC=∠ADB. (1)求证:AB⊥AD; (2)过点 C 作 CF∥AD 交 AB 的延长线于点 F,若 AC=AD,BF= 2,求此圆半径 的长. 第 24 题图 (1)证明:∵∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB, ∴∠ADB=∠CDB,∴AB ( =CB ( , ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴AD ( =CD ( , ∴AD ( +AB ( =CD ( +BC ( ,∴ BD 是圆的直径,∴∠BAD = 90°, ∴AB⊥AD; (2)解:∵AD ( =CD ( ,∴AD=CD, ∵AC=AD,∴AC=CD=AD,∴△ACD是等边三角形, ∴∠ACD=∠CAD=60°,∴∠ABD=∠CBD=60°,∴∠FBC=60°, ∵CF∥AD,∴∠F+∠BAD=90°,∴∠F=90°,∠BCF=30°, ∵BF=2,∴BC=2BF=4, ∵∠BCD=90°,∠BDC=30°,∴BD=2BC=8, ∴圆的半径长是 4. 25.(本题满分 8 分)(2024 西安市二模改编)某地想将新建公园的正门设计为一 个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标 系中,如图所示,抛物线型拱门的跨度 ON= 24 m,拱高 PE= 8 m.其中,点 N 在 x 轴上,PE⊥ON,OE=EN. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计) .设 计部门给出了两个设计方案: 方案一:矩形框架 ABCD 的周长记为 C1,点 A、D 在抛物线上,边 BC 在 ON 上,其中 AB= 6 m. 方案二:矩形框架 A′B′C′D′的周长记为 C2,点 A′、D′在抛物线上,边 B′C′ 在 ON 上,其中 A′B′= 4 m. 求这两个方案中,矩形框架的周长 C1,C2,并比较 C1,C2 的大小. 第 25 题图 解:(1)由题可知,抛物线的顶点坐标为(12,8), 设 y=a(x-12) 2+8,依题意,得 a=- 1 18 , ∴该抛物线的函数表达式为 y=- 1 18 (x-12) 2+8; (2)方案一:令 y=6,则 6=- 1 18 (x-12) 2+8. 解得 x1 =6,x2 =18,∴BC=AD=12, 又∵AB=CD=6,∴矩形 ABCD的周长 C1 =2×12+2×6=36(m); 方案二:令 y=4,则- 1 18 (x-12) 2+8=4, 解得x1 =12-6 2 ,x2 =12+6 2 , ∴B′C′=A′D′=12+6 2 -(12-6 2 )= 12 2 , 又∵A′B′=C′D′=4, ∴矩形 A′B′C′D′的周长C2 =2×12 2 +2×4=(24 2 +8)m. ∵C1 =36=28+8=4×7+8,C2 =24 2 +8=4×6 2 +8, ∴36<24 2 +8,即 C1<C2 . 26.(本题满分 10 分)(2023 陕西副题) (1)如图①,∠AOB= 120°,点 P 在∠AOB 的平分线上,OP = 4.点 E,F 分别在 边 OA,OB 上,且∠EPF= 60°,连接 EF,求线段 EF 的最小值; (2)如图②,是一个圆弧型拱桥的截面示意图.点 P 是拱桥AB ( 的中点,桥下水 面的宽度 AB = 24 m,点 P 到水面 AB 的距离 PH = 8 m.点 P1,P2 均在AB ( 上,PP1 ( = PP2 ( ,且 P1P2 = 10 m,在点 P1,P2 处各装有一个照明灯,图中 △P1CD 和△P2EF 分别是这两个灯的光照范围.两灯可以分别绕点 P1, P2 左右转动,且光束始终照在水面 AB 上.即∠CP1D,∠EP2F 可分别绕点 P1,P2 按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计),线段 CD,EF 在 AB 上,此时,线段 ED 是这两灯照在水面 AB 上的重叠部分的水面宽 度.已知∠CP1D=∠EP2F = 90°,在这两个灯的照射下,当整个水面 AB 都 被灯光照到时,求这两个灯照在水面 AB 上的重叠部分的水面宽度.(可 利用备用图解答) 图① 　 　 图② 　 　 备用图 第 26 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋