8.2024年西安市铁一中第七次模拟考试-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·真题与拓展训练

参考答案及重难题解析·陕西数学 陕 西 名 校 模 拟 卷 8.2024 年西安市铁一中第七次模拟考试 快速对答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A A C C A D 填空题 9.3　 10.a(x-1) 2 　 11.(4a+aπ)　 12.V≥ 3 5 m3 　 13.18 1.B　 2.B　 3.A　 4.A　 5.C　 6.C　 7.A 8.D　 【解析】A.由函数图象关于对称轴对称,得(0,-3),(2, -3)在函数图象上,∴ - b 2a = 0 +2 2 = 1,∴ 2a+b= 0,正确,不符 合题意;B.∵ 当 x= -1 时,y = 0;当 x = 3 时,y = 0,∴ 抛物线 与 x 轴的交点为(-1,0)和(3,0),正确,不符合题意;C.二 次函数 y=ax2+bx+c 图象以 x = 1 为对称轴,抛物线开口向 上,∵ 点 A(m-2,y1),B(m,y2)在抛物线图象上,且 y1<y2, ∴ |m-2-1 | < |m-1 | ,即 |m-3 | < |m-1 | ,当 m≥3 时,m-3< m-1,此时 m≥3;当 1<m<3 时,3-m<m-1,此时 2<m<3;当 m<1 时,3-m<1-m 此时无解,∴ 综上所述:m>2,正确,不 符合题意;D.∵ 顶点为(1,-4),函数有最小值,即最小值 是 y=a+b+c= 4,∴ 对于任意实数 x,则 a+b+c≤ax2 +bx+c, 即 a+b≤ax2+bx 总成立,错误,符合题意. 9.3　 10.a(x-1) 2 　 11.(4a+aπ)　 12.V≥ 3 5 m3 13.18　 【解析】如解图,过点 C 作 CF⊥BE,则∠CFB = 90° = ∠AEB,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ABC = 90°,AB = BC,∴ ∠CBF = ∠BAE = 90° -∠ABE,∴ △BCF≌△ABE (AAS),∴ CF=BE= 6,S△EBC = 1 2 BE·CF= 1 2 ×6×6= 18. 第 13 题解图 14.解:原式= 1+2× 3 2 -( 3 -1) = 1+ 3 - 3 +1 = 2. 15.解:去分母得 3(x+2)-2(2x-1)≥12, 去括号得 3x+6-4x+2≥12, 移项、合并同类项得-x≥4, 系数化为 1 得 x≤-4. 16.解:原式= a+2-4 a+2 ÷a(a -2) (a+2) 2 = a -2 a+2 · (a+2) 2 a(a-2) = a +2 a , 当 a=-1 时,原式= -1+2 -1 =-1. 17.解:如解图,四边形 ABCD 即为所求. 第 17 题解图 18.证明:∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AB=AC,∠BAD=∠ACB= 60°, ∵ AE∥BC,∴ ∠CAE=∠ACB= 60° =∠BAD, 在△ABD 和△ACE 中, ∠BAD=∠CAE, AB=AC, ∠ABD=∠ACE, { ∴ △ABD≌△ACE(ASA),∴ AD=AE, 又∵ ∠DAE= 60°,∴ △ADE 是等边三角形. 19.解:设这种服装每件的标价是 x 元, 根据题意得 10×0.9x= 12(x-30), 解得 x= 120. 答:这种服装每件的标价为 120 元. 20.解:(1) 1 2 ; (2)游戏不公平,理由如下:设 Q 的 2 个半张牌及 K 的 2 个半张牌分别用 Q、q,K、k 表示,画树状图如解图: 第 20 题解图 共有 12 种等可能的结果,其中能拼成一张完整的扑克牌 的结果有 4 种,不能拼成一张完整的扑克牌的结果有 8 种, ∴ 小撒获胜的概率= 4 12 = 1 3 ,小尼获胜的概率= 8 12 = 2 3 , ∵ 1 3 ≠ 2 3 ,∴ 游戏不公平. 第 21 题解图 21.解:如解图,过点 D 作 DE⊥ BC,垂足 为 E, ∵ AB=AC= 1.8 米,∠BAC=α= 42°, ∴ ∠C=∠B= 180°-∠BAC 2 = 69°, ∵ AD= 1.5 米, ∴ BD=AD+AB= 3.3(米), 在 Rt△BDE 中,DE=BD·sin69°≈ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71 参考答案及重难题解析·陕西数学 陕 西 名 校 模 拟 卷 3.3×0.93≈3.1(米), 答:此时桑梯顶端 D 到地面的距离约为 3.1 米. 22.解:(1)当 x>40 时, y1 = 150×0.8x= 120x, y2 = 150×40+150×0.6(x-40)= 90x+2 400, ∴ y1 与 x 的函数表达式为 y1 = 120x;y2 与 x 的函数表达 式为 y2 = 90x+2 400; (2)选择乙旅行社更划算.理由如下: 当 x= 100 时,y1 = 120×100 = 12 000,y2 = 90×100+2 400 = 11 400, ∵ 11 400<12 000,∴ 选择乙旅行社更划算. 23.解:(1)40; (2)9,8.5; (3)520× 3+4+1 2+3+4+1 = 416(名) . 答:估计该年级有 416 名学生的测试成绩合格. 24.(1)证明:如解图,连接 OC, 第 24 题解图 ∵ OA=OC, ∴ ∠OAC=∠OCA, ∵ AC∥OP, ∴ ∠BOP=∠OAC, ∠COP=∠OCA, ∴ ∠BOP=∠COP, 在△BOP 与△COP 中, OB=OC, ∠BOP=∠COP, OP=OP, { ∴ △BOP≌△COP(SAS),∴ ∠PBO=∠PCO, ∵ 直线 BP 与☉O 相切于点 B, ∴ ∠PBO= 90°,∴ ∠PCO= 90°,∴ OC⊥PC, ∵ OC 是☉O 的半径,∴ PC 是☉O 的切线; (2)解:如解图,连接 BC 交 OP 于点 D, ∵ AC∥OP,OA=OB,∴ BD=CD,∴ OD= 1 2 AC, ∵ OP= 4AC,∴ OP= 8OD, ∵ AB 为☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°,∴ ∠ODB= 90°, ∵ ∠OBP= 90°,∴ ∠OBP=∠ODB, 又∵ ∠BOD=∠POB,∴ △BOD∽△POB, ∴ OB OP =OD OB ,∴ OB2 =OP·OD= 8OD2, ∴ OB= 2 2OD,∴ BP= OP2-OB2 = 2 14OD, 由(1)知△BOP≌△COP(SAS), ∴ ∠BPO=∠CPO, ∴ tan∠CPO= tan∠BPO= OB BP = 2 2OD 2 14OD = 7 7 . 25.解:(1)由题意知,抛物线顶点 D 的坐标为( 9 2 , 24 5 ), 设抛物线的表达式为 y=a(x- 9 2 ) 2+ 24 5 (a≠0), ∵ OA= 3 4 ,∴ A(0, 3 4 ), 将点 A(0, 3 4 )代入抛物线表达式得 3 4 =a(0- 9 2 ) 2+ 24 5 , 解得 a=- 1 5 , ∴ 抛物线对应的函数的表达式为 y=- 1 5 (x- 9 2 ) 2+ 24 5 ; (2)①将 x= 15 2 代入 y=- 1 5 (x- 9 2 ) 2+ 24 5 中,得 y= 3, ∴ 点 M( 15 2 ,3), ∴ 设直线 OM 的表达式为 y= kx(k≠0), 将点 M( 15 2 ,3)代入得 15 2 k= 3, ∴ k= 2 5 ,∴ 直线 OM 的表达式为 y= 2 5 x, 如解图,过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H,交直线 OM 于 P, ∵ 点 D 的坐标为( 9 2 , 24 5 ),∴ 点 P 的横坐标为 9 2 , 将 x= 9 2 代入 y= 2 5 x,得 y= 9 5 , ∴ 点 P 的坐标为( 9 2 , 9 5 ),∴ PD= 24 5 - 9 5 = 3, ∵ 他能刷到的最大垂直高度是 12 5 米,且 3> 12 5 , ∴ 工人师傅不能刷到顶点 D; 第 25 题解图 ② 3 2 <m< 11 2 .【解法提示】如解图,过 E 作 x 轴的垂线交直 线 OM 于点 F,∵ 点 E 的横坐标为 m,∴ E(m,- 1 5 (m- 9 2 ) 2+ 24 5 ),F(m, 2 5 m),∴ EF = - 1 5 (m- 9 2 ) 2 + 24 5 - 2 5 m =- 1 5 m2+ 7 5 m+ 3 4 = - 1 5 (m- 7 2 ) 2 + 16 5 .∵ 师傅能刷到的 最大垂直高度是 12 5 米,∴ 当 EF> 12 5 时,他就不能刷到大 门顶部,当 EF= 12 5 ,即- 1 5 (m- 7 2 ) 2 + 16 5 = 12 5 时,解得 m1 = 3 2 ,m2 = 11 2 .又∵ EF 是关于 m 的二次函数,且图象开口 向下,∴ 他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标 m 的范 围是 3 2 <m< 11 2 . 26.解:(1)如解图①,点 P 即为所求, 设正方形的边长为 a,由作图可知:AB =BP =BC =CP =CD =EF=a,AP=PD, ∴ △BCP 为等边三角形,∴ ∠PBC= 60°, ∴ PE=BP·sin60° = 3 2 a,∴ PF=EF-PE=a- 3 2 a, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 81 参考答案及重难题解析·陕西数学 陕 西 名 校 模 拟 卷 ∴ S△BCP = 1 2 a· 3 a 2 = 3 4 a2, S△ADP = 1 2 a·(a- 3 a 2 )= (2- 3 )a2 4 , ∴ S△ABP =S△PCD = 1 4 a2, 故四个等腰三角形由小到大的面积之比为(2- 3 ) ∶ 1 ∶ 1 ∶ 3 ; (2)①方案一:如解图②,连接矩形对角线,交于点 P,此 时将矩形分割为四个等腰三角形, 此时,四个等腰三角形的面积为 1 4 ×30×40 = 300,面积比 为 1 ∶1 ∶1 ∶1, 方案二:如解图③,点 P 即为所求, 由题意可知,AB=BP=CP=CD=EF= 30,AD=BC= 40, ∴ BE=CE= 20, 根据勾股定理,PE= BP2-BE2 = 10 5 , ∴ PF=EF-PE= 30-10 5 , ∴ S△BCP = 200 5 ,S△APD = 600-200 5 , ∴ S△ABP =S△PCD = 1 2 ×30×20= 300, ∴ 由小到大的面积之比为(6-2 5 ) ∶3 ∶3 ∶2 5 , 方案三:如解图④, 同法可得,S△ABP = 1 2 ×30×5 55 = 75 55 , S△PCD = 1 2 ×30×(40-5 55 )= 600-75 55 , ∴ S△APD =S△BCP = 1 2 ×40×15= 300, ∴ 四个三角形的面积比为(8- 55 ) ∶4 ∶4 ∶ 55 , ②由三种图形可知,中间两个等腰三角形的面积相等,都 为 300,为了节约成本, ∴ 最贵的花种在面积最小的等腰三角形中,最便宜的花 种在面积最大的等腰三角形中, ∵ 600-75 55 <600-200 5 <300, ∴ 建议使用方案三. 图① 图② 图③ 图④ 第 26 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9.2024 年西安市交大附中第六次模拟考试(有改动) 快速对答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C A D C B 填空题 9.2 3 　 10.十　 11.-1(答案不唯一)　 12.>　 13.4 2 +4 1.C　 2.B　 3.A　 4.C　 5.A　 6.D　 7.C 8.B　 【解析】∵ y= x2-2mx+m2+2m-1=( x-m) 2+2m-1,∴ 顶 点为(m,2m-1) .令 x=m,则 y = 2x-1,∴ 顶点在函数 y = 2x -1 图象上.∵ 2>0,-1<0,∴ 函数 y = 2x-1 过第一、三、四象 限,不过第二象限,∴ 顶点一定不在第二象限. 9.2 3 　 10.十　 11.-1(答案不唯一)　 12.> 13.4 2 +4　 【解析】 ∵ 在 Rt△ABC 中,AB = AC = 4,∴ BC = AB2+AC2 = 4 2 ,∵ BE = CD,∴ △BDE 周长 = BD+BE+ DE=BD+CD+DE=BC+DE = 4 2 +DE,∴ 求出 DE 的最小 值即可得到△BDE 周长的最小值.设 BE= x,则 CD= x,BD =BC-CD= 4 2 -x,∵ BE⊥BC,∴ △BDE 是直角三角形, ∴ DE= BD2+BE2 = (4 2 -x) 2+x2 = 2x2-8 2 x+32 = 2(x-2 2 ) 2+16 ,∴ 当 x= 2 2时,DE 取最小值,最小值 为 16 = 4,∴ △BDE 周长的最小值为 4 2 +4. 14.解:原式=-2×(-3)+ 3 -1-4 = 1+ 3 . 15.解:原式= (x-5)(x+3)+16 x+3 ÷ x -1 (x+3)(x-3) = (x -1) 2 x+3 · (x+3)(x-3) x-1 =(x-1)(x-3) = x2-4x+3. 16.解:解不等式 x+5<4,得 x<-1, 解不等式 3x+1 2 ≥2x-1,得 x≤3, ∴ 不等式组的解集为 x<-1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 15-1 15-2 15-3 15-4 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 版权归 所有 15　 　 　 　 8 2024 年西安市铁一中第七次模拟考试 (总分:120 分　 时间:120 分钟) 第一部分(选择题　 共 24 分) 一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,计 24 分.每小题只有一个选项是符合题意的) 1.为计数方便,某果园以每筐水果 25 kg 为准,超过的千克数记作正数,不足的 千克数记作负数.“-3 kg”表示的实际千克数是 ( B ) A.3 B.22 C.25 D.28 2.如图是小明学习“探索直线平行的条件”时用到的学具,经测量∠2= 105°,要 使木条 a 与 b 平行,则∠1 的度数应为 ( B ) A.45° B.75° C.105° D.135° 第 2 题图 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 第 7 题图 3.已知 3m = 9n,则 m,n 满足的关系是 ( A ) A.m= 2n B.m= 3n C.2m=n D.3m=n 4.如图,在 Rt△ABC 中,AB= 8,∠A= 30°,D、E 分别为 AB、AC 的中点,则 DE 的长 为 ( A ) A.2 B.3 C.4 D.2 3 5.点 A(a,y1),B(a+2,y2)是一次函数 y= kx+b(k,b 为常数,且 k≠0)的图象上的 两点,且 y1-y2 =-6,则 k 的值为 ( C ) A.-6 B.-3 C.3 D.6 6.已知▱ABCD 的对角线相交于点 O,若要使▱ABCD 成为矩形,可添加下列哪 个条件 ( C ) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AO=BO D.∠ADB=∠CDB 7.如图是一个直径为 AB 的量角器(半圆 O),零刻度落在点 A,等腰 Rt△PQB 如 图放置,若点 C 在量角器上的读数为 26°,则点 D 在量角器上的读数为 ( A ) A.116° B.103° C.71° D.58° 8.某同学用描点法画二次函数 y= ax2+bx+c 的图象时,列出了下面的表格,请你 根据获得的信息分析下列四个结论,错误的是 ( D ) x … -1 0 1 2 3 … y … 0 -3 -4 -3 0 … A.2a+b= 0 B.抛物线与 x 轴的交点为(-1,0)和(3,0) C.若点(m-2,y1),(m,y2)在该抛物线上,当 y1<y2 时,则 m>2 D.对于任意实数 x(x≠1),ax2+bx<a+b 总成立 第二部分(非选择题　 共 96 分) 二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,计 15 分) 9.在实数 2 ,3 9 ,3.1415, 23 7 ,π 中,无理数的个数是　 3　 个. 10.因式分解:ax2-2ax+a= 　 a(x-1) 2 　 . 11.如图所示,四个相同的圆柱形笔筒用绳子缠绕一圈(接头忽略不计),则至少 用绳子　 (4a+aπ) 　 厘米(计算结果保留 π) . 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 　 　 　 第 13 题图 12.当温度不变时,某气球内的气压 p(kPa)与气体体积 V(m3)成反比例函数关 系,其图象如图所示.当气球内的气压大于 120 kPa 时,气球会爆炸.为了安 全,气球内气体体积 V 应满足　 　 　 　 . 13.如图,E为正方形 ABCD内一点,∠AEB=90°,若BE=6,则△EBC的面积为　 18　 . 三、解答题(共 13 小题,计 81 分,解答应写出过程) 14.(本题满分 5 分)(-1) 2 024+2sin60°- | 1- 3 | . 解:原式=1+2× 3 2 -( 3 -1) = 1+ 3 - 3 +1 =2. 15.(本题满分 5 分)解不等式:x +2 4 -2x-1 6 ≥1. 解:去分母得 3(x+2)-2(2x-1)≥12, 去括号得 3x+6-4x+2≥12, 移项、合并同类项得-x≥4, 系数化为 1 得 x≤-4. 16.(本题满分 5 分)先化简,再求值:(1- 4 a+2 )÷ a 2-2a a2+4a+4 ,其中 a=-1. 解:原式=a +2-4 a+2 ÷a(a-2) (a+2) 2 =a-2 a+2 ·(a +2) 2 a(a-2) = a+2 a , 当 a=-1 时,原式= -1+2 -1 =-1. 17.(本题满分 5 分)如图,已知△ABC,请用尺规作图法在平面上找一点 D,使得 四边形 ABCD 为平行四边形(保留作图痕迹,不写作法) . 第 17 题图 解:如解图,四边形 ABCD即为所求. 18.(本题满分 5 分)已知:如图,△ABC 是等边三角形,D 是 AC 上一点,∠ABD = ∠ACE,AE∥BC.求证:△ADE 是等边三角形. 第 18 题图 证明:∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=AC,∠BAD=∠ACB=60°, ∵AE∥BC,∴∠CAE=∠ACB=60°=∠BAD, 在△ABD和△ACE 中, ∠BAD=∠CAE, AB=AC, ∠ABD=∠ACE, ì î í ï ï ï ï ∴△ABD≌△ACE(ASA),∴AD=AE, 又∵∠DAE=60°,∴△ADE 是等边三角形. 19.(本题满分 5 分)生活中处处都有数学,一家服装店在销售某种服装(每件的 标价相同)时,按这种服装每件标价的 9 折销售 10 件的销售额,与按这种服 装每件的标价降低 30 元销售 12 件的销售额相等.求这种服装每件的标价. 解:设这种服装每件的标价是 x 元, 根据题意得 10×0.9x=12(x-30),解得 x=120, 答:这种服装每件的标价为 120 元. 20.(本题满分 5 分)如图是同一副扑克牌中的两张牌“黑桃 Q”和“黑桃 K”,现 在把这两张牌从中间剪断,分成如图的 4 张背面形状相同的半张牌,并背面 向上混合在一起搅匀.小撒和小尼做游戏,小撒先从这 4 张半张牌中随机地 抽取一张(不放回),小尼接着再随机地抽取一张. 第 20 题图 (1)小撒抽到半张“黑桃 Q”的概率是　 　 　 　 ; (2)游戏规定:所抽取的两张中,能拼成一张完整的扑克牌,那么小撒获胜; 否则小尼获胜,你认为这个游戏公平吗? 并请用列表法或画树状图法说 明理由. 由树状图知,共有 12 种等可能的结果,其中能拼成一张完整的扑克牌的结果 有 4 种,不能拼成一张完整的扑克牌的结果有 8 种, ∴小撒获胜的概率= 4 12 = 1 3 ,小尼获胜的概率= 8 12 = 2 3 , ∵ 1 3 ≠ 2 3 ,∴游戏不公平. 21.(本题满分 6 分)明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书 之一,其中记载了中国古代的一种采桑工具———桑梯,如图①,其示意图如图 ②,已知 AB = AC = 1.8 m,AD = 1.5 m,D、A、B 三点共线,AC 与 AB 的张角 ∠BAC 记为 α,为保证采桑人的安全,α可调整的范围是 30°≤α≤60°,BC 为固定 张角 α大小的锁链.若 α=42°,将桑梯放置在水平地面上,求此时桑梯顶端 D 到地 面的距离(结果精确到 0.1 m,参考数据:sin69°≈0.93,cos69°≈0.36,tan69°≈2.61). 图① 　 　 　 图② 第 21 题图 解:如解图,过点 D作 DE⊥BC,垂足为 E, ∵AB=AC=1.8 米,∠BAC=α=42°,∴∠C=∠B=180° -∠BAC 2 =69°, 22.(本题满分 7 分)某学校组织开展主题为“热爱祖国,走近河山”的研学旅行. 待考查的甲、乙两家旅行社原价均为 150 元 /人.甲旅行社的方案:所有人打 8 折;乙旅行社的方案:40 人以内(含 40 人)按原价收费,超过的人数每人打 6 折.设参加研学旅行的人数为 x(人),甲旅行社所需总费用为 y1(元),乙旅行 社所需总费用为 y2(元) . (1)当 x>40 时,求 y1、y2 与 x 的函数表达式; (2)若有 100 人参加研学旅行,选择哪家旅行社更划算,请说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16-1 16-2 16-3 16-4 　 　 　16　 23.(本题满分 7 分)“发展体育运动,增强人民体质”,体育组对九年级随机抽取 部分学生进行了立定跳远项目的测试,得到一组测试分数的数据,并将测试 所得分数绘制成如图所示的统计图,图中从左到右的学生人数之比为 2 ∶3 ∶ 4 ∶1,且成绩为 8 分的学生有 12 人.请根据信息解答下列问题: (1)随机抽取部分学生数为　 40　 ; (2)这组数据的众数是　 9　 ,中位数是　 8.5　 ; (3)若该校九年级共有 520 名学生,8 分及 8 分以上的测试成绩为合格,请估 计该年级有多少名学生的测试成绩合格? 第 23 题图 解:(3)520× 3 +4+1 2+3+4+1 =416(名) . 答:估计该年级有 416 名学生的测试成绩合格. 24.(本题满分 8 分)如图,已知 AB 为☉O 的直径,PB 切☉O 于点 B,过点 A 作 AC∥OP,交☉O 于点 C,连接 PC. (1)求证:PC 是☉O 的切线; (2)若 OP= 4AC,求 tan∠CPO 的值. 第 24 题图 (1)证明:如解图,连接 OC,∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA. ∵AC∥OP,∴∠BOP=∠OAC,∠COP=∠OCA, ∴∠BOP=∠COP, 在△BOP 与△COP 中, OB=OC, ∠BOP=∠COP, OP=OP, ì î í ï ï ï ï ∴△BOP≌△COP(SAS), ∴∠PBO=∠PCO, ∵直线 BP 与☉O相切于点 B,∴∠PBO=90°,∴∠PCO=90°, ∴OC⊥PC,且 OC 是☉O的半径,∴PC 是☉O的切线; (2)解:如解图,连接 BC 交 OP 于点 D, ∵AC∥OP,OA=OB,∴BD=CD,∴OD= 1 2 AC, ∵OP=4AC,∴OP=8OD, ∵AB 为☉O的直径,∴∠ACB=90°, ∴∠ODB=90°, ∵∠OBP=90°,∴∠OBP=∠ODB, 又∵∠BOD=∠POB,∴△BOD∽△POB,∴OB OP =OD OB , ∴OB2 =OP·OD=8OD2,∴OB=2 2OD,∴BP= OP2-OB2 =2 14OD, 由(1)知△BOP≌△COP(SAS),∴∠BPO=∠CPO, ∴tan∠CPO=tan∠BPO=OB BP = 2 2OD 2 14OD = 7 7 . 25.(本题满分 8 分)如图,国家会展中心的大门的截面图是由抛物线 ADB 和矩形 ABCO 构成的,矩形ABCO的边OA= 3 4 米,OC=9米,以OC 所在直线为 x 轴,以OA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,抛物线顶点 D 的坐标为( 9 2 ,24 5 ) . (1)求此抛物线对应的函数表达式; (2)近期需要对大门进行粉刷,工人师傅搭建一木板 OM,点M 正好在抛物线 上,支撑物 MN 垂直 x 轴,ON= 15 2 米,工人师傅站在木板 OM 上,他能刷到 的最大垂直高度是 12 5 米. ①判断工人师傅能否刷到顶点 D; ②设点 E 是 OM 上方抛物线上的一点,且点 E 的横坐标为m,直接写出他 不能刷到大门顶部的对应点 E 的横坐标的范围. 第 25 题图 解:(1)由题意知,抛物线顶点 D的坐标为( 9 2 ,24 5 ), 设抛物线的表达式为 y=a(x- 9 2 ) 2+24 5 (a≠0), ∵OA= 3 4 ,∴A(0, 3 4 ), 将点 A(0, 3 4 )代入抛物线表达式得 3 4 =a(0- 9 2 ) 2+24 5 ,解得 a=- 1 5 , ∴抛物线对应的函数的表达式为 y=- 1 5 (x- 9 2 ) 2+24 5 ; (2)①将 x=15 2 代入 y=- 1 5 (x- 9 2 ) 2+24 5 中,得 y=3,∴点 M(15 2 ,3), ∴设直线 OM 的表达式为 y=kx(k≠0),将点 M(15 2 ,3)代入得15 2 k=3, 26.(本题满分 10 分)问题探究 嘻嘻和谙谙在一起探究特殊平行四边形的分割问题. 嘻嘻:如图①,我发现在正方形 ABCD 内部可以找到一点 O,将 O 与正方形的 四个顶点分别连接起来,可以将原正方形分割成四个等腰三角形,并且它们 的面积之比为 1 ∶1 ∶1 ∶1; 谙谙:我还能在正方形内部找到另外一点,将它与正方形的四个顶点分别连 接起来,也可以将原正方形分割成四个等腰三角形. (1)请你在图②中帮谙谙设计一个与嘻嘻不同的方案,也在正方形 ABCD 内 部找一点 P,将 P 与正方形的四个顶点分别连接起来,可以将原正方形分 割成四个等腰三角形,并且直接写出这四个等腰三角形由小到大的面积 之比; 问题解决 (2)“文明社区,美化家园”,某社区有一块长 AD= 40 米,宽 AB = 30 米的矩形 场地 ABCD 全部用于鲜花布展,如图③,布展要求:在矩形 ABCD 内部找 到一点 P,将 P 与矩形的四个顶点分别连接起来,将矩形 ABCD 分割成四 个等腰三角形区域,并将四种鲜花分别展出在这四个区域;请你帮社区 设计出所有不同方案供社区选择(由小到大的四个三角形面积之比相等 的算为同一种方案) .①将你所设计的方案分别画出来(不要求尺规作 图),用不同符号标记出等腰三角形的相等边,直接写出这四个等腰三角 形由小到大的面积之比;②如果所要展出的这四种花每平方米的成本均 不相等,考虑到节约成本的因素,你将推荐社区使用哪种方案? 并简要 说明理由. (要求:本题结果中比的各项均不含分母,且最简) 图① 　 图② 　 图③ 第 26 题图 (2)①方案一:如解图②,连接矩形对角线,交于点 P,此时矩形为四个等腰三 角形, 此时,四个等腰三角形的面积为 1 4 ×30×40=300,面积比为:1 ∶1 ∶1 ∶1, 方案二:如解图③,点 P 即为所求, 由题意可知,AB=BP=CP=CD=EF=30,AD=BC=40,∴BE=CE=20, 根据勾股定理,PE= BP2-BE2 =10 5 , ∴PF=EF-PE=30-10 5 ,∴S△BCP =200 5 ,S△APD =600-200 5 , ∴S△ABP =S△PCD = 1 2 ×(30×40-200 5 -600+200 5 )= 300, ∴由小到大的面积之比为(6-2 5 ) ∶3 ∶3 ∶2 5 , 方案三:如解图④,同法可得,S△ABP = 1 2 ×30×5 55 =75 55 , S△PCD = 1 2 ×30×(40-5 55 )= 600-75 55 , ∴S△APD =S△BCP = 1 2 ×(30×40-75 55 -600+75 55 )= 300, ∴四个三角形的面积比为(8- 55 ) ∶4 ∶4 ∶ 55 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋