6.2024年西安市高新一中第九次模拟考试-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·真题与拓展训练

参考答案及重难题解析·陕西数学 陕 西 名 校 模 拟 卷 ∵ ∠FEC=∠A+∠ACE,∠FCE=∠FCB+∠BCE, ∴ ∠FCE=∠FEC,∴ FC=FE; (2)解:∵ sin∠CDB= 1 2 ,BF= 2, ∴ ∠CDB= 30°,∴ ∠BOC= 2∠D= 60°, 由(1)知∠OCF= 90°, ∴ OF= 2OC= 2OB=OB+BF, ∴ OB=BF= 2,∴ ☉O 的半径是 2. 25.解:(1)由题意得 B(0,2), ∴ 可设抛物线为 y=a(x-h) 2+k(a<0) . 又∵ OA= 12 m,∴ D(6,8),0≤x≤12, ∴ y=a(x-6) 2+8.将 B(0,2)代入得 a=- 1 6 . ∴ 所求抛物线的解析式为 y=- 1 6 (x-6) 2+8(0≤x≤12) . (2)由题意,∵ 车辆必须在距离隧道边缘大于等于 2 m 范 围内行驶, ∴ 可令 x= 2,则 y=- 1 6 ×42+8= 16 3 . 又∵ 16 3 - 1 3 = 5(m), ∴ 该隧道车辆的限制高度为 5 m. 26.解:(1)设 PB= x,则 PC= 8-x, 在 Rt△ADQ 中,AD= 8,当 DQ 最小时,AQ 最小, 在矩形 ABCD 中,∠B=∠D= 90°且∠APQ= 90°, ∴ ∠PAB+∠APB=∠QPC+∠APB= 90°, ∴ ∠PAB=∠QPC,且∠B=∠C,∴ △ABP∽△PCQ, ∴ AB PC =PB CQ ,即 6 8-x = x CQ ,∴ CQ=- 1 6 x2+ 4 3 x, ∴ DQ=CD-CQ= 6-(- 1 6 x2+ 4 3 x)= 1 6 (x-4) 2+ 10 3 , ∴ 当 x= 4 时,DQ 最小值为 10 3 , 此时,AQ= AD2+DQ2 = 82+( 10 3 ) 2 = 26 3 , ∴ AQ 的最小值为 26 3 ; (2)能实现.如解图,过点 E 作 EG⊥BC 交 BC 的延长线于 点 G,EH⊥CD 于点 H, 第 26 题解图 由题意得 AF⊥EF,且 AF=EF,由(1)得∠FAB=∠EFC, 在△ABF 与△FGE 中, ∠B=∠G, ∠FAB=∠EFG AF=FE, { , ∴ △ABF≌△FGE(AAS),∴ BF=EG,FG=AB= 600, 设 BF= x,则 CH = EG = BF = x,EH = CG = FG-CF = 600- (800-x)= x-200, ∴ DH=CD-CH= 600-x, 由题意得∠CED= 90°且 EH⊥CD, 易证△DHE∽△EHC,∴ EH CH =DH EH , ∴ EH2 =DH·CH,即(x-200) 2 = x(600-x), 解得 x1 = 250+50 17 ,x2 = 250-50 17 (舍), ∴ S△CDE = 1 2 CD·EH = 1 2 × 600×(250+ 50 17 - 200) = 15 000+15 000 17 , ∴ 能实现, BF = ( 250 + 50 17 ) m, S△CDE = ( 15 000 + 15 000 17 )m2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.2024 年西安市高新一中第九次模拟考试 快速对答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A C D B B C 填空题 9.7　 10.2 3 　 11.AC⊥BD(答案不唯一)　 12.(2,3)　 13.6 1.A　 2.D　 3.A　 4.C　 5.D　 6.B　 7.B 8.C　 【解析】∵ y=mx2-4mx+4m+4 =m( x-2) 2 +4,∴ 顶点坐 标是(2,4),∵ 二次函数 y=mx2-4mx+4m+4 的图象经过三 个象限,∴ m<0, 4m+4≤0,{ 解得 m≤-1. 9.7　 10.2 3 　 11.AC⊥BD(答案不唯一)　 12.(2,3) 第 13 题解图 13.6　 【解析】如解图,把△ABE 绕点 A 逆 时针旋转 90°,得到△ADG,点 E 的对应 点为点 G,由旋转的性质可知,AG = AE, DG = BE, ∠DAG = ∠BAE, ∵ ∠EAF = 45°,∴ ∠DAG+∠BAF= 45°,又∵ ∠BAD = 90°, ∴ ∠GAF = 45°, 在 △AEF 和 △AGF 中, AE=AG, ∠EAF=∠GAF, AF=AF, { ∴ △AEF≌ △AGF(SAS),∴ EF =GF,∵ BE = 1,DF = 7,∴ EF =GF =DF- DG=DF-BE=7-1=6. 14.解:去分母,得 3x-5>4x-2, 移项,得 3x-4x>5-2, 合并同类项,得-x>3, 系数化为 1,得 x<-3. 15.解:原式= 3-2÷(- 1 8 )+ 5 -2 = 3-2×(-8)+ 5 -2 = 3+16+ 5 -2 = 17+ 5 . 16.解:原式= a+1+1-a 1-a ÷ 2a (a+1)(a-1) = 2 1-a · (a+1)(a-1) 2a =-a +1 a . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 参考答案及重难题解析·陕西数学 陕 西 名 校 模 拟 卷 17.解:如解图,点 P 即为所求. 第 17 题解图 18.解:CP=AQ.理由:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠A=∠ABC=∠C=∠ADC= 90°,AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC,∴ ∠E=∠F, ∵ BE=DF,∴ AE=CF. 在△CFP 和△AEQ 中, ∠C=∠A, CF=AE, ∠F=∠E, { ∴ △CFP≌△AEQ(ASA),∴ CP=AQ. 19.解:(1)∵ 酚酞遇酸性和中性溶液不变色,遇碱性溶液变 红色, ∴ 小周将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液中,盐酸溶液 (呈酸性)和硝酸钾溶液(呈中性)不变色,氢氧化钠溶液 (呈碱性)和氢氧化钾溶液(呈碱性)变红, ∴ 结果变红色的概率为 2 4 = 1 2 ; (2)列表如下: A B C D A — (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) — (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) — (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) — 由表知,共有 12 种等可能的结果,其中两瓶溶液恰好都 变红色的有(D,C),(C,D)共 2 种结果, ∴ 两瓶溶液恰好都变红色的概率为 2 12 = 1 6 . 20.解:设这列火车的速度是 x m / s, 由题意得 15(x+1)= 17(x-1),解得 x= 16, ∴ 15×(16+1)= 15×17= 255(m) . 答:这列火车长 255 m. 21.解:设 HG= x m,DG= y m, ∵ BE⊥AG,DF⊥AG,HG⊥AG, ∴ BE∥HG∥DF, ∴ △AEB∽△AHG,△CDF∽△CGH, ∴ BE HG =AB AG , DF HG =CD CG , ∴ 1.8 x = 3.6 3.6+10.8+y , 1.8 x = 0.6 0.6+y , 解得 y= 2.16,x= 8.28, ∴ 路灯离地面的高度 GH 为 8.28 m. 22.解:(1)4,4; (2)3; (3)1 200× 9+11+10 1+3+6+9+11+10 = 900. 答:估计七年级 1 200 名学生的合格人数为 900. 23.解:(1)设 y 与 x 之间的函数关系式是 y= kx+b(k≠0), ∵ 3 个碗摞起来的高度为 12.8 cm,5 个碗摞起来的高度 为 17.6 cm, ∴ 12.8= 3k+b, 17.6= 5k+b,{ 解得 k= 2.4, b= 5.6,{ 即 y 与 x 之间的函数关系式是 y= 2.4x+5.6; (2)由题意可得 2.4x+5.6≥(2-1.74)×100,解得 x≥8.5, ∵ x 为正整数,∴ x 的最小值为 9, 答:该演员至少要顶 9 个碗才可以达到要求. 24.(1)证明:∵ BA 平分∠FBC,∴ ∠FBA=∠CBA, ∵ AB=AC,∴ ∠ACB=∠CBA, ∵ ∠ACB=∠ADB,∴ ∠FBA=∠ADB, ∵ BD 为☉O 的直径,∴ ∠BAD= 90°, ∴ ∠BFA+∠FBA= 90°, ∴ ∠BFA+∠ADB= 90°,即∠BFD+∠FDB= 90°, ∴ ∠FBD= 180°-(∠BFD+∠FDB)= 90°, ∵ BO 为☉O 的半径,∴ BF 是☉O 的切线; (2)解:由(1)可得∠EBA=∠BDA, ∵ ∠BAE=∠DAB= 90°,∴ △BAE∽△DAB, ∴ AB AE =AD AB , ∵ AE= 2,ED= 4,∴ AD=AE+ED= 2+4= 6, ∴ AB 2 = 6 AB ,解得 AB= 2 3 (负值已舍去), ∴ BD= AB2+AD2 = (2 3 ) 2+62 = 4 3 , ∴ ☉O 的半径为 2 3 . 25.解:(1)由题意得点 F(1,1.6),B(6,1.3), 将其代入 y=ax2+bx+1.3, 得 a+b+1.3= 1.6, 36a+6b+1.3= 1.3,{ 解得 a=-0.06, b= 0.36,{ ∴ 此抛物线的表达式为 y=-0.06x2+0.36x+1.3(0≤x≤6); (2)设丁同学所站位置到点 D 的水平距离为 x m,则- 0.06x2+0.36x+1.3= 1.78, 解得 x= 2 或 4,∵ 4-1>2-1, ∴ 丁同学最多能与丙同学水平相距 4-1= 3(m) . 26.解:(1)7; (2)如解图①,连接 CP,过点 P 作 PQ⊥AB 于点 Q. ∵ ∠ACB= 90°,MN= 2,P 是 MN 的中点, ∴ CP= 1 2 MN=1,即点 P 在以 C 为圆心,以 1 为半径的圆上, ∴ 当 C,P,Q 三点共线时,PQ 的长最小, ∵ AC= 3,BC= 4,∠ACB= 90°,∴ AB= 5, ∴ S△ABC = 1 2 AC·BC= 1 2 AB·CQ′,即 1 2 ×3×4= 1 2 ×5CQ′, ∴ CQ′= 12 5 ,∴ P′Q′= 12 5 -1= 7 5 , 即点 P 到 AB 距离的最小值是 7 5 ; 图① 　 　 图② 第 26 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 参考答案及重难题解析·陕西数学 陕 西 名 校 模 拟 卷 (3)存在,如解图②,取 AC 的中点 O 和 OC 的中点 M,作 直线 MP,交 AD 于点 N,交 BC 于点 Q, ∵ 线段 EF 平分▱ABCD 的面积, ∴ EF 一定经过点 O,在 E、F 运动过程中,∠OPC= 90°, ∴ 点 P 在以 M 为圆心,OC 为直径的圆上, 当 MN⊥AD 时,NP 最小,此时△ADP 面积最小, ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD= 90 m,∵ AC⊥AB,∴ ∠BAC= 90°, 在 Rt△ABC 中,AC= 1502-902 = 120(m), ∴ OC= 1 2 AC= 1 2 ×120= 60(m), ∴ PM=CM= 30 m,AM= 120-30= 90(m), ∵ ∠ANM=∠ACD= 90°,∠CAD=∠NAM, ∴ △AMN∽△ADC, ∴ AM AD =MN CD ,即 90 150 =MN 90 ,∴ MN= 54 m, ∴ NP=MN-MP=54-30=24(m),AN= 902-542 =72(m), ∴ △ADP 的最小面积为 S△ADP = 1 2 AD·NP = 1 2 ×150×24 = 1 800(m2); ∵ S▱ABCD =AB·AC=BC·NQ,即 90×120= 150NQ, ∴ NQ= 72 m,∴ MQ= 72-54= 18(m), ∴ PQ=PM+MQ= 48(m), ∵ AD∥BC,∴ △ANM∽△CQM, ∴ AN CQ =MN MQ ,即 72 CQ = 54 18 , ∴ CQ= 24 m,由勾股定理得 CP= 242+482 = 24 5 (m), ∵ ∠CPM= 90°-∠FCP=∠CFP,∠CQP=∠PQF= 90°, ∴ △PQC∽△FQP, ∴ CQ PQ =PC FP ,即 24 48 = 24 5 FP ,∴ FP= 48 5 m, ∵ AD∥BC,∴ △ENP∽△FQP, ∴ PN PQ =EP FP ,即 24 48 =EP FP = 1 2 , ∴ EF= 72 5 m, 综上,存在,EF 的长为 72 5 m,△ADP 的面积最小值为 1 800 m2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7.2024 年陕西师大附中第八次适应性训练 快速对答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B C D D B A 填空题 9.-2　 10.36　 11.1　 12.9　 13. 7 2 1.A　 2.C　 3.B　 4.C　 5.D　 6.D　 7.B 8.A　 【解析】由题意,根据图象开口向下,得 a<0,又∵ 对称 轴是直线 x=- b 2a = 1,∴ b=-2a>0,∵ 抛物线与 y 轴交于正 半轴,∴ c>0,∴ abc<0,故 B 错误;由图象知,当 x = 3 时,y< 0,即 9a+3b+c= 3a+c<0,∵ a<0,∴ 8a+c<0,故 A 正确;∵ 抛 物线的对称轴为直线 x = 1,与 x 轴的一个交点在 2 ~ 3 之 间,∴ 抛物线与 x 轴的另一交点在-1~ 0 之间,故 C 错误; ∵ 1-(-2)= 3,1- 1 2 = 1 2 ,3-1= 2,∴ y2>y3>y1,故 D 错误. 9.-2　 10.36　 11.1　 12.9 13. 7 2 　 【解析】如解图,作点 E 关于 AC 的对称点 G,连接 PG,OG,∴ EP+PQ = GP+PQ = 7,∵ AB = 8,☉O 半径为 1, ∴ G,P,Q,O 四点共线,∴ AB∥OG,∴ ∠BAC =∠APG,由 对称性知∠APE = ∠APG,∴ ∠BAC = ∠APE,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ ∠BAC =∠BCA,∴ ∠APE =∠BCA,∴ PE ∥BC,∴ AE AB =AP AC ,∴ 2 8 =AP 14 ,∴ AP= 7 2 . 第 13 题解图 14.解:原式= 3 2 +2- 2 -2 = 2 2 . 15.解:去分母得 5x-1<3(x+1), 去括号得 5x-1<3x+3, 移项、合并同类项得 2x<4, 解得 x<2, 故不等式 5x-1 3 <x+1 的非负整数解为 0,1. 16.解:原式= (a-3) 2 a-2 ÷(a+2- 5 a-2 ) = (a -3) 2 a-2 ÷(a +2)(a-2)-5 a-2 =(a -3) 2 a-2 · a-2 a2-9 =(a -3) 2 a-2 · a-2 (a+3)(a-3) = a -3 a+3 . 17.解:如解图,点 P 即为所求. 第 17 题解图 18.证明:∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB, ∵ DE∥BC,∴ ∠ABC=∠EAB,∠ACB=∠DAC, ∴ ∠EAB=∠DAC, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41 11-1 11-2 11-3 11-4 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 版权归 所有 11　 　 　 　 6 2024 年西安市高新一中第九次模拟考试 (总分:120 分　 时间:120 分钟) 第一部分(选择题　 共 24 分) 一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,计 24 分.每小题只有一个选项是符合题意的) 1.已知室外温度为-3 ℃,室内温度比室外温度高 9 ℃,则室内温度为 ( A ) A.6 ℃ B.-6 ℃ C.9 ℃ D.12 ℃ 2.如图是一个正方体盒子的展开图,把展开图折叠成正方体后,和“一”字所在 面相对的面上的字是 ( D ) A.中 B.考 C.夺 D.魁 第 2 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 3.计算:- 1 3 a2b·(ab) -1 = ( A ) A.- 1 3 a B.a3b2 C. 1 3 a D.- 1 3 a3 b2 4.如图所示,将一副直角三角板按图中所示位置摆放,保持两条斜边互相平行, 则∠1= ( C ) A.65° B.70° C.75° D.80° 5.已知一次函数 y= kx+b(k≠0),若函数值 y 随 x 的增大而减小,kb>0,则下列一 定不在该函数图象上的点的坐标是 ( D ) A.(2,-3) B.(-2,3) C.(-2,-2) D.(2,2) 6.如图,DE 是△ABC 的中位线,∠ACB 的平分线交 DE 于点 F,连接 AF 并延长 交 BC 于点 G,若 AC= 12,DE= 10,则 BG 的长为 ( B ) A.6 B.8 C.10 D.12 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 7.如图,AB 为☉O 的直径,点 C、D、E 在☉O 上,且AD ( = CD ( ,∠E = 70°,则∠ABC 的度数为 ( B ) A.30° B.40° C.35° D.50° 8.在平面直角坐标系中,二次函数 y =mx2-4mx+4m+4(m≠0)的图象经过三个 象限,则 m 的取值范围为 ( C ) A.m<-1 B.-1<m<0 C.m≤-1 D.m<0 第二部分(非选择题　 共 96 分) 二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,计 15 分) 9.与无理数 45最接近的整数是　 7　 . 10.如图,在边长为 2 cm 的正六边形 ABCDEF 中,点 P 在 BC 上,则点 P 到 EF 的 距离是　 2 3 　 cm. 第 10 题图 　 　 　 　 　 　 第 11 题图 11.如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,请你添加一个条 件:　 AC⊥BD(答案不唯一) 　 ,使四边形 ABCD 是菱形. 12.如图,正方形 ABCD 的顶点 A,D 分别在函数 y=- 3 x (x<0)和 y= 6 x (x>0)的图 象上,点 B,C 在 x 轴上,则点 D 的坐标为　 (2,3) 　 . 第 12 题图 　 　 　 　 　 　 第 13 题图 13.如图,在正方形 ABCD 中,∠EAF 的两边分别交 CB、DC 的延长线于点 E、F, 且∠EAF= 45°,若 BE= 1,DF= 7,则 EF= 　 6　 . 三、解答题(共 13 小题,计 81 分,解答应写出过程) 14.(本题满分 5 分)解不等式:3x -5 2 >2x-1. 解:去分母,得 3x-5>4x-2, 移项,得 3x-4x>5-2, 合并同类项,得-x>3, 系数化为 1,得 x<-3. 15.(本题满分 5 分)计算: (-3) 2 -2÷(- 1 2 ) 3+ | 5 -2 | . 解:原式=3-2÷(- 1 8 )+ 5 -2 =3-2×(-8)+ 5 -2 =3+16+ 5 -2 =17+ 5 . 16.(本题满分 5 分)化简:(a +1 1-a +1)÷ 2a a2-1 . 解:原式=a +1+1-a 1-a ÷ 2a (a+1)(a-1) = 2 1-a ·(a +1)(a-1) 2a =-a+1 a . 17.(本题满分 5 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠B= 90°,∠C = 30°.请用尺规作图法, 在线段 BC 上求作一点 P,使得 BC= 3BP.(保留作图痕迹,不写作法) 第 17 题图 解:如解图,点 P 即为所求. 18.(本题满分 5 分)如图,在矩形 ABCD 中,延长 AB 至点 E,延长 CD 至点 F, BE=DF,连接 EF,与 BC、AD 分别相交于 P、Q 两点.试判断 CP 与 AQ 的数量 关系,并说明理由. 第 18 题图 解:CP=AQ.理由:∵四边形 ABCD是矩形, ∴∠A=∠ABC =∠C =∠ADC = 90°,AB =CD,AD =BC, AB∥CD,AD∥BC, ∴∠E=∠F, ∵BE=DF,∴AE=CF. 在△CFP 和△AEQ中, ∠C=∠A, CF=AE, ∠F=∠E, ì î í ï ï ï ï ∴△CFP≌△AEQ(ASA), ∴CP=AQ. 19.(本题满分 5 分)通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色,遇碱性溶液变 红色.一次化学课上,学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色 溶液的酸碱性.已知四瓶溶液分别是 A:盐酸溶液(呈酸性),B:硝酸钾溶液 (呈中性),C:氢氧化钠溶液(呈碱性),D:氢氧化钾溶液(呈碱性) . (1)小周将酚酞溶液随机滴入一瓶溶液中,结果变红色的概率是多少? (2)小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测,请你用列表或画树 状图的方法,求两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少? 解:(1)∵酚酞遇酸性和中性溶液不变色,遇碱性溶液变红色, ∴小周将酚酞试剂随机滴入其中一瓶溶液里,盐酸溶液(呈酸性)和硝酸钾 溶液(呈中性)不变色,氢氧化钠溶液(呈碱性)和氢氧化钾溶液(呈碱性) 变红, ∴结果变红的概率为 2 4 = 1 2 ; (2)列表如下: 所以两瓶溶液恰好都变红色的概率为 2 12 = 1 6 . 20.(本题满分 5 分)甲、乙两人在与铁轨平行的人行道上反向而行.一列火车匀 速地从甲身旁开过,用了 15 s,然后从乙身旁开过,用了 17 s,已知两人的步 行速度都是 1 m / s,求这列火车有多长? 解:设这列火车的速度是 x m/ s, 由题意得 15(x+1)= 17(x-1), 解得 x=16,∴15×(16+1)= 15×17=255(m) . 答:这列火车长 255 m. 21.(本题满分 6 分)在一个周末晚上,甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》 所学的测量方法,利用灯光下的影子长来测量一路灯高度.如图,在一水平的 人行道路上,当甲走到点 B 处时,乙测得甲直立时身高 BE 的影子 AB 长是 3.6 m,然后甲从 B 出发沿 AC 方向继续向前走 10.8 m 到点 D 处时,乙测得甲 直立时身高 DF 的影子 CD 长是 0.6 m.已知甲同学直立时的身高为 1.8 m,所 有点均在同一平面内,求路灯离地面的高度 GH. 第 21 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12-1 12-2 12-3 12-4 　 　 　12　 22.(本题满分 7 分)七年级某班体育测试中有一项为定点投篮,规定每名同学 投 5 次,投中 1 次记 1 分,测试时两名同学请假未到校,其余同学的成绩如图 所示. 第 22 题图 (1)这些同学投篮成绩的众数是　 4　 分,中位数是　 4　 分; (2)若两名请假的同学补测后发现全班成绩的中位数与众数都发生了变化, 这两名同学的成绩的平均值是　 3　 分; (3)若规定成绩不低于 3 分则合格,请估计七年级 1 200 名学生的合格人数. 解:(1)4,4; (2)3; (3)1 200× 9 +11+10 1+3+6+9+11+10 =900. 答:估计七年级 1 200 名学生的合格人数为 900. 23.(本题满分 7 分)顶碗是我国传统的杂技节目,其表演形式为演员头部顶一 摞瓷碗,表演劈叉、金鸡独立、倒立等技巧动作,难度极大.小辉在观看顶碗表 演发现,这些大小相同的瓷碗整齐地摞在一起时,碗的高度 y(cm)与碗的数 量 x(个)之间是一次函数关系.已知 3 个碗摞起来的高度为 12.8 cm,5 个碗 摞起来的高度为 17.6 cm. (1)请求出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)某次演出为了让观众有好的观看体验,要求演员顶碗之后的高度不得低 于 2 m,已知顶碗演员的身高为 1.74 m,则该演员至少要顶多少个碗才可 以达到要求? 24.(本题满分 8 分)如图,A,B,C,D 是☉O 上的四个点,BD 为☉O 的直径,AB = AC,AD 交 BC 于点 E,F 是 DA 延长线上的一点,并且 BA 平分∠FBC. (1)求证:BF 是☉O 的切线; (2)若 AE= 2,ED= 4,求☉O 的半径. 第 24 题图 (1)证明:∵AB 平分∠FBC,∴∠FBA=∠CBA, ∵AB=AC,∴∠ACB=∠CBA, ∵∠ACB=∠ADB,∴∠FBA=∠ADB, ∵BD为☉O的直径,∴∠BAD=90°, ∴∠BFA+∠FBA=90°, ∴∠BFA+∠ADB=90°,即∠BFD+∠FDB=90°, ∴∠FBD=180°-(∠BFD+∠FDB)= 90°, ∵BO为半径,∴BF 是☉O的切线; (2)解:由(1)可得∠EBA=∠BDA, ∵∠BAE=∠DAB=90°,∴△BAE∽△DAB,∴AB AE =AD AB , ∵AE=2,ED=4,∴AD=AE+ED=2+4=6,∴AB 2 = 6 AB , 解得 AB=2 3 (负值舍去,不符合题意), ∴BD= AB2+AD2 = (2 3 ) 2+62 =4 3 , 25.(本题满分 8 分)甲、乙、丙三名同学玩跳绳,绳被甩到最高处时的形状是如 图所示的抛物线,其表达式为 y=ax2+bx+1.3.已知拿绳的甲、乙两名同学甩绳 时手间距 AB 为 6 m,手到地面的距离 AD 和 BC 相等,丙同学位于距点 D 的 水平距离为 1 m 的点 E 处,当跳起后头顶距地面的高度为 1.6 m 时,绳子甩 到最高处时刚好擦过丙同学头顶 F.以点 D 为原点建立如图所示的平面直角 坐标系. (1)求此抛物线的表达式,并注明 x 的取值范围; (2)丁同学跳起后头顶距地面的高度为 1.78 m,若丁同学也加入游戏,最多 能与丙同学水平相距多少 m? 第 25 题图 解:(1)由题意得点 F(1,1.6),B(6,1.3),代 入 y=ax2+bx+1.3, 得 a+b+1.3=1.6, 36a+6b+1.3=1.3,{ 解得 a=-0.06, b=0.36,{ ∴抛物线的表达式为 y =-0.06x2+0.36x+1.3 (0≤x≤6); (2)设丁同学的站点到点 D的水平距离为 x m,则-0.06x2+0.36x+1.3=1.78, 解得 x=2 或 4,∵4-1>2-1, ∴丁同学最多能与丙同学水平相距 4-1=3(m) . 26.(本题满分 10 分)问题提出 (1)如图①,在边长为 10 的菱形 ABCD 中,点 E 为 AB 上一点,AE = 3,在 CD 边上有一点 F,连接 EF,若 EF 平分菱形 ABCD 的面积,则 DF 的长 为　 7　 ; 问题探究 (2)如图②,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,M,N 分别是 BC,AC 上的动点,且MN= 2,P 是 MN 的中点,若 AC= 3,BC= 4,请求出点 P 到 AB 距离的最小值; 问题解决 (3)如图③,某公园计划建一个形状为▱ABCD 的游乐场,其中 CD = 90 m, BC= 150 m,连接 AC,AC⊥AB.为方便工作人员通过,要留出一条快速通 道 EF,E、F 是▱ABCD 边上的动点(可与顶点重合) .根据设计要求,线段 EF 平分▱ABCD 的面积,过点 C 作 CP⊥EF 于点 P,要将△ADP 区域修 建为家长休息等待区,为使游乐场容纳更多的游乐设施,要求家长休息 等待区(即△ADP)的面积尽可能地小,问△ADP 的面积是否存在最小 值? 若存在,请求出△ADP 的面积最小值及此时快速通道 EF 的长度;若 不存在,请说明理由. 图① 　 　 　 图② 　 　 　 图③ 第 26 题图 解:(1)7;【解法提示】如解图①,连接 AC,BD 交于点 O,连接 EF,∵四边形 ABCD为菱形,∴AB=CD=AD=BC= 10,AB∥CD,AO=CO,BO=DO,AC⊥ BD,AE= 3,BE = 7,∴四边形 AEFD 与四边形 BCFE 均为梯形,△AOD≌ △COB(SSS),∴S△AOD = S△BOC,∵ EF 平分菱形 ABCD 的面积,∴ S梯形AEFD = S梯形BEFC,∴EF 经过点 O,∵AB∥CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4,又∵OA=OC,∴ △AOE≌△COF(AAS),∴AE=CF=3,∴DF=10-3=7. ∴S△ABC = 1 2 ×3×4= 1 2 ×5CQ′,∴CQ′=12 5 , ∴P′Q′=12 5 -1= 7 5 , 在 Rt△ABC 中,AC= 1502-902 =120(m), ∴OC= 1 2 ×120=60(m),∴PM=CM=30 m,AM=120-30=90(m), ∵∠ANM=∠ACD=90°,∠CAD=∠NAM,∴△AMN∽△ADC, ∵AD∥BC,∴△ENP∽△FQP,∴PN PQ =EP FP ,即24 48 =EP FP = 1 2 , ∴EF=72 5 m, 综上,存在,EF 为 72 5 m,△ADP 的最小面积为 1 800 m2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋