2025年全国中学生数学联赛初赛广西赛区选拔赛试题

2025年全国中学生数学奥林匹克（广西赛区）选拔赛试题 一、填空题（每小题10分，共80分.) 1. 已知虚数z使得z1= 中和千2 是实数，则z=▲ 2.若1og(x+2y)+1og5(x-2y)=1,则x-y的最小值是 的展开式中x的系数是 (用具体数字作答) 4.已知△ABC的外心为0，且4OA+3OB+2OC=0,则cos∠ABC=_▲ 2025 5.数列包，}满足a,=号且对-切自然数n都有a=心+a,则艺。 1 的整数部分 n=0 a +1 是 6.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 7.直线产+上=1与椭圆号+上=1相交于小B两点，点P在该椭圈上，且满足APAB的 54 2516 面积等于9，这样的P点的个数是 8.设Z,为全体正整数集，A={nn∈Z,n3且ny4},B={nn∈Z,n|S},C=AUB. 将C中的元素从小到大排列得到数列{an},则a2z02s=▲ 二、解答题(9、10每小题15分，11、12每小题20分，共70分.) 9.在七个数字1,2,3,4,5,6,7的所有排列中，求至少有两个相邻数字不互质的概率 10.已知f(x)=(x-1)2，g(x)=4(x-1):数列{an}满足(an1-a,)g(an)+f(a,)=0,其 中a=2；数列bn}满足bn=3f(an)-g(ani).求bn的最大值与最小值. 11.在Rt△ABC的斜边AB上取一点D,使得△ACD和△BCD 的内切圆半径相等.求证：CD2=SMBc 12.已知a,b,c是正实数，求证： a+b+c abez2(a+b-c)(b+c-a)(cta-b) 2025年全国中学生数学奥林匹克（广西赛区）选拔赛 试题参考答案 一、填空题（每小题10分，共80分.） 2 2 提示： e2+=;(0+2+=:,+6=0-5 (0+)32=:2, 由51+2,1-2为实数，：为虚数可知1-5152=0. 于是：3=(e2+101+z)52=(2+101+),1+z+:2=0.故，=2=-1. 因此，：=-+51或者：=-}5， 4 2 22 25 2 提示：由log,(x+2y)+log,(x-2y)=1可得1xP-4|y=5,|x>2. 令ux,ty川，kx-yl,则2-42=5，k>0.方程(t+k)2-42=5,即 3-2h+65-k)=0有正实数解、故△=4-126-k≥0,42≥15，k2 2 当k=时1=，4=2压因此，付-以的最小资为 6 3 3.264 是示因为+4-任+2少，所以展开式中r的系数是C2=2 6 P 提示：不妨设△4BC的外接圆半径为1.由40A+30B+20C=0得40A=-30B-20元C, 1610i=910f+410cf+120i.0c,故0丽.0c-} 时可得01.0元：60丽0=名 :.BA.BC=04-0BOC-OB=04-0C-04.0B-OB.OC+0B.OB 1 618 又B=A-06A-0B)10aP-20A.0B+10B=5 -C-C-O)HOC-2C- 15 BA.BC 0 cOS∠ABC 16 8 5.2 提示：由a1=d+a可得L。1 ana（a+)a。a+1，故。=1_1 a +1 aa 于是觉1=11=3-1 台a+1a6aa6 02026 由a=0+a,之0，可得a之- 20+5马>1,0<1<1.因此，所求整数部分为2. 81 811 a26 6.8:27 提示：设球的半径为R,其内接圆锥的高为h,底面半径为r.则r2=R-h-R=(2R-)h. Va-(2R-h)s(th+4R-2h 32 R 3 3 6 81 4 当且仅当h=4R-2h,即h=二R时取等号. 又V=号R,故所求比值为2R:4R=8:27 81 3 7.2 提示：P到直线B的距离d=2S=18 AB 41 .过P点与AB平行的直线L可设为4x+5y=k, B的方程为4x+5y=20,故18=K-20 √41√41 ,k=38或者k=2 4x+5y=38 6r2+25y2=400无解若k=2,则 4x+5y=2 若k=38,则 16x2+25y2=400 有两组解.因此，满足 题设条件的点P有2个. 2 8.3375 提示：因为3,4,5的最小公倍数为60，所以每60个连续正整数所剩下的数的个数都是相同的， o[9[[[[[ =36个，而2025=36×56+9，所以a2s是第57组 的第9个，第一组的前九个数依次为1,2,5,7,10,11,13,14,15.故as=56×60+15=3375. 二、解答题(9、10每小题15分，11、12每小题20分，共70分.) 9.解：设a,a2,a3,a4,a5,a。,a,为1,2,3,4,5,6,7的任意排列. 令事件B={a,a2,a,a4,a,a,a,任意相邻两数都互质}，事件C={a,4,4,a,a,a6,a,至 少相邻两个数不互质}，则事件B和事件C是对立事件，有P(C)=1一P(B).…3分 先对数字1,3,5,7作全排列，有A种排列：再排数字6，不能与3相邻.在已经排好的排列中， 1,3,5,7之间及首位末位设置5个空位，除去3的左右2个空位，还有3个空位可以排数字6，故数 字6有3种排法：最后排数字2,4，由于2,4,6彼此都不互质，都不能相邻，故只能在剩下的4个空 位，排上数字2,4，共有种排法.因此，任意两个数字都互质的排法共有A×3×A种.…12分 ,2,345,6,7-共有4居种排法.因此，PB)=×3×_4×3x2x1x3x4×36 7x6×5x4x3x2x135:从而 29 9 P(C)=1-P(B)= 求得至少有两个相邻数字不互质的版率是 5 +……15分 10.解：由f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1)及(a1-an)g(an)+f(an)=0,可得 (a1-an)4(a。-1D+(an-l)2=0,从而(a.-104a1-3a。-1)=0. 31 a=2≠l.若al,则4a1-3a-1=0,从而a=4+4l.因此，a,l,neN. 于是4an1-30n-1=0.… 445分 a-1a-图-图a目1 6=3aa=a-r-4o-=3月目 图 44中44…10分 红=（目6=毛-子当n≥1欧6为送数列 11,1311,1911 4-21-27424252162161 151 当m24时：166212<7 因此，当n=3时，b= 三-189最小：当n=1时，么=0最大15分 256 IL,证明：过D作DE⊥AC于E,DF⊥AB于F, 设AC=b,BC=a.AB=c,则a2+b2=c2 设AD=x,BD=y,则x+y=C. 设△ACD和△BCD的内切圆半径为r, 由△MDE∽△ABC可得 瓷始 即DE=,故DE= a c 同理可得DF= c 故CD2=DE2+DF_r+by 6分 Sxc=r(x+b+CD)Sun=r(y+a+CD). xSACBx+b+CD y SA8CD y+a+CD (1)若x=y,则a=b,x=y=一c,即△4BC为等腰直角三角形，所以 2 CDaby==ab=SM …12分 c2 4 2 ②)若x≠y,则CD=y-瓜.于是y- =CD2=aix2+6的y x-y (x-y)2 c2 数2..化整得746y底 c2-4y 2 于是，CD2=。ab=Swc 20分 2 12.证明： (1)由(ab)2+(bc)2≥2ab2c,(bc)2+(ca)222abc2,(ca)}2+(ab)222a2bc可得 2(ab)+2(bc)+2(ca)'z 2ab'c+2abc2+2a'bc=2abc(a+b+c). 故ab+oP+(c@jr≥aca+b+o,从面ae合+ 2 abc(a+b+c). a+b+c 因此，abc之111 4小心8分 a+6+e2 (2)不妨设a=max{a,b,c},则a+b-c2b>0,c+a-b2c>0. (1)若b+c-a≤0，则，a+b+e 111 >02(a+b-c)(b+c-ayc+a-b). …12分 (ii)若b+c-a>0,令a+b-c=x,b+c-a=y,c+a-b=5,则x,y,:均为正实数，且 +6+c=*,a=b=空e生 2 2 由0+：护≥4：可得1≥，4 1 (y+)2 同理可得上之4，上之，4 x2(+x’yx+y 1+1+12-4 ，4 4 xy(+x)2(x+y20y+ x+y+24 4 4 a+b+c 111 02 之e+0ta*n+o+,于是a+b-Xb+c-0Xe+a-2。++, 故t之a+b-c6+c-ae+a-1 a+6+e 综上1)(2)，abc≥ 2a+b+cz(a+b-cXb+c-aXc+a-b) -20分 a+6+