广东省东莞市七校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

东莞市 2024-2025 学年第二学期七校联考试题 高一数学 命题学校：东莞市厚街中学 命题人:纪凤英 审题人:王新丰 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B．1 C． D．i 2．已知向量 ，且则（    ） A． B． C． D． 3．如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 4．在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 6．将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为.在棱长为2的正方体中，则（    ） A． B． C．4 D． 8．在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得 6 分，选错或不选得 0 分，部分选对的得部分分．) 9．已知复数z满足：，则（    ） A． B．的虚部是3 C． D．复数z在复平面内对应的点位于第四象限 10．如图，在边长为6的等边中，，点在以为直径的半圆上（不含点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 11．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．三棱锥外接球表面积为 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，其中第14题第一空3分，第二空2分.把答案填在答题卡中的横线上．) 12．已知向量满足，，且，则与的夹角为 . 13．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积等于 . 14． 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即 (其中为三角形面积，a，b，c为三角形的三边)． 在非直角中，a，b，c为内角A，B，C所对应的三边，若且，则面积的最大值是 ，此时外接圆的半径为 . 4、 解答题(本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15． (13分)已知复数，其中． (1) 设，若是纯虚数，求实数m的值； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量． 16．（15分）已知在中，内角的对边分别为，且满足． (1)求； (2)若，且，求的周长． 17.（15分）如图，中，是的中点，与交于点. (1)用表示； (2)设，求的值； (3)若，求的最大值. 18.（17分）如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1) 求证：平面； (2) 求证：平面； (3) 求点D到平面的距离. 19. （17分）在中，内角对应的边分别为，，，． (1)求； (2)若为线段内一点，且，求线段的长； (3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有 被称为柯西不等式；若，求：的最小值． 答案第1页，共2页 试题第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东莞市 2024-2025 学年第二学期七校联考试题（高一数学）参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C C A B D B AC ABD AD 12． 13． 14. 1．B 【分析】先求出，结合虚部的概念可得答案. 【详解】因为，所以，所以的虚部为1. 故选：B 2．D 【分析】直接根据向量平行的坐标运算计算即可. 【详解】因为且，则，得. 故选：D. 3．C 【分析】根据直观图得到平面图，求出相关线段的长度，从而求出面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形， 则，，， 则原的面积为. 故选：C. 4．C 【分析】由正弦定理可得，根据条件求得的值，根据与的大小判断角的大小，从而判断三角形的解的个数． 【详解】由正弦定理可得，若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解． 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解． 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解． 若D 成立，，，，有，∴，由于，故为锐角，故三角形有唯一解． 故选：C． 5．A 【分析】由题设得,，再应用正弦定理列方程求鹳雀楼的高度. 【详解】因为中，，，， 所以， 因为中，，， 所以，即, 由题意，，， 则， 在中，由正弦定理得，即， 故， 故. 故选：A 6．B 【分析】由题意求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式计算即可求解. 【详解】由题意知，半圆的周长为，设圆锥底面圆的半径为， 则，解得，又母线长为4， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 7．D 【分析】利用平面向量数量定义求出夹角的余弦值，进而可得其正弦值，再根据向量积的定义可求得结果. 【详解】在正方体中，因为，且， 所以， 所以， 故选：D. 8．B 【分析】由外接球表面积得到球的半径，进而求得，即可求解. 【详解】因直三棱柱中，， 则两个底面三角形的外接圆圆心分别为的中点， 如图所示，. 设棱柱的外接球的半径为，圆心为， 由，可得，由对称性知，O为中点， 由图，解得. 因侧面绕直线旋转一周后得到的几何体是底面半径为，高为2的圆柱， 其体积为. 故选：B 9．AC 【分析】先化简复数，结合选项逐个验证可得答案. 【详解】因为，所以， ，故A正确； 复数z在复平面内对应的点为位于第一象限，故D错误； ，其虚部为，故B错误； ，故C正确. 故选：AC. 10．ABD 【分析】利用向量数量积的计算公式判断AB，利用向量的四则运算判断C，利用投影向量的概念判断D. 【详解】，A正确; 因为点在以为直径的半圆上，所以，所以，B正确； ，C错误； 过点作交于点，过点作交于点，易得为的中点， 因为，所以，则，由图可知在上的投影向量为，即为，D正确． 故选：ABD 11．AD 【分析】由线面垂直的判定及性质即可判断A；由线面关系即可判断B；由线面角的定义即可判断C；由球的表面积公式即可判断D． 【详解】对于A，连接，则，因为，所以， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确； 对于B，连接，由正方体得，， 又，所以， 因为平面，即与平面不平行， 所以与平面不平行，故B错误； 对于C，由题意知，是直线与平面所成的角，且， 所以直线与平面所成的角不是，故C错误； 对于D，由正方体得，平面，且，， 所以三棱锥外接球的直径， 所以，外接球表面积为，故D正确； 故选：AD． 12．/ 【详解】因为向量满足，，且， 所以，解得， 因为，所以， 故答案为： 13． 【分析】由题意求得母线长，再代入圆台表面积的公式即可求得表面积. 【详解】由题意，可作该圆亭的轴截面，如图所示： 则圆亭的高，上底面半径，下底面半径，则， 母线5， 所以圆台的表面积. 故答案为： 14． 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合已知三角形的面积公式进行化简，结合二次函数的性质计算可得面积最大值，从而求出，再由余弦定理求出，最后由正弦定理求出外接圆的半径． 【详解】解：因为， 由正弦定理得， 所以， 即， 因为， 所以， 由正弦定理得， 由题意可得 ， 当即时三角形的面积最大，最大值为， 所以，又，所以， 又，所以，设外接圆的半径为，则， 所以； 故答案为：；3． 15． （13分） 【详解】（1），⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 因为是纯虚数，所以且，解得； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 （2）当时，，故，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分 ，故．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分 设，则；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分 所以在上的数量投影向量为．⋯⋯⋯⋯13分 16． （15分） 【详解】（1）已知， 则由正弦定理有. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 又∵，则，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 因为为三角形内角，则，. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分 （2）由题可知：，所以，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 由余弦定理可得，即， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 所以，可得，则，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分 所以的周长为. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分 17． （15分） 【详解】（1）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 （2） ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分 因为三点共线，所以，解得.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分 （2） ，由（1）可知，所以，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分 得，则，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 所以 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分 所以的最大值为. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分 18．（17分） 【详解】（1） 如图，连接，设，连接.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 因，，可得，则，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 又，则得， 因平面，平面，故平面. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 （2）由（1）已得，因，故四边形为菱形，则， 因平面 平面则， 又平面，故平面.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分 （3） 在中，， 因平面 平面则 在中，,同理，，， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 故满足勾股定理 ,则,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分 故⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 而 ,设点D到平面的距离为d， 由等体积法得 , 得 = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分 故点D到平面的距离为 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分 19．（17分） 【详解】（1）由，得， 即， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 在中，由正弦定理得，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 由余弦定理得，而，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 所以． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 （2）由，得， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分 则，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分 所以. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 （3）依题意， ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分 当且仅当为正三角形时取等号，所以所求的最小值为48. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$答案第 1页，共 4页 东莞市 2024-2025 学年第二学期七校联考试题 高一数学 命题学校：东莞市厚街中学 命题人:纪凤英 审题人:王新丰 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．) 1．若复数�满足 1 + i� = i，则�的虚部为（ ） A．−1 B．1 C．− i D．i 2．已知向量 � = 2,1 , � = �, � − 1 ，且� //� ，则� =（ ） A．− 1 2 B．1 3 C．2 3 D．2 3．如图，△�′�′�′是水平放置的△ ���的直观图，�′�′ = 2，�′�′ = 3，∠�′�′�′ = 45°，则原△ ��� 的面积为（ ） A．3 2 B．4 2 C．6 D．8 4．在三角形 ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A．� = 8，� = 16，� = 30° B．� = 25，� = 30，� = 150° C．� = 30，� = 40，� = 30° D．� = 72，� = 30，� = 45° 5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登 鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度��，在鹳雀楼的正东方向找到一座建 筑物��，高约为 35m，在地面上点�处（�, �, �三点共线）测得建筑物顶部�，鹳雀楼顶部� 的仰角分别为30°和45°，在�处测得楼顶部�的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ） A．70m B．64m C．52m D．91m 6．将半径为 4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A．8 3π B．8 3 3 π C．16 3π D．16 3 3 π 答案第 2页，共 4页 7．如果向量� ，� 的夹角为�，我们就称� × � 为向量� 与� 的“向量积”，� × � 还是一个向量，它 的长度为|� × � | = |� | ⋅ |� |sin�.在棱长为 2的正方体���� − �1�1�1�1中，则 ��1 × �� =（ ） A．−4 3 B．−4 C．4 D．4 3 8．在直三棱柱��� − �1�1�1中，�� = �� = 2, �� ⊥ ��，若该棱柱外接球的表面积为 12π，则侧 面��1�1�绕直线��1旋转一周所得到的旋转体的体积为（ ） A．12π B．16π C．20π D．24π 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中， 有多个选项符合题目要求，全部选对得 6 分，选错或不选得 0 分，部分选对的得部分分．) 9．已知复数 z 满足：�(1 + i) = 6i5，则（ ） A． � = 3 2 B．�的虚部是 3 C．� − � = 6i D．复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限 10．如图，在边长为 6的等边△ ���中，�� = 2�� , �� = ��，点�在以��为直径的半圆上（不 含点�, �)，则下列结论正确的是（ ） A．�� ⋅ �� = 18 B．�� ⋅ �� = 0 C．�� = 1 3 �� + 1 6 �� D．��在��上的投影向量为5 6 �� 11．如图所示，在棱长为 2的正方体���� − �1�1�1�1中，�、�分别为��, ��的中点，则（ ） A．�� ⊥ ��1 B．��//平面�1�1� C．直线��1与平面����所成的角为 π 4 D．三棱锥�1 − ���外接球表面积为 6π 答案第 3页，共 4页 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，其中第 14 题第一空 3 分，第二空 2分.把答案填在答题卡中的横线上．) 12．已知向量� , � 满足|� |  = 1，|� |  = 2，且� ⊥ (� + � )，则� 与� 的夹角为 . 13．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为 3，上底面半径为 1，下底面半径为 5，则此圆亭的表面积等于 . 14．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂， 并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一 为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即� = 1 4 [�2�2 − ( � 2+�2−�2 2 )2] (其中�为三角形面积， a，b，c 为三角形的三边)． 在非直角△ ���中，a，b，c 为内角 A，B，C 所对应的三边，若 � = 3且� = � cos� + 3cos� ，则△ ���面积的最大值是 ，此时△ ���外接圆的半径为 . 四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(13 分)已知复数� = 3 + �i，其中� ∈ R． (1)设�1 = (1 + 3i)�，若�1是纯虚数，求实数 m 的值； (2)设� =− 1，分别记复数�、�2在复平面上对应的点为 A、B，求��与��的夹角余弦值以及�� 在��上的投影向量． 16．（15 分）已知在△ ���中，内角�,�,�的对边分别为�,�,�，且满足�cos� + �cos� = �2． (1)求�； (2)若� = π 3 ，且�△��� = 3 4 ，求△ ���的周长． 答案第 4页，共 4页 17.（15 分）如图，△ ���中，�� = � , �� = � , �是��的中点，�� = 2�� , ��与��交于点�. (1)用� , � 表示��； (2)设�� = ���，求�的值； (3)若�� ⊥ ��，求∠���的最大值. 18.（17分）如图，在四棱锥� − ����中，�� ⊥平面����, ��//��，�� ⊥ ��, �� = �� = �� = 2, �� = 4, �, �分别为棱��, ��的中点. (1) 求证：��//平面���； (2) 求证：�� ⊥平面���； (3) 求点 D到平面���的距离. 19. （17 分）在△ ���中，内角�, �, �对应的边分别为�，�，�，sin2� + cos2� + cos2� + sin�sin� = 2． (1)求�； (2)若� = 1, � = 2, �为线段��内一点，且��:�� = 1: 2，求线段��的长； (3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来 命名，如对于任意的�1, �2, �1, �2 ∈ �，都有(�1�2 + �1�2)2 ≤ (�12 + �12)(�22 + �22)被称为柯西不等式； 若� = 2，求：(�2 + �2 + �2)[ 2 1−cos2� + 1 cos2(π2−�) + 1 sin2(π+�) ]的最小值． 东莞市 2024-2025 学年第二学期七校联考试题 高一数学 命题学校：东莞市厚街中学 命题人:纪凤英 审题人:王新丰 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B．1 C． D．i 2．已知向量 ，且则（    ） A． B． C． D． 3．如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 4．在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 6．将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为.在棱长为2的正方体中，则（    ） A． B． C．4 D． 8．在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得 6 分，选错或不选得 0 分，部分选对的得部分分．) 9．已知复数z满足：，则（    ） A． B．的虚部是3 C． D．复数z在复平面内对应的点位于第四象限 10．如图，在边长为6的等边中，，点在以为直径的半圆上（不含点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 11．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．三棱锥外接球表面积为 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，其中第14题第一空3分，第二空2分.把答案填在答题卡中的横线上．) 12．已知向量满足，，且，则与的夹角为 . 13．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积等于 . 14． 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即 (其中为三角形面积，a，b，c为三角形的三边)． 在非直角中，a，b，c为内角A，B，C所对应的三边，若且，则面积的最大值是 ，此时外接圆的半径为 . 4、 解答题(本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15． (13分)已知复数，其中． (1) 设，若是纯虚数，求实数m的值； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量． 16．（15分）已知在中，内角的对边分别为，且满足． (1)求； (2)若，且，求的周长． 17.（15分）如图，中，是的中点，与交于点. (1)用表示； (2)设，求的值； (3)若，求的最大值. 18.（17分）如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1) 求证：平面； (2) 求证：平面； (3) 求点D到平面的距离. 19. （17分）在中，内角对应的边分别为，，，． (1)求； (2)若为线段内一点，且，求线段的长； (3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有 被称为柯西不等式；若，求：的最小值． 答案第1页，共2页 试题第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东莞市 2024-2025 学年第二学期七校联考试题 高一数学 命题学校：东莞市厚街中学 命题人:纪凤英 审题人:王新丰 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B．1 C． D．i 2．已知向量 ，且则（    ） A． B． C． D． 3．如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 4．在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 6．将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为.在棱长为2的正方体中，则（    ） A． B． C．4 D． 8．在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得 6 分，选错或不选得 0 分，部分选对的得部分分．) 9．已知复数z满足：，则（    ） A． B．的虚部是3 C． D．复数z在复平面内对应的点位于第四象限 10．如图，在边长为6的等边中，，点在以为直径的半圆上（不含点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 11．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．三棱锥外接球表面积为 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，其中第14题第一空3分，第二空2分.把答案填在答题卡中的横线上．) 12．已知向量满足，，且，则与的夹角为 . 13．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积等于 . 14． 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即 (其中为三角形面积，a，b，c为三角形的三边)． 在非直角中，a，b，c为内角A，B，C所对应的三边，若且，则面积的最大值是 ，此时外接圆的半径为 . 4、 解答题(本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15． (13分)已知复数，其中． (1) 设，若是纯虚数，求实数m的值； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量． 16．（15分）已知在中，内角的对边分别为，且满足． (1)求； (2)若，且，求的周长． 17.（15分）如图，中，是的中点，与交于点. (1)用表示； (2)设，求的值； (3)若，求的最大值. 18.（17分）如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1) 求证：平面； (2) 求证：平面； (3) 求点D到平面的距离. 19. （17分）在中，内角对应的边分别为，，，． (1)求； (2)若为线段内一点，且，求线段的长； (3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有 被称为柯西不等式；若，求：的最小值． 答案第1页，共2页 试题第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年第二学期七校联考高一数学答题卷 班级: 姓名: 考场: 座位号: 正确填涂 缺考标记 条形码粘贴区 注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色 字迹的钢笔或者铅笔填写 准考证号和姓名等,将条形 码正确粘贴到指定的条形 码粘贴区域。 一、客观题 1 2 3 4 5 6 7 8         二、客观题(其中9-11为多选题) 9 10 11    请勿在此区域作答 三、填空题 12、(5分) 13、(5分) 14、(5分) 四、解答题 15、(13分) 第 1面 共 2面 16、(15分) 17、(15分) 18、(17分) 第 2面 共 2面 19、(17分) 试题第 1页，共 4页 东莞市 2024-2025 学年第二学期七校联考试题 高一数学 命题学校：东莞市厚街中学 命题人:纪凤英 审题人:王新丰 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．) 1．若复数�满足 1 + i� = i，则�的虚部为（ ） A．−1 B．1 C．− i D．i 2．已知向量 � = 2,1 , � = �, � − 1 ，且� //� ，则� =（ ） A．− 1 2 B．1 3 C．2 3 D．2 3．如图，△�′�′�′是水平放置的△ ���的直观图，�′�′ = 2，�′�′ = 3，∠�′�′�′ = 45°，则原△ ��� 的面积为（ ） A．3 2 B．4 2 C．6 D．8 4．在三角形 ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A．� = 8，� = 16，� = 30° B．� = 25，� = 30，� = 150° C．� = 30，� = 40，� = 30° D．� = 72，� = 30，� = 45° 5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登 鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度��，在鹳雀楼的正东方向找到一座建 筑物��，高约为 35m，在地面上点�处（�, �, �三点共线）测得建筑物顶部�，鹳雀楼顶部� 的仰角分别为30°和45°，在�处测得楼顶部�的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ） A．70m B．64m C．52m D．91m 6．将半径为 4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A．8 3π B．8 3 3 π C．16 3π D．16 3 3 π 试题第 2页，共 4页 7．如果向量� ，� 的夹角为�，我们就称� × � 为向量� 与� 的“向量积”，� × � 还是一个向量，它 的长度为|� × � | = |� | ⋅ |� |sin�.在棱长为 2的正方体���� − �1�1�1�1中，则 ��1 × �� =（ ） A．−4 3 B．−4 C．4 D．4 3 8．在直三棱柱��� − �1�1�1中，�� = �� = 2, �� ⊥ ��，若该棱柱外接球的表面积为 12π，则侧 面��1�1�绕直线��1旋转一周所得到的旋转体的体积为（ ） A．12π B．16π C．20π D．24π 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中， 有多个选项符合题目要求，全部选对得 6 分，选错或不选得 0 分，部分选对的得部分分．) 9．已知复数 z 满足：�(1 + i) = 6i5，则（ ） A． � = 3 2 B．�的虚部是 3 C．� − � = 6i D．复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限 10．如图，在边长为 6的等边△ ���中，�� = 2�� , �� = ��，点�在以��为直径的半圆上（不 含点�, �)，则下列结论正确的是（ ） A．�� ⋅ �� = 18 B．�� ⋅ �� = 0 C．�� = 1 3 �� + 1 6 �� D．��在��上的投影向量为5 6 �� 11．如图所示，在棱长为 2的正方体���� − �1�1�1�1中，�、�分别为��, ��的中点，则（ ） A．�� ⊥ ��1 B．��//平面�1�1� C．直线��1与平面����所成的角为 π 4 D．三棱锥�1 − ���外接球表面积为 6π 试题第 3页，共 4页 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，其中第 14 题第一空 3 分，第二空 2分.把答案填在答题卡中的横线上．) 12．已知向量� , � 满足|� |  = 1，|� |  = 2，且� ⊥ (� + � )，则� 与� 的夹角为 . 13．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为 3，上底面半径为 1，下底面半径为 5，则此圆亭的表面积等于 . 14．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂， 并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一 为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即� = 1 4 [�2�2 − ( � 2+�2−�2 2 )2] (其中�为三角形面积， a，b，c 为三角形的三边)． 在非直角△ ���中，a，b，c 为内角 A，B，C 所对应的三边，若 � = 3且� = � cos� + 3cos� ，则△ ���面积的最大值是 ，此时△ ���外接圆的半径为 . 四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(13 分)已知复数� = 3 + �i，其中� ∈ R． (1)设�1 = (1 + 3i)�，若�1是纯虚数，求实数 m 的值； (2)设� =− 1，分别记复数�、�2在复平面上对应的点为 A、B，求��与��的夹角余弦值以及�� 在��上的投影向量． 16．（15 分）已知在△ ���中，内角�,�,�的对边分别为�,�,�，且满足�cos� + �cos� = �2． (1)求�； (2)若� = π 3 ，且�△��� = 3 4 ，求△ ���的周长． 试题第 4页，共 4页 17.（15 分）如图，△ ���中，�� = � , �� = � , �是��的中点，�� = 2�� , ��与��交于点�. (1)用� , � 表示��； (2)设�� = ���，求�的值； (3)若�� ⊥ ��，求∠���的最大值. 18.（17分）如图，在四棱锥� − ����中，�� ⊥平面����, ��//��，�� ⊥ ��, �� = �� = �� = 2, �� = 4, �, �分别为棱��, ��的中点. (1) 求证：��//平面���； (2) 求证：�� ⊥平面���； (3) 求点 D到平面���的距离. 19. （17 分）在△ ���中，内角�, �, �对应的边分别为�，�，�，sin2� + cos2� + cos2� + sin�sin� = 2． (1)求�； (2)若� = 1, � = 2, �为线段��内一点，且��:�� = 1: 2，求线段��的长； (3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来 命名，如对于任意的�1, �2, �1, �2 ∈ �，都有(�1�2 + �1�2)2 ≤ (�12 + �12)(�22 + �22)被称为柯西不等式； 若� = 2，求：(�2 + �2 + �2)[ 2 1−cos2� + 1 cos2(π2−�) + 1 sin2(π+�) ]的最小值． 试题第 1页，共 4页 东莞市 2024-2025 学年第二学期七校联考试题 高一数学 命题学校：东莞市厚街中学 命题人:纪凤英 审题人:王新丰 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．) 1．若复数�满足 1 + i� = i，则�的虚部为（ ） A．−1 B．1 C．− i D．i 2．已知向量 � = 2,1 , � = �, � − 1 ，且� //� ，则� =（ ） A．− 1 2 B．1 3 C．2 3 D．2 3．如图，△�′�′�′是水平放置的△ ���的直观图，�′�′ = 2，�′�′ = 3，∠�′�′�′ = 45°，则原△ ��� 的面积为（ ） A．3 2 B．4 2 C．6 D．8 4．在三角形 ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A．� = 8，� = 16，� = 30° B．� = 25，� = 30，� = 150° C．� = 30，� = 40，� = 30° D．� = 72，� = 30，� = 45° 5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登 鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度��，在鹳雀楼的正东方向找到一座建 筑物��，高约为 35m，在地面上点�处（�, �, �三点共线）测得建筑物顶部�，鹳雀楼顶部� 的仰角分别为30°和45°，在�处测得楼顶部�的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ） A．70m B．64m C．52m D．91m 6．将半径为 4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A．8 3π B．8 3 3 π C．16 3π D．16 3 3 π 试题第 2页，共 4页 7．如果向量� ，� 的夹角为�，我们就称� × � 为向量� 与� 的“向量积”，� × � 还是一个向量，它 的长度为|� × � | = |� | ⋅ |� |sin�.在棱长为 2的正方体���� − �1�1�1�1中，则 ��1 × �� =（ ） A．−4 3 B．−4 C．4 D．4 3 8．在直三棱柱��� − �1�1�1中，�� = �� = 2, �� ⊥ ��，若该棱柱外接球的表面积为 12π，则侧 面��1�1�绕直线��1旋转一周所得到的旋转体的体积为（ ） A．12π B．16π C．20π D．24π 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中， 有多个选项符合题目要求，全部选对得 6 分，选错或不选得 0 分，部分选对的得部分分．) 9．已知复数 z 满足：�(1 + i) = 6i5，则（ ） A． � = 3 2 B．�的虚部是 3 C．� − � = 6i D．复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限 10．如图，在边长为 6的等边△ ���中，�� = 2�� , �� = ��，点�在以��为直径的半圆上（不 含点�, �)，则下列结论正确的是（ ） A．�� ⋅ �� = 18 B．�� ⋅ �� = 0 C．�� = 1 3 �� + 1 6 �� D．��在��上的投影向量为5 6 �� 11．如图所示，在棱长为 2的正方体���� − �1�1�1�1中，�、�分别为��, ��的中点，则（ ） A．�� ⊥ ��1 B．��//平面�1�1� C．直线��1与平面����所成的角为 π 4 D．三棱锥�1 − ���外接球表面积为 6π 试题第 3页，共 4页 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，其中第 14 题第一空 3 分，第二空 2分.把答案填在答题卡中的横线上．) 12．已知向量� , � 满足|� |  = 1，|� |  = 2，且� ⊥ (� + � )，则� 与� 的夹角为 . 13．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为 3，上底面半径为 1，下底面半径为 5，则此圆亭的表面积等于 . 14．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂， 并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一 为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即� = 1 4 [�2�2 − ( � 2+�2−�2 2 )2] (其中�为三角形面积， a，b，c 为三角形的三边)． 在非直角△ ���中，a，b，c 为内角 A，B，C 所对应的三边，若 � = 3且� = � cos� + 3cos� ，则△ ���面积的最大值是 ，此时△ ���外接圆的半径为 . 四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(13 分)已知复数� = 3 + �i，其中� ∈ R． (1)设�1 = (1 + 3i)�，若�1是纯虚数，求实数 m 的值； (2)设� =− 1，分别记复数�、�2在复平面上对应的点为 A、B，求��与��的夹角余弦值以及�� 在��上的投影向量． 16．（15 分）已知在△ ���中，内角�,�,�的对边分别为�,�,�，且满足�cos� + �cos� = �2． (1)求�； (2)若� = π 3 ，且�△��� = 3 4 ，求△ ���的周长． 试题第 4页，共 4页 17.（15 分）如图，△ ���中，�� = � , �� = � , �是��的中点，�� = 2�� , ��与��交于点�. (1)用� , � 表示��； (2)设�� = ���，求�的值； (3)若�� ⊥ ��，求∠���的最大值. 18.（17分）如图，在四棱锥� − ����中，�� ⊥平面����, ��//��，�� ⊥ ��, �� = �� = �� = 2, �� = 4, �, �分别为棱��, ��的中点. (1) 求证：��//平面���； (2) 求证：�� ⊥平面���； (3) 求点 D到平面���的距离. 19. （17 分）在△ ���中，内角�, �, �对应的边分别为�，�，�，sin2� + cos2� + cos2� + sin�sin� = 2． (1)求�； (2)若� = 1, � = 2, �为线段��内一点，且��:�� = 1: 2，求线段��的长； (3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来 命名，如对于任意的�1, �2, �1, �2 ∈ �，都有(�1�2 + �1�2)2 ≤ (�12 + �12)(�22 + �22)被称为柯西不等式； 若� = 2，求：(�2 + �2 + �2)[ 2 1−cos2� + 1 cos2(π2−�) + 1 sin2(π+�) ]的最小值．