精品解析：甘肃省多校联考2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024~2025学年度第二学期期中考试高一数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版必修第二册第一章~第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值是（ ） A. -7 B. C. 7 D. 4. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，内角、、所对的边分别，，，，，，那么满足条件的（ ） A. 有一种情形 B. 有两种情形 C. 不可求出 D. 有三种以上情形 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件中能判断为钝角三角形的有（ ） A. B. C. D. 的三条高分别为2，3，4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数在复平面内所对应的点在直线上．请写出一个满足上述条件的复数＝_____． 13. 如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶2h后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为_________km. 14. 已知，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在平面直角坐标系xOy中，，，． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数m的值． 16. 已知复数是一元二次方程的根. （1）求的值； （2）若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 （1）求A； （2）若，求a的最小值. 18. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 19. 如图，在矩形ABCD中，F为CD的中点，E为AD上靠近点A的三等分点，BD与EF相交于点G，记. （1）求的值； （2）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中考试高一数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版必修第二册第一章~第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得， 所以在复平面内对应的点的坐标为. 故选：A. 2. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦两角和公式求解即可. 【详解】. 故选：D 3. 已知，则的值是（ ） A. -7 B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正切和角公式可解. 【详解】. 故选：D. 4. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用同角三角函数的基本关系求，再运用三角形面积公式计算即得结果. 【详解】因为，，故， 所以的面积为. 故选：A. 5. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两式平方作差，化简即可求出答案. 【详解】由，，两式作差可得． 故选：C． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将等式两边平方可求得的值，利用切化弦可求得的值. 【详解】由，可得，得， 因此，. 故选：C. 【点睛】方法点睛：应用公式时注意方程思想的应用，对于、、这三个式子，利用可以知一求二． 7. 已知中，内角、、所对的边分别，，，，，，那么满足条件的（ ） A. 有一种情形 B. 有两种情形 C. 不可求出 D. 有三种以上情形 【答案】B 【解析】 【分析】 由正弦定理，求得角的值，进而做出判定，得到答案. 【详解】由题意，因为， 由正弦定理，可得， 因为，可得，且，所以或， 所以满足条件的有两种情形. 故选：B. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简，再根据特殊角的三角函数值判断的大致范围选择即可 【详解】根据正余弦和正切的二倍角公式有，，，.因为，，，故 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据诱导公式可判断A；由二倍角的正弦公式可计算B；由二倍角的余弦公式可判断C；由诱导公式可计算D. 【详解】对于A：，所以A正确 对于B：，所以B正确 对于C：，所以C不正确 对于D：，所以D正确， 故选：ABD. 10. 如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算结合给定图形计算判断ABC；利用数量积的定义及运算律计算判断D作答. 【详解】在中，为的中点，为的中点，， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，有，C正确； 对于D，依题意，，于是 ，D正确. 故选：BCD 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件中能判断为钝角三角形的有（ ） A. B. C. D. 的三条高分别为2，3，4 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理判断A，将两边平方可得，即可判断B，利用两角和的正切公式及诱导公式得到，即可判断C，利用面积公式及余弦定理判断D. 【详解】对于A，由余弦定理有，可得为钝角，故为钝角三角形，故A正确； 对于B，将平方可得，即， 所以，又，所以，则，所以A为钝角，即为钝角三角形，故B正确； 对于C，因为， 所以， 若、、有两个负数，则，，中有两个钝角，显然不满足三角形内角和为， 所以、、均为正数，即角，，都为锐角，为锐角三角形，故C错误； 对于D，假设，，边上的高分别为2，3，4，则，有， 设，则，所以由余弦定理得，所以为钝角，为钝角三角形，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数在复平面内所对应的点在直线上．请写出一个满足上述条件的复数＝_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设，根据题意列出，即可得出答案. 【详解】设， 则在复平面内所对应的点为， 所以， 满足上式的有无数个， 如，，等. 故答案为：（答案不唯一） 13. 如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶2h后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为_________km. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由图知知，， 由正弦定理有. 故答案为： 14. 已知，，则______. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可. 【详解】由同角三角函数的平方关系及已知条件可知：， 当，此时，不合题意； 当，符合题意； 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在平面直角坐标系xOy中，，，． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量坐标化的线性运算即可得到关于的方程组，解出即可； （2）首先计算得，再利用向量共线得到关于的方程，解出即可. 【小问1详解】 由，有， 有解得 故； 【小问2详解】 由，， 又由，有， 解得，故． 16. 已知复数是一元二次方程的根. （1）求的值； （2）若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据实系数方程的两根为共轭复数，结合韦达定理可求得结果； （2）根据纯虚数定义可求得，由模长定义可求得结果. 【小问1详解】 是实系数一元二次方程的根， 是该方程的另一个根， ，即. 【小问2详解】 由（1）知：， 为纯虚数，，解得：， ，的模为. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 （1）求A； （2）若，求a的最小值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理结合特殊角三角函数值求角即可； （2）应用余弦定理结合基本不等式求值即可. 【小问1详解】 ，即， 即； 【小问2详解】 由余弦定理有， 当且仅当时取等号，故a的最小值为1. 18. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的关系求解问题可求，，再根据三角和差公式可解. （2）根据二倍角公式的应用可解. 【小问1详解】 ，， ，， ，， ，， ， ； 【小问2详解】 19. 如图，在矩形ABCD中，F为CD的中点，E为AD上靠近点A的三等分点，BD与EF相交于点G，记. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将作为基底，利用平面向量基本定理结合共线定理对化简，用基底表示，然后列方程组可求得的值； （2）把用基底表示，再作数量积运算即可. 【小问1详解】 因为在矩形ABCD中，F为CD的中点，E为AD上靠近点A的三等分点， 所以，， 因为点在上，所以设（）， 因为，所以， 所以， 所以, 所以，解得，， 【小问2详解】 由（1）可知，， 因为，所以， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $