2025年重庆市高中数学联赛初赛试题

2025年重庆市高中数学联赛初赛试题

考试时间：80分钟

 

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

1. 设集合，，，则的元素个数为_______.

2. 四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为_______.

3. 从面积为的正六边形的个顶点中随机选个不同的点，它们构成的三角形的面积大于的概率为_______.

4. 已知双曲线的两个焦点分别为，若过点的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为_______.

5. 在中，的最小值为_______.

6. 若实数使得关于的方程有模为的虚根，则的取值范围为

7. 设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，则_______.

8. 小明在注册账号时想到一个问题. 他将这个问题简化如下：可以使用字符来组成五位密码，要求必须包含数字、小写字母和大写字母，且不可以出现两个相同的字符相邻. 例如密码可以设置为或，但不能设置为或，则可以设置不同的密码的个数为_______.

 

二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9.（本题满分16分）

已知函数，设是三个不同的实数，满足，求的取值范围.

10.（本题满分20分）

已知数列满足，数列满足，为数列前项和.

（1）若，求的通项公式；

（2）对于给定的，求所有可能的．

11.（本题满分20分）

在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点、、满足四边形为平行四边形，关于的对称点为. 若、、、四点共圆，且直线过，求实数的值.