2025年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题

2025年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题 本卷共15道题目，12道填空恩，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分160分 一、填空题（每小题8分，共计96分） 1.设xeR,集合{x,√2x,x2}={x-4,x2-12x+40,8x,则x= 2.设n为正整数，定义P(cosx)=cosx,则 Pos(cos5)+2cos185 P024(cos5)+P023(sin85)= 3.若等差数列{a,}满足：a>0,S,.+44=0,其中S,为数列前7项的和，则使得2Sn2an的 n的最大值为 4.如图，在平面直角坐标系上有一动点P,每次平行坐标轴移动一个单位。设动点P从 (0,1)点出发，向左移动一个单位到达(-1，)，向下移动一个单位到达乃(-1,0)，再向下 移动一个单位到达P(-1,一)，接着向右移动一个单位到达P(0,-),再向右移动一个单位 达到P1,一1)，又向上移动一个单位到达P,L,0)…依次进行得到一个逆时针螺旋线。问乃 的坐标为 P12 PIL P1o P2 Py P 0 P P 5. 设非零向量a,b满足xyeR,3xa+4bl224x,则a,b夹角的最小值 为 6.已知实数x,y满足2+y=1,红≠)，则x2x-3,3y-业的最小值为 i血-l2y 7.设xy,2eR,且5x2+6y2+6z2-8z≤1，则x+y+z的最大值为 8.设P-ABCD为四棱锥，面PAB⊥底面ABCD,且PA=PB=V5,AB=BC=AD=2,则西 棱锥P-ABCD体积的最大值为 9.动点M从原点出发，每次沿数轴向正方向移动一个单位或两个单位长度.现每次用掷一 枚非均匀硬币的方式决定M如何移动：若掷得正面，M移动两个单位；若掷得反面，则M 移动一个单位。设掷得正面的概率为P,则M恰好移动到2025点的概率为 10.记组合数Ck-数列a,}满足.a%为c吃2s除以3的余数a欧E0,12,k= 0,12,…2025,则数列{a,}中数字为0,1,2的数目比为 11.如图，在k×k的平行四边形中，A,B为一条对角的两个顶点。一个动点从A出发按照 以下规则运动到B点：动点沿着图中箭头方向（往右或往上）移动，每次移动一步（一步或 是图中最小平行四边形的两条邻边之一，或是最小平行四边形对角线)，到达最小四边形的 一个顶点。则动点从A移动到B点有 种不同的移动方法。 12.设AB为集合，满足A=3且AUB=,2,…,9},若A中所有元素的乘积等于B中所有 元素的和，则这样的A有 个 二、解答题(13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54分】 13.已知抛物线E:x2=2pp>0)的焦点为F,P(m,)(m≠0)是E的动点，过P点作E 的切线1，直钱1与摧周C:苦+长=〔a>b>0)文于么B两个不问的成，记仍的中减为D 设直线0D(0为原点)与直钱y=-2少 交于2. ()证明直线y=-必与直线P2参宜： (2)若1与F2交于G,且a=2b,证明1<S0<2. SPGQ 14.将平面用水平和竖直的直线分成由1×1的正方形构成的网格，设P是由2025个小正方 形构成的连通图形（连通是指从其中任何一格可以经过若干有公共边的方格走到另一格）， 记为边界折线的长度。求r的最大可能值和最小可能值， 16.设复系数多项式f(2)=zn十an-12m-1+…十a12十a的根为zu22,…,2w且对某个正 整数k≤n有 al2lz2l2…2l2kl>12l3k+2…2l3nl 证明：存在实数x∈[-1,1刂使得 e2÷立al