2023年安徽师范大学附属中学自主招生考试数学真题

学科网（北京）股份有限公司 一．选择题(本大题共 6 小题；每小题 5 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只 安徽师范大学附属中学2023年高中自主招生考试 数学试题 有 一项是符合题目要求的，请把正确答案写在答卷纸的指定位置上)： 1. 已知抛物线 y＝x2+mx 的对称轴为直线 x＝2，则关于 x的方程 x2+mx＝5 的根是（ ） A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5 2.如图，在双曲线 有点 M，它的横坐标是 1，过 M 分别作坐标轴的平行线交双曲线 于点 A，B，连接 AB，则△AMB 的面积为（ ） A． B． C． D． 3.如图一个扇形纸片的圆心角为 90°，半径为 4，将这张扇形纸片折叠，使点 A 与点 O 恰好 重合，折痕为 CD，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 16 4 3 3   B. 44 3 3   C. 16 8 3 3   D. 9 3 3 第二题图 第三题图 第五题图 第六题图 4. 若 1 21 2 3 y zx     ，则 x2+y2+z2可取得的最小值为（ ） A. 3 B. 59 14 C. 9 2 D. 6 5. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝﹣x+6 与坐标轴交于点 A，B，点 C为 OA 上一动 点，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，过点 D 作 DE∥x 轴，交 y 轴于点 E，在直线 DE 上找一点 F，使得 ∠DCF＝90°，连接 OF，当 OF+CF 的值最小时，求点 F的坐标为（ ） A. （1， 5 3 ） B. （ 3 2 ， 3 2 ） C. （2，2） D. （3，1） 6.已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列 5 个结论：①abc＞0；②b＜a+c； ③当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中 m≠1）其中正确的个 数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 学科网（北京）股份有限公司 二．填空题(本大题共 9 小题；每小题 5 分，共 45 分．请把正确答案写在答卷纸的指定位 置) 7. 观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出 a+b 的值为 8.因式分解：6x3﹣11x2+x+4= ． 9.如图，矩形 ABCD 中，E 是 AB 上的一点，且 AE：BE=3：2，DA 边上有一点 F，EF=18，将矩 形沿着 EF 翻折，使 A 落在 BC 上的 G 处，则 AB=___________． 10.如图，已知 P 的半径是 1，圆心 P在抛物线 21 1 2 2 y x x   上运动，当 P 与 x轴相 切时，圆心 P的坐标为______. 第九题图 第十题图 第十二题图 第十四题图 11.若方程 2( 2)( 4 ) 0x x x m    的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数m 的取值范围是______________. 12.如图，在菱形 ABCD 中，边 AB=5，E，F 分别在 BC 和 AD 上，若 DF=1，BE=3，且此时 BF=DE， 则 BF 的长为_____ 13. 若二次函数 2y x mx   在 2 1x   时的最大值为 3，那么m的值是_________． 14.如图，直线 1y x  与抛物线 2 4 5y x x   交于 A， B两点，点 P是 y轴上的一个动 点，当 PAB 的周长最小时， PABS  _． 15. 已知三个关于 x的一元二次方程 2 0ax bx c   ， 2 0bx cx a   ， 2 0cx ax b   恰 有一个公共实数根，则 2 2 2a b c bc ca ab   的值为 学科网（北京）股份有限公司 三．解答题(本大题共 7 题，共 75 分，其中第 16 题 7 分、第 17 题 8 分、第 18、19、20、 21、22 题每题 12 分，请把正确答案写在答卷纸的指定位置上) 16.随着选修课的全面开展，我校决定围绕在“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目 中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根 据调查情况绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题： （1）求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整； （2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人都最喜欢演讲活动，其中， 只有1人是女同学，现从中任选 2人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出 所选 2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率． 17 已知关于 x的一元二次方程  2 6 4 1 0x x m    有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为 1 2x x、 ，且 1 2 4x x  ，求m的值． 18. 解关于 x 的不等式(x－1)(ax－a＋1)>0. 学科网（北京）股份有限公司 19.如图，已知 为半圆 O 的直径，P 为半圆上的一个动点（不含端点），以 为一组 邻边作 ，连接 ，设 的中点分别为 ，连接 ． （1）试判断四边形 的形状，并说明理由． （2）若点 P 从点 B出发，以每秒 的速度，绕点 O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间 为 ．①是否存在这样的 ，使得点 Q 落在半圆 O 内？若存在，请求出 的取值范围；若不存 在，请说明理由．②试求：当 t 为何值时，四边形 的面积取得最大值？并判断此时直 线 与半圆 O 的位置关系（需说明理由）． 20. 【问题发现】（1）如图 1，在 Rt△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 边上一点（不与点 B、C 重 合）将线段 AD 绕点 A顺时针旋转 90°得到 AE，连结 EC，则线段 BD与 CE的数量关系是 ， 位置关系是 ； 【探究证明】（2）如图 2，在 Rt△ABC 和 Rt△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE 绕点 A 旋 转，当点 C，D，E 在同一直线时，BD 与 CE 具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图 3，在 Rt△BCD 中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD 绕点A顺时 针旋转，点 C 对应点 E，设旋转角∠CAE 为α（0°＜α＜360°），当点 C，D，E在同一直线 时，画出图形，并求出线段 BE 的长度． 学科网（北京）股份有限公司 21.如图，等腰△ABC 两腰 AB，AC 分别交⊙O于点 D，E，点 A 在⊙O外，点 B，C 在⊙O上（不 与 D，E 重合），连结 BE，DE．已知∠A＝∠EBC，设 BC AB ＝k（0＜k＜1）． （1）若∠A＝50°，求DE的度数；（2）若 k＝ 2 3 ，求 BDE ABC S S   的值； （3）设△ABC，△ADE，△BEC 的周长分别为 c，c1，c2，求证：1＜ 1 2c c c  ≤ 5 4 ． 22. 平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 4 4y ax ax a c    与 x 轴交于点 A、点 B，与 y 轴的 正半轴交于点 C，点 A 的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为 D． (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点 P满足∠APB=∠ACB，求点 P 的坐标； (3) Q 为线段 BD 上一点，点 A关于∠AQB 的平分线的对称点为 A，若 2QBQA ，求点 Q的坐标和此时△QAA的面积．