2025年5月山东省济南市九年级学业水平模拟考试数学试题

九年级数学试题参考答案及评分意见 第 1 页（共 13 页） 绝密★启用并使用完毕前 2025 年 5 月济南市九年级学业水平模拟考试 数学试题参考答案及评分意见 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B C B C D B C D 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分. 11．＜． 12． x（x+1）． 13． 1． 14． 112． 15．      m 8 2 33 1 或 m 2或  m 14． 三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分. 16．（本小题满分 7 分） 解：原式    1 2 3 3 4 „„4 分  1．„„7 分 17．（本小题满分 7 分） 解： ② ①            x x x 2 1 1 2 1 1 5 ， 解不等式①，得：x＞﹣1，„„2 分 解不等式②，得：x≤3，„„4 分 ∴该不等式组的解集为﹣1＜x≤3，„„6 分 ∴该不等式组的整数解为 0，1，2，3．„„7 分 18．（本小题满分 7 分） 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，„„1 分 ∴∠ABE+∠CBE+∠BCD＝∠ABC+∠BCD＝180°，∠BAC＝∠DCA，„„2 分 九年级数学试题参考答案及评分意见 第 2 页（共 13 页） ∵CF∥BE，DF∥AC， ∴∠CBE+∠BCD+∠DCF＝180°，∠DCA＝∠CDF，„„4 分 ∴∠ABE＝∠DCF，∠BAE＝∠CDF，„„5 分 ∴△ABE≌△DCF（ASA），„„6 分 ∴AE＝DF．„„7 分 19．（本小题满分 8 分） 解：（1） 30  ，  1 sin sin 30 2     ，„„2 分 折射率为： 3 sin 34 1sin 2 2     ；„„4 分 （2）由题意可得 60  ，折射率为 3 2 ，„„5 分  sin sin 60 3 sin sin 2       ，  3 sin 3   ，„„6 分 四边形 ABCD 是矩形，点O 是 AD 中点， 2AD OD  ， 90D  ， 又 OCD   ，  3 sin sin 3 OCD    ，„„7 分 在 Rt △ODC 中，设 3OD x ， 3OC x ，由勾股定理得， 2 2(3 ) ( 3 ) 6CD x x x   ，  2 tan 2 OD CD    ， 2 10 5 2 2 OD    ， 2 10 2AD OD   ， 截面 ABCD 的面积为： 10 2 10 100 2AD CD    ．„„8 分 20．（本小题满分 9 分） 解：（1）12÷20%＝60 人，„„1 分 ∴C 数理的人数为：60×30%＝18 人， 如图：„„2 分 九年级数学试题参考答案及评分意见 第 3 页（共 13 页） （2）用 360 度乘以 D 的人数占比得：360°× 24 60 = 144°，„„3 分 ∴圆心角的度数是 144°„„4 分 （3）1200 × 6 60 = 120（人），„„5 分 答：选择科技书的人数为 120 人；„„6 分 ★（4）列表如下： 男 1 男 2 男 3 男 4 女 1 女 2 男 1 男 2 男 1 男 3 男 1 男 4 男 1 女 1 男 1 女 2 男 1 男 2 男 1 男 2 男 3 男 2 男 4 男 2 女 1 男 2 女 2 男 2 男 3 男 1 男 3 男 2 男 3 男 4 男 3 女 1 男 3 女 2 男 3 男 4 男 1 男 4 男 2 男 4 男 3 男 4 女 1 男 4 女 2 男 4 女 1 男 1 女 1 男 2 女 1 男 3 女 1 男 4 女 1 女 2 女 1 女 2 男 1 女 2 男 2 女 2 男 3 女 2 男 4 女 2 女 1 女 2 共有 30 种等可能的结果，其中一男一女的结果有 16 种．„„8 分 ∴P（一男一女）= 16 30 = 8 15 ．„„9 分 21．（本小题满分 8 分） （1）证明：连接 AD， 则∠𝐴𝐷𝐶 = 1 2 ∠𝐴𝑂𝐶，„„1 分 ∵∠𝐶𝐷𝐸 = 1 2 ∠𝐴𝑂𝐶， 九年级数学试题参考答案及评分意见 第 4 页（共 13 页） ∴∠CDE＝∠ADC，𝐴?̂? = 𝐶?̂?，„„2 分 ∵OA＝OE， ∴CD⊥AE；„„3 分 （2）解：由（1）知 CD⊥AE， ∴𝐴𝐺 = 1 2 𝐴𝐸 = √5， ∴ 𝑂𝐹 𝐵𝐹 = 3 4 ，„„4 分 设 OF＝3k（k＞0），则 BF＝4k，OA＝OD＝OB＝7k， ∵DH 是⊙O 的切线，CD 是⊙O 的直径， ∴CD⊥DH， ∴AE∥DH，„„5 分 ∴△DOH∽△GOA，△DHF∽△EAF， ∴ 𝐷𝐻 𝐺𝐴 = 𝑂𝐻 𝑂𝐴 ， 𝐷𝐻 𝐸𝐴 = 𝐹𝐻 𝐹𝐴 ， 即 𝐷𝐻 √5 = 7𝑘+𝐵𝐻 7𝑘 ， 𝐷𝐻 2√5 = 4𝑘+𝐵𝐻 10𝑘 ， ∴𝐷𝐻 = 7√5𝑘+√5𝐵𝐻 7𝑘 ，DH= 8√5𝑘+2√5𝐵𝐻 10𝑘 ，„„6 分 ∴ 7√5𝑘+√5𝐵𝐻 7𝑘 = 8√5𝑘+2√5𝐵𝐻 10𝑘 ， 整理得 70√5k+10√5BH＝56√5k+14√5BH， 解得 BH= 7 2 k， ∴DH= 7√5𝑘+√5𝐵𝐻 7𝑘 = 3√5 2 ，𝑂𝐻 = 𝑂𝐵 + 𝐵𝐻 = 21 2 𝑘，„„7 分 在 Rt△ODH 中，由勾股定理得 OD 2 +DH 2 ＝OH 2 ， 即(7𝑘)2 + ( 3√5 2 )2 = ( 21 2 𝑘)2， 整理得 k 2 = 9 49 ， ∵k＞0， ∴k= 3 7 ， ∴BH= 7 2 𝑘 = 3 2 ， 即 BH 的长为 3 2 ．„„8 分 九年级数学试题参考答案及评分意见 第 5 页（共 13 页） 22．（本小题满分 10 分） 解：（1）设 B 款“巳升升”吉祥物的批发单价为 x 元，则 A 款“巳升升”吉祥物的批发单 价为 （x+20）元，„„1 分 根据题意得： 800 𝑥+20 = 600 𝑥 ， 解得：x＝60，„„2 分 经检验，x＝60 是所列方程的解，且符合题意，„„3 分 ∴x+20＝60+20＝80，„„4 分 答：A 款“巳升升”吉祥物的批发单价为 80 元，B 款“巳升升”吉祥物的批发单价为 60 元；„„5 分 （2）设该网店购进 A 款吉祥物 m 个，则购买 B 款吉祥物（60﹣m）个，„„6 分 由题意得：m≤ 1 2 （60﹣m）， 解得：m≤20，„„7 分 设利润为 w 元， 由题意得：w＝[80×（1+30%）﹣80]m+（80﹣60）（60﹣m）＝4m+1200， ∵4＞0， ∴w 随 m 的增大而增大．„„8 分 ∴当 m＝20 时，w 有最大值，最大值＝4×20+1200＝1280，„„9 分 答：该网店购进 A 款吉祥物 20 个，最大利润是 1280 元．„„10 分 23．（本小题满分 10 分） 解：（1）∵直线 y＝ax+2a（a≠0）分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点， ∴A（﹣2，0），B（0，2a），„„1 分 ∴OA＝2，OB＝2a， ∵AO＝2OB， ∴2＝4a， 解得：a= 1 2 ，„„2 分 ∴B（0，1），直线 AB 的解析式为 y= 1 2 x+1， 如图 1，过点 C 作 CK⊥x 轴于 K， 则 CK∥OB， 九年级数学试题参考答案及评分意见 第 6 页（共 13 页） ∴△ABO∽△ACK， ∴ 𝑂𝐴 𝐴𝐾 = 𝑂𝐵 𝐶𝐾 = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ， ∵AB＝BC， ∴AC＝2AB， ∴ 𝑂𝐴 𝐴𝐾 = 𝑂𝐵 𝐶𝐾 = 1 2 ， ∴AK＝2OA＝4，CK＝2OB＝2， ∴OK＝AK﹣OA＝4﹣2＝2， ∴C（2，2），„„3 分 ∵点 C 在反比例函数 y= 𝑘 𝑥 （k≠0）的图象上， ∴2= 𝑘 2 ， ∴k＝4；„„4 分 （2）设 P（m， 4 𝑚 ），Q（n， 4 𝑛 ），且﹣2＜m＜n＜0， 过点 P 作 PG⊥x 轴于 G，过点 Q 作 QH⊥x 轴于 H，如图 2， 则 AG＝m+2，AH＝n+2，PG= − 4 𝑚 ，QH= − 4 𝑛 ，PG∥QH，„„5 分 ∴△APG∽△AQH， ∴ 𝐴𝐺 𝐴𝐻 = 𝑃𝐺 𝑄𝐻 = 𝐴𝑃 𝐴𝑄 ， ∵BP∥CQ， ∴ 𝐴𝑃 𝐴𝑄 = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 1 2 ， ∴ 𝐴𝐺 𝐴𝐻 = 𝑃𝐺 𝑄𝐻 = 1 2 ， ∴AH＝2AG，QH＝2PG， ∴{ 𝑛 + 2 = 2(𝑚 + 2) − 4 𝑛 = 2(− 4 𝑚 ) ， 解得：{ 𝑚 = − 4 3 𝑛 = − 2 3 ， ∴P（− 4 3 ，﹣3），Q（− 2 3 ，﹣6），„„6 分 设直线 CQ 的解析式为 y＝sx+t，则{ 2𝑠 + 𝑡 = 2 − 2 3 𝑠 + 𝑡 = −6 ， 九年级数学试题参考答案及评分意见 第 7 页（共 13 页） 解得：{ 𝑠 = 3 𝑡 = −4 ， ∴直线 CQ 的解析式为 y＝3x﹣4；„„7 分 （3）如图 3，设直线 CQ 交 y 轴于 T，连接 AT， 过点 C 作 CL⊥x 轴于 L， 由（2）知：直线 CQ 的解析式为 y＝3x﹣4，则 T （0，﹣4）， ∵OA＝CL＝2，OT＝AL＝4，∠AOT＝∠CLA＝ 90°， ∴△ATO≌△CAL（SAS），„„8 分 ∴∠TAO＝∠ACL，AT＝AC， ∵∠CAL+∠ACL＝90°， ∴∠CAL+∠TAO＝90°，即∠CAT＝90°， ∴△CAT 是等腰直角三角形， ∴∠ACT＝45°，即∠DCQ＝45°， 作射线 CO 交反比例函数 y= 4 𝑥 图象第三象限于点 M， ∵点 C（2，2）， ∴M（﹣2，﹣2）， ∴点 M 关于 y 轴的对称点为 M′（2，﹣2），„„9 分 则 MM′＝CM′＝4，∠M′＝90°， ∴△MCM′是等腰直角三角形， ∴∠MCM′＝∠DCQ＝45°， ∴点 M 的坐标为（﹣2，﹣2）．„„10 分 ★24．（本小题满分 12 分） 【合作探究】证明：如图 1，∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△ABC，„„1 分 ∴ 𝐴𝐶 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 𝐴𝐶 ， ∴AC 2 ＝AD•AB；„„2 分 【内化迁移】解：如图 2，∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AD＝BC， 九年级数学试题参考答案及评分意见 第 8 页（共 13 页） ∵∠CFE＝∠D， ∴∠CFE＝∠B， ∵∠ECF＝∠BCF， ∴△CEF∽△CFB，„„3 分 ∴ 𝐶𝐸 𝐶𝐹 = 𝐶𝐹 𝐵𝐶 ， ∵CF＝3，CE＝2， ∴ 2 3 = 3 𝐵𝐶 ， ∴BC= 9 2 ，„„4 分 ∴AD＝BC= 9 2 ；„„5 分 【学以致用】解：如图 3，连接 AC 交 BD 于点 O， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO= 1 2 ∠ABC＝30°， ∴∠AOB＝90°， ∵AB＝2√3， ∴AO= 1 2 AB= √3，OB= √3AO＝3， ∴BD＝2BO＝6， ∵EF= 2 3 BD， ∴EF＝4，„„6 分 过点 A 作 AM⊥BC 于 M，过点 E 作 EN⊥AF 于 N， Rt△ABM 中，∠BAM＝90°﹣60°＝30°， ∴BM= 1 2 AB= √3，AM＝3， Rt△EAN 中，∠EAN＝30°， ∴EN= 1 2 AE，„„7 分 设 AE＝2b，则 EN＝b， ∵EF∥BD， ∴∠FEG＝∠DBC＝30°， ∴∠FEG＝∠EAN＝30°， 九年级数学试题参考答案及评分意见 第 9 页（共 13 页） ∵∠AEB+∠AEF+∠FEG＝180°，∠AFE+∠AEF+∠EAN＝180°， ∴∠AFE＝∠AEB， ∴sin∠AFE＝sin∠AEB， ∴ 𝑏 4 = 3 2𝑏 ， ∴b= √6（负值舍）， ∴AE＝2√6， ∴EM= √(2√6)2 − 32 = √15， ∴BE＝BM+EM= √3 + √15；„„8 分 【综合拓展】如图，作 DG∥AC 和 AG∥BC 交于点 G，作 DF⊥AC 于点 F，连接 BG、 CG， ∵DF⊥AC， ∴∠DFA＝90°， ∴DF＝AD•sin∠DAC＝ADsin60°， ∴S△ADC= 1 2 AC•DF= 1 2 AC•AD•sin60°= 1 2 AB 2 •sin60°= √3， ∵DG∥AC，AG∥BC， ∴S△ADC＝S△AGC＝S△ABC= √3，∠GAB＝∠ABC＝90°，∠ADG＝180°﹣∠DAC＝120°， ∴AG= 2𝑆△𝐴𝐵𝐺 𝐴𝐵 = √3，„„9 分 作△ADG 的外接圆，记圆心为 O，连接 OA、OD、OG， 则∠AOG= 1 2 ×（360°﹣∠ADG）＝120°， ∴∠OAG= 1 2 ×（180°﹣∠ADG）＝30°， ∴∠OAB＝∠GAB﹣∠OAG＝60°， 设圆 O 与 AB 交于 A′，则 OA＝OA'， ∴△OAA′是等边三角形， ∴∠AOA'＝∠AA'O＝60°， ∴∠AOA'+∠AOG＝180°，△OAA′是等边三角形， ∴A′，O，G 三点共线，即 A′G 是圆 O 的直径， ∴A′G= 𝐴𝐺 𝑠𝑖𝑛∠𝐴′𝐴𝐺 = √3 𝑠𝑖𝑛60° =2， 九年级数学试题参考答案及评分意见 第 10 页（共 13 页） ∴圆 O 的半径为 1， ∵△OAA'是等边三角形， ∴AA'＝OA＝OA'＝1， ∴A'B＝AB﹣AA'＝1， ∴A'B＝OA'， ∴∠ABO= 1 2 ∠AA′O＝30°， ∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝60°，∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠OAB＝90°， ∴OB= √𝐴𝐵2 − 𝑂𝐴2 = √3，„„10 分 作 ON⊥BC 于点 N，OM⊥DE 于点 M，则∠ONB＝∠OMD＝90°， 则 ON＝OB•sin∠OBN= √3 ×sin60°= 3 2 ，BN＝OB•cos∠ OBN= √3cos60°= √3 2 ， ∵∠ONE＝∠DEB＝∠OME＝90°， ∴四边形 ONEM 是矩形， ∴OM＝EN，EM＝ON= 3 2 ， 设 DE＝x，BE= √3y，则 DE+ √3 3 BE＝x+y， ∴OM＝EN＝BE﹣BN= √3y− √3 2 ，DM＝DE﹣ME＝x− 3 2 ， 在 Rt△ODM 中，OM 2 +DM 2 ＝OD 2 ， ∴（√3y− √3 2 ） 2 +（x− 3 2 ） 2 ）＝1，„„11 分 令 x+y＝t，则 y＝t﹣x， 则[√3（t﹣x）− √3 2 ] 2 +（x− 3 2 ） 2 ＝1， 整理得：4x 2 ﹣6tx+3t 2 ﹣3t+2＝0， ∴Δ＝（﹣6t） 2 ﹣4×4×（3t 2 ﹣3t+2）≥0， 整理得 3t 2 ﹣12t+8≤0， 令 3t 2 ﹣12t+8＝0， 则 t1＝2− 2√3 3 ，t2＝2+ 2√3 3 ， 九年级数学试题参考答案及评分意见 第 11 页（共 13 页） ∴3t 2 ﹣12t+8≤0 的解集为 2− 2√3 3 ≤t≤2+ 2√3 3 ， ∴t 的最大值为 2+ 2√3 3 ， 即 DE= √3 3 BE 的最大值为 2+ 2√3 3 ，„„12 分 ★★25．（本小题满分 12 分） 解：（1）∵抛物线𝑦 = 1 4 𝑥2可化为 x 2 ＝4y，其中 p 为 2， ∴焦点（0，1），准线 y＝﹣1．„„2 分 （2）∵AM⊥CD，BN⊥CD， ∴AM∥BN， ∴△AMC∽△BNC，„„3 分 ∴ 𝐴𝑀 𝐵𝑁 = 𝐴𝐶 𝐵𝐶 ， 即 𝐴𝑀 𝐴𝐶 = 𝐵𝑁 𝐵𝐶 ，„„4 分 ∵点 C 为焦点，PQ 为准线， ∴AC＝AP，BC＝BQ， ∴ 𝐴𝑀 𝐴𝑃 = 𝐵𝑁 𝐵𝑄 ，„„5 分 ∵四边形 APDM，BQDN 为矩形， ∴AP＝MD，BQ＝DN， ∴ 𝐴𝑀 𝑀𝐷 = 𝐵𝑁 𝐷𝑁 ， ∴tan∠ADC＝tan∠BDC．„„6 分 （3）①由已知可知在𝑦 = 1 4𝑝 𝑥2(𝑝＞0)，F 为焦点，连接 FE，过点 E 作准线的垂线，垂 足为 M， ∴F（0，p），准线 y＝﹣p， 设 E（xE，yE）， ∴EF＝EM＝yE+p，OF＝p，„„7 分 ∵EF＝4OF， ∴yE+p＝4p， ∴yE＝3p，„„8 分 九年级数学试题参考答案及评分意见 第 12 页（共 13 页） ∴令 y＝3p，则3𝑝 = 1 4𝑝 𝑥2， ∴x 2 ＝12p 2 ， ∵x＞0， ∴𝑥 = 2√3𝑝， ∴𝐸(2√3𝑝，3𝑝)， ∴S△OEF= 1 2 𝑂𝐹 × 𝑥𝐸 = √3， 代入数值可得 1 2 × 𝑝 × 2√3𝑝 = √3， 解得 p1＝1，p2＝﹣1， ∵p＞0， ∴p＝1．„„9 分 ②按照题意作图，过点 P 作 MN 的垂线，垂足为 H， 根据题意可得 P（xp，﹣1），F（0，1），MH＝NH， 抛物线的解析式为𝑦 = 1 4 𝑥2， 故可设直线 MN 解析式为 y＝kx+1， 联立{ 𝑦 = 𝑘𝑥 + 1 𝑦 = 1 4 𝑥2 ， 得𝑘𝑥 + 1 = 1 4 𝑥2， 即 x 2 ﹣4kx﹣4＝0，„„10 分 设方程的两根为 xM，xN， ∴xM+xN＝4k， ∴ 𝑥𝑀+𝑥𝑁 2 = 2𝑘， ∴yM+yN＝kxM+1+kxN+1， 即 yM+yN＝k（xM+xN）+2， 代入数值可得𝑦𝑀 + 𝑦𝑁 = 4𝑘 2 + 2， ∴ 𝑦𝑀+𝑦𝑁 2 = 2𝑘2 + 1， ∴线段 MN 中点 H（2k，2k 2 +1）， ∴𝑘𝑃𝐻 = 2𝑘 2 +2 2𝑘−𝑥𝑝 ，„„11 分 九年级数学试题参考答案及评分意见 第 13 页（共 13 页） ∵MH⊥PH， ∴kPH×kMN＝﹣1， ∴𝑥𝑝 = 2𝑘(𝑘 2 + 2)， ∴P（2k（k 2 +2），﹣1）， ∴𝑀𝑁 = 𝑦𝑀 + 𝑦𝑁 + 2 × 1 = 4𝑘 2 + 4， 又∵𝑃𝐻 = √[2𝑘(𝑘2 + 1)]2 + (2𝑘2 + 2)2 = √12 + 𝑘2(2𝑘2 + 2)，∠NMP＝60°， ∴ 𝑃𝐻 1 2 𝑀𝑁 = 𝑡𝑎𝑛60° = √3， 即√12 + 𝑘2 = √3， 解得𝑘 = ±√2， ∴直线 MN 的解析式𝑦 = √2𝑥 + 1或𝑦 = −√2𝑥 + 1．„„12 分 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意 九年级数学试题 第 1 页（共 8 页） 绝密★启用并使用完毕前 2025 年 5 月济南市九年级学业水平模拟考试 数 学 试 题 本试题共 8 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，座号填写在答题卡和试卷的指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题的答案，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，用 0.5mm 的黑色签字 笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1．36 的平方根是 A． 6 B． 6 C．6 D． 6 2．截至 2025 年 4 月，《哪吒之魔童闹海》海外票房总计约 312000000 元，将 312000000 用 科学记数法表示为 A．3.12×10 8 B．312×10 6 C．3.12×10 7 D．0.312×10 9 3．小篆的诞生标志着汉字的统一，是我国汉字发展史上重要的里程碑，对汉字的规范和对 隶、楷、行、草诸书的变革起了重要推动的作用．下列小篆文字中既是轴对称图形又是 中心对称图形的是 A． B． C． D． 4．如图，直线 m∥n，一把含 30°角的直角三角尺按所示位置摆放，若∠1＝30°，则∠2 的度数是 A．20° B．25° C．30° D．40° 5．下列运算正确的是 A．x 2 +x 3 ＝x 5 B．a 3 •a 2 ＝a 5 C．（2x 3 ） 2 ＝4x 5 D．a 6 ÷a 3 ＝a 2 九年级数学试题 第 2 页（共 8 页） 6．“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法， 那么函数 1 2 y x   具有的性质是 A．x＞0 时，y 的值随 x 的增大而减小 B．x＜0 时，y 的值随 x 的增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限 7．已知一组样本数据 x1，x2„，xn 为不全相等的 n 个正数，其中 n≥4．若把数据 x1，x2，„， xn 都扩大 m 倍再减去 l（其中 m 是实数，m≠0），生成一组新的数据 mx1﹣l，mx2﹣l，„， mxn﹣l，则这组新数据与原数据相比较 A．平均数相等 B．中位数相等 C．方差相等 D．标准差可能相等 8．如图⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E 的半径都是 1，顺次连接这些圆心得到五边形 ABCDE， 则图中的阴影部分面积之和为 A． B． 3 2  C． 2 D． 5 2  9．如图，已知△ABC，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点 A 为圆心，以适当长为半径 画弧，分别交边 AC，AB 于点 M，N；②分别以 M，N 为圆心，以大于 1 2 MN 的长为半径 画弧，两弧在△ABC 的内部相交于点 P；③作射线 AP 交 BC 于点 D；④分别以 A，D 为 圆心，以大于 1 2 MN 的长为半径画弧，两弧相交于点 G，H；⑤作直线 GH．分别交 AC， AB 于点 E，F．若 AF＝3，CE＝1，则△ABC 的面积是 A． 2 2 B．8 2 C．16 2 D．32 2 10．如图，正方形 ABCD 中，AB＝4，点 E 是 BA 延长线上的一点，点 M、N 分别为边 AB、 BC 上的点，且 AM＝BN＝1，连接 CM、ND，过点 M 作 MF∥ND 与∠EAD 的平分线交 于点 F，连接 CF 分别与 AD、ND 交于点 G、H，连接 MH，则下列结论正确的有 ① MC ND ；② 2 sin 2 MFC  ；③ 2 2 2( )BM DG AM AG   ；④ 13 2 HMFS  ； A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 （第 8 题图） （第 9 题图） （第 10 题图） 九年级数学试题 第 3 页（共 8 页） 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，填空题请直接填写答案. 11．已知 a＞b，则﹣2a ﹣2b（填“＞”、“＜”或“＝”号）． 12．因式分解：x 2 +x＝ ． 13．若 a 是方程 x 2 ﹣2x﹣1＝0 的根，则﹣2a 2 +4a+3 的值为 ． 14．如图（1）所示是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放 其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙 两个水槽中水的深度 y（厘米）与注水时间 x（分钟）之间的关系如图（2）所示．若乙 槽底面积为 48 平方厘米（壁厚不计），则乙槽中铁块的体积为 cm 3 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线 C1：y＝x 2 绕原点 O 顺时针旋转 180°后得到 C2，向右平移 4 个单位，向上平移 2 个单位得到 C3．点 A 为 C3 的顶点，作直线 OA．点 Q（0，m）为平面内一动点，将点 Q 向上平移两个单位长度得到点 B，过点 B 作垂交直 线 OA 于点 C，以 BC、BQ 为边构造矩形 BQCD．设 C1、C2、C3 的图象为 G．当矩形 BQCD 与图象 G 有三个公共点时，m 的取值范围为 ． （第 14 题图） （第 15 题图） 三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤. 16．（本小题满分 7 分）计算： 0 2 1 (2025 ) | 3 2 | tan 60 ( ) 2        ． 17．（本小题满分 7 分）解不等式组 2( 1) 1 5 1 1 2 x x x           ，并写出它的所有整数解． 18．（本小题满分 7 分）如图，已知▱ABCD，点 E 是对角线 AC 上的一点，CF∥BE，DF∥ AC．求证：AE＝DF． 九年级数学试题 第 4 页（共 8 页） 19．（本小题满分 8 分）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角 α的正弦值与折射角β的正弦值的比值 sin sin   叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它 表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为 α，折射角为 β，且 3 sin 4   ， 30  ，求该介 质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点 A，B、C、D 分别 是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形 A1D1D2A2 对角线交点 O 处射入，其折射光线 恰好从点 C 处射出，如图②，已知 α＝60°，CD＝10，求截面矩形 ABCD 的面积． 20．（本小题满分 9 分）某中学为了培养学生课外阅读的好习惯，举办了“我爱阅读”活动．学 校提供四类书籍供学生阅读，A：文学，B：科技，C：数理，D：历史．为了解该校九年 级学生在校期间的阅读情况，随机抽取了九年级若干学生进行调查（每名学生仅选择一 类书），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图根据图表信息回答以下问题： （1）参与调查的学生共有 人，补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“D：历史类”对应的圆心角的度数是 ； （3）若九年级学生共有 1200 人，请估计九年级选择科技书的学生人数； （4）已知选择 B 类的学生中恰好有 2 名女生、4 名男生，现从中抽取 2 名学生参加学校 科学实验比赛，请用列表法或画树状图的方法，求所选取的两名学生恰好是一男一女的 概率． 九年级数学试题 第 5 页（共 8 页） 21．（本小题满分 8 分）如图，AB，CD 是⊙O 的直径，点 E 在⊙O 上，连接 DE 交 AB 于点 F，连接 AE 交 CD 于点 G， 1 2 CDE AOC   ． （1）求证：CD⊥AE； （2）过点 D 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 H．若 3 4 OF FB  ， 2 5AE  ，求 BH 的长． 22．（本小题满分 10 分）2025 年蛇年春晚吉祥物形象“巳升升”已正式发布亮相，因其憨 态可掬的眉眼与满满的中式美好寓意，“巳升升”受到广大群众的喜爱．某厂家生产 A， B 两款“巳升升”吉祥物，已知 A 款吉祥物的批发单价比 B 款吉祥物的批发单价高 20 元．若 花 800 元批发购买 A 款吉祥物的数量与花 600 元批发购买 B 款吉祥物的数量相同． （1）求 A，B 两款“巳升升”吉祥物的批发单价分别是多少元？ （2）某网店从该厂家处批发购进了 A，B 两款型号的“巳升升”吉祥物共 60 个，A 款吉 祥物的数量不超过 B 款吉祥物数量的一半，B 款吉祥物售价为 80 元/个，A 款吉祥物的售 价比 B 款吉祥物的售价高 30%．若购进的这两种型号吉祥物全部售出，且要使得该网店 所获利润最多，则该网店购进 A 款吉祥物多少个？最大利润是多少？ 九年级数学试题 第 6 页（共 8 页） 23．（本小题满分 10 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝ax+2a（a≠0）分别 与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，与反比例函数 ( 0) k y k x   图象交于 C，D 两点（点 C 在 第一象限），AB＝BC，AO＝2OB． （1）求点 A 的坐标及 k 的值； （2）如图 2，点 P 为反比例函数 k y x  图象第三象限上一点，连接 AP 并延长交反比例函 数 k y x  图象于点 Q，连接 BP，CQ，若 BP∥CQ，求直线 CQ 的表达式； （3）在（2）的条件下，点 M 为反比例函数 k y x  图象上 D，Q 两点之间一点，点 M 关 于 y 轴的对称点为 M′，连接 CM，CM′，若∠MCM′＝∠DCQ，求点 M 的坐标． 九年级数学试题 第 7 页（共 8 页） 24．（本小题满分 12 分）某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似 进行了深入研究． 【合作探究】 如图 1，在△ABC 中，点 D 为 AB 上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC 2 ＝AD•AB． 【内化迁移】 如图 2，在▱ABCD 中，点 E 为边 BC 上一点，点 F 为 BA 延长线上一点，∠CFE＝∠D．若 CF＝3，CE＝2，求 AD 的长． 【学以致用】 如图 3，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°， 2 3AB  ，点 E 是 BC 延长线上一点，连接 EA，将 EA 绕点 A 逆时针旋转 30°得到 E′A，过点 E 作 EF∥BD 交 AE′的延长线于点 F，若 2 3 EF BD ，求 BE 的长． 【综合拓展】 如图 4，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，点 C 在射线 BP 上，∠CAD＝60°，且 AC •AD＝AB 2 ，过点 D 作 DE⊥BP 于点 E．当 AB＝2 时，求 3 3 DE BE 的最大值． 九年级数学试题 第 8 页（共 8 页） 25．（本小题满分 12 分）对于抛物线 2 1 ( 0) 4 y x a a   ，我们发现其图象上任意一点到点（0， a）的距离和到直线 y＝﹣a 的距离总是相等，于是规定点（0，a）为抛物线的焦点，直 线 y＝﹣a 为抛物线的准线． 例如：如图 1， 2 1 ( 0) 4 y x a a   ，其焦点为 A（0，a），准线为直线 y＝﹣a，抛物线上任 意一点 P（ x， y）到准线的距离为 PH，则 2 1 | ( ) | | | | | 4 P H y a y a x a a        ， 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( 0) ( ) ( ) ( ) | | 4 16 2 4 4 PA x y a x x a x x a x a x a a a a a               即 PA＝PH；同理可得 a＜0 时，PA＝PH 也成立．利用焦点和准线的性质解决下列问题： （1）请直接写出抛物线的焦点和准线； （2）如图 2，已知抛物线 2 1 ( 0) 4 y x m m   的焦点为 C，其准线与 y 轴交于点 D，过焦点 C 的直线与抛物线交于 A，B 两点，求证：tan∠ADC＝tan∠BDC； （3）已知抛物线 2 1 ( 0) 4 y x p p   ，焦点为 F，点 E 为对称轴右侧的抛物线上一点，EF ＝4OF 且 3EFOS  ， ①求 p 的值； ②过焦点 F 的直线与该抛物线交于 M，N 两点，P 为抛物线准线上一点，当△PMN 为等 边三角形时，求直线 MN 的解析式．