精品解析：2025年辽宁省丹东市初中学业水平网上阅卷模拟考数学试卷

丹东市2025年初中学业水平网上阅卷模拟考试数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由3个相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在，8，，这四个数中，其中最小的数是（ ） A. B. 8 C. D. 3. 2025年1月17日，自然资源部中国地质调查局宣布，我国在云南省红河地区发现超大规模离子吸附型稀土矿，潜在资源达115万吨．此次发现的超大规模离子吸附型稀土矿有望成为中国最大的中重稀土矿床．将1150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在西周中晚期数千篇金文中，散氏盘书法风格独特，具有很高的书法欣赏价值，下列是用此书法风格书写的部分文字，这些文字中，既可以近似的看成是轴对称图形又可以近似的看成是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点D和点E分别在边上，，，若的面积是2，则的面积为（ ） A. 18 B. 16 C. 8 D. 6 8. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量共为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 9. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点B坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共90分） 请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上． 二、填空题（本题共5道小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 12. 每年的4月23日是世界读书日，某校为了激发学生的阅读兴趣，策划了“读书漂流站”，“故事大王比赛”和“阅读马拉松”三个活动，小李制作了三张正面分别写有“读书漂流站”，“故事大王比赛”和“阅读马拉松”的三张卡片，卡片除正面的字迹不同外，其余完全相同，现将卡片背面朝上，随机摆放在桌子上，小李从中抽取一张卡片，则他抽到写有“故事大王比赛”卡片的概率是______． 13. 如图，点A坐标为，点O为坐标原点，线段沿x轴向右平移得到线段，连接，若四边形的面积为24，则点B的坐标为_____． 14. 如图，函数与函数的图象交于点A，C，垂直于y轴，垂足为点B，连接，已知的面积为1，则k的值为______． 15. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），点C在抛物线上，坐标为，，连接，按照以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点E，交于点F；②以点C为圆心，长为半径画弧，交于点G；③以点G为圆心，长为半径画弧，在下方与弧交于点H；④以点H为圆心，长为半径画弧，在点H下方与弧交于点I；⑤连接并延长交抛物线于点D，则的长为_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 某树苗销售商从农户处购进A、B两种树苗共1500棵，A种树苗共花费10000元，B种树苗共花费7500元，其中每棵B种树苗的进价是每棵A种树苗进价的1.5倍． （1）求每棵A种树苗的进价是多少元； （2）已知A种树苗需要另支付运输费1000元，若该树苗销售商计划A种树苗至少要获利，求A种树苗的最低销售单价． 18. 今年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界，随着科技的发展机器人在人们生活中应用广泛，某实践小组对某款聊天机器人的使用满意度进行了问卷调查，并对数据进行整理、描述和分析（测试满分为100分，所有问卷结果都在60分以上，评分分数用x表示，结果分为四个等级：“不满意”：，“比较满意”：，“满意”：，“非常满意”：），部分信息如下： 信息一： 信息二：评分“满意”等级的数据（单位：分）如下：80，81，81，82，82，83，84，84，88； 根据以上信息，解答下列问题： （1）求所抽取的机器人使用满意度的结果为“非常满意”的人数； （2）求所抽取的机器人使用满意度评分的中位数； （3）若有1000人购买了本款聊天机器人，请估计这1000人中对本款机器人“满意”的人数． 19. 某水果超市购进一批水果，进价为每千克40元，在一段时间内，销售量y（千克）是每千克售价x（元）的一次函数，其图象如图所示． （1）求这段时间内y与x之间的函数关系式； （2）在这段时间内，当每千克售价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少？ 20. 抗美援朝纪念塔坐落在辽宁省丹东市北部的英华山上，此塔铭记着抗美援朝志愿军将士的英勇事迹．抗美援朝纪念塔分为塔身和基座两部分，如图1，小李同学想用测量仪和无人机测量抗美援朝纪念塔的总高度．如图2，小李同学先用测量仪测量基座的高度，在点C测得基座的顶部B的仰角为，，长为，点A，B，C均在同一竖直平面内． （1）求基座的高度； （2）如图3，小李同学想测量塔身的高度，他将无人机升到距地面（所在水平面）的点F处，测得抗美援朝纪念塔塔身的底部B处的俯角为，再将无人机沿纪念塔方向水平飞行至点H处，测得纪念塔的顶部G的俯角为，点A，B，F，G，H均在同一竖直平面内，且点A，B，G在同一直线上．求抗美援朝纪念塔的总高度（结果精确到）（参考数据：，，）． 21. 如图，是的直径，直线与相切于点A，点C是上的一点，连接，，的平分线交与点D，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在中，，，将线段CA绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，交延长线于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接AD，过点C作，交DE延长线于点M，垂足为点F，连接AM交BC于点N，猜想NC和NA的数量关系，并加以证明； （3）在（2）的条件下，将沿着EN折叠，得到，在的变化过程中， ①如图3，当点P与点D重合时，求证：； ②当，且的面积为36时，请你自己画出图形，并求的面积． 23. 定义：为函数的“基因数”，若点（k为常数且）在这个函数F的图象上，则点A称为这个函数F的k倍值点．例如的“基因数”是，点是函数的2倍值点，的“基因数”是，点是函数的倍值点． （1）若函数的“基因数”是，则函数向上平移1个单位，得到函数，则函数的“基因数”是________； （2）若函数的“基因数”是，将函数的图象沿x轴翻折，得到的函数的图象，则函数的“基因数”是________； （3）若函数的“基因数”是，且图象过点，点，点，当时，求n的取值范围； （4）设函数的“基因数”是，点A是在第一象限的1倍值点，作射线，在射线上取一点，，过点B作y轴的平行线交的图象于点C，过点C作x轴的平行线交的图象于点D，以，为边作矩形． ①求矩形周长最大时点C的坐标； ②在①的结论下，矩形不动，将的图象沿方向平移个单位得到，在上恰存在的k倍值点M，使直线将矩形的面积均分，请直接写出点M的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹东市2025年初中学业水平网上阅卷模拟考试数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由3个相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左边看即可求解． 【详解】解：根据左视图是从左边看即可得出 ， 故选∶B 2. 在，8，，这四个数中，其中最小的数是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键． 根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：D． 3. 2025年1月17日，自然资源部中国地质调查局宣布，我国在云南省红河地区发现超大规模离子吸附型稀土矿，潜在资源达115万吨．此次发现的超大规模离子吸附型稀土矿有望成为中国最大的中重稀土矿床．将1150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，同底数幂相乘除，合并同类项，熟练掌握是解题的关键． 根据积的乘方法则计算并判定A；根据同底数幂相除的法则计算并判定B；根据合并同类项法则计算并判定C；根据同底数幂相除的法则计算并判定D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 在西周中晚期数千篇金文中，散氏盘书法风格独特，具有很高的书法欣赏价值，下列是用此书法风格书写的部分文字，这些文字中，既可以近似的看成是轴对称图形又可以近似的看成是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．可以近似的看成轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．可以近似的看成轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C．可以近似的看成轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．可以近似的看成轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 6. 如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由等边三角形三角形的性质推出垂直平分． 由等边三角形的性质推出，垂直平分，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：三角形是等边三角形， ， ， 垂直平分， ， ， ． 故选：D． 7. 如图，在中，点D和点E分别在边上，，，若的面积是2，则的面积为（ ） A. 18 B. 16 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，的面积是2， ∴． 故选：A 8. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量共为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组的应用，找准等量关系是解题关键．根据将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等可得，再根据5只雀、6只燕重量为1斤可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：D． 9. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质定理,熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 由题意得，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点B坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于的方程． 过作轴于，延长交轴于，判定四边形是矩形，得到，，由点坐标，得到，，令，由勾股定理得到，求出，得到，推出，即可得到点的坐标． 【详解】解：过作轴于，延长交轴于， 轴， 四边形是菱形， ，， ， 四边形是矩形， ，， 点坐标为， ，， 令， ， ， ， ， ， ， ， ， 则点的坐标为． 故选：B． 第二部分非选择题（共90分） 请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上． 二、填空题（本题共5道小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 故答案为： 12. 每年的4月23日是世界读书日，某校为了激发学生的阅读兴趣，策划了“读书漂流站”，“故事大王比赛”和“阅读马拉松”三个活动，小李制作了三张正面分别写有“读书漂流站”，“故事大王比赛”和“阅读马拉松”的三张卡片，卡片除正面的字迹不同外，其余完全相同，现将卡片背面朝上，随机摆放在桌子上，小李从中抽取一张卡片，则他抽到写有“故事大王比赛”卡片的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率．直接根据概率公式解答即可． 【详解】解：根据题意得：他抽到写有“故事大王比赛”卡片的概率是． 故答案为： 13. 如图，点A坐标为，点O为坐标原点，线段沿x轴向右平移得到线段，连接，若四边形的面积为24，则点B的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化平移、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 过点作轴于点，过点作轴于点，由题意可得，，四边形为矩形，可得，，则，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ． 点坐标为， ，． 线段沿轴向右平移得到线段， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， 四边形为矩形， ，． 四边形的面积为24， ， ， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，函数与函数的图象交于点A，C，垂直于y轴，垂足为点B，连接，已知的面积为1，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．过点C作轴于点D，根据反比例函数的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D， ∵函数与函数的图象交于点A，C， ∴点A，C两点关于坐标原点对称， ∵轴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为： 15. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），点C在抛物线上，坐标为，，连接，按照以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点E，交于点F；②以点C为圆心，长为半径画弧，交于点G；③以点G为圆心，长为半径画弧，在下方与弧交于点H；④以点H为圆心，长为半径画弧，在点H下方与弧交于点I；⑤连接并延长交抛物线于点D，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，先解方程得，解方程得，过点作轴于点，过点作直线于点，如图，利用基本作图得到，则可证明，根据正切的定义，在中，则在中，即，所以，解方程得到，然后利用两点间的距离公式可计算出的长． 【详解】解：设， 当时，， 解得， ， 当时，， 解得， 过点作轴于点，过点作直线于点，如图， 由作法得， ， ， ， 在中， ∵， ， 在中，， ， ， 即， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，勾股定理，尺规作图． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数值、算术平方根、零指数幂、分式的运算，熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得； （2）先计算正弦、算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值，再计算加减法即可得． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某树苗销售商从农户处购进A、B两种树苗共1500棵，A种树苗共花费10000元，B种树苗共花费7500元，其中每棵B种树苗的进价是每棵A种树苗进价的1.5倍． （1）求每棵A种树苗的进价是多少元； （2）已知A种树苗需要另支付运输费1000元，若该树苗销售商计划A种树苗至少要获利，求A种树苗的最低销售单价． 【答案】（1）每棵A种树苗进价为10元 （2）A种树苗最低销售单价为13元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每棵A种树苗的进价是x元，则每棵B种树苗的进价是元，利用数量总价单价，结合该树苗销售商从农户处购进A、B两种树苗共1500棵，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设A种树苗的销售单价为y元，利用利润销售单价销售数量进货总价运费，结合该树苗销售商计划A种树苗至少要获利，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每棵A种树苗进价x元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：每棵A种树苗进价为10元． 【小问2详解】 解：设每棵A种树苗销售单价为y元， A种树苗买了棵， ， 解得：， 答：A种树苗最低销售单价为13元． 18. 今年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界，随着科技的发展机器人在人们生活中应用广泛，某实践小组对某款聊天机器人的使用满意度进行了问卷调查，并对数据进行整理、描述和分析（测试满分为100分，所有问卷结果都在60分以上，评分分数用x表示，结果分为四个等级：“不满意”：，“比较满意”：，“满意”：，“非常满意”：），部分信息如下： 信息一： 信息二：评分“满意”等级的数据（单位：分）如下：80，81，81，82，82，83，84，84，88； 根据以上信息，解答下列问题： （1）求所抽取的机器人使用满意度的结果为“非常满意”的人数； （2）求所抽取的机器人使用满意度评分的中位数； （3）若有1000人购买了本款聊天机器人，请估计这1000人中对本款机器人“满意”的人数． 【答案】（1）6人 （2）82.5分 （3）450人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，条形统计图，中位数，样本估计总体等知识，正确理解中位数的意义，熟练掌握中位数的计算方法是解题的关键． （1）用“满意”的人数除以所占百分比可得调查总数，减去其他三个等级的人数即可得“非常满意”的人数； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）利用样本估计总体即可得出答案． 【小问1详解】 解：（人） （人） 所抽取的机器人使用满意度的结果为“非常满意”的人数为6． 【小问2详解】 解：这组数据按从小到大排序，中位数是处于中间的两个数82、83的平均数， 即中位数是（分） 所抽取的机器人使用满意度评分的中位数为82.5分． 【小问3详解】 解：（人） 答：估计对本款机器人“满意”的人数约为450人． 19. 某水果超市购进一批水果，进价为每千克40元，在一段时间内，销售量y（千克）是每千克售价x（元）的一次函数，其图象如图所示． （1）求这段时间内y与x之间的函数关系式； （2）在这段时间内，当每千克售价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）当每千克售价80元时，销售利润最大，销售利润最大为4800元 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，二次函数的应用，正确列出关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设，把，分别代入中得 解得， 所以． 【小问2详解】 解：设这批水果的利润为w元． 由题意得： 开口向下， 有最大值 ，， 当时，（元） 答：当每千克售价80元时，销售利润最大为4800元． 20. 抗美援朝纪念塔坐落在辽宁省丹东市北部的英华山上，此塔铭记着抗美援朝志愿军将士的英勇事迹．抗美援朝纪念塔分为塔身和基座两部分，如图1，小李同学想用测量仪和无人机测量抗美援朝纪念塔的总高度．如图2，小李同学先用测量仪测量基座的高度，在点C测得基座的顶部B的仰角为，，长为，点A，B，C均在同一竖直平面内． （1）求基座的高度； （2）如图3，小李同学想测量塔身的高度，他将无人机升到距地面（所在水平面）的点F处，测得抗美援朝纪念塔塔身的底部B处的俯角为，再将无人机沿纪念塔方向水平飞行至点H处，测得纪念塔的顶部G的俯角为，点A，B，F，G，H均在同一竖直平面内，且点A，B，G在同一直线上．求抗美援朝纪念塔的总高度（结果精确到）（参考数据：，，）． 【答案】（1） （2）约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）解求出的长即可； （2）延长交于点I，先解，求出，从而求得，再解中，求得，即可由求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 在中，，， ， 基座的高度为． 【小问2详解】 解：延长交于点I， 由题意得：，， 由（1）可得， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 抗美援朝纪念塔总高度约为． 21. 如图，是的直径，直线与相切于点A，点C是上的一点，连接，，的平分线交与点D，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：直线与相切于点A， ， ， 是的直径， 在中，， 平分， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，再证明，再进一步可得结论； （2）先证明可得，， 连接，，证明，再进一步利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 连接，， ， ， 半径， 的长度． 【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，求解弧长，掌握以上基础知识是解本题的关键． 22. 如图，在中，，，将线段CA绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，交延长线于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接AD，过点C作，交DE延长线于点M，垂足为点F，连接AM交BC于点N，猜想NC和NA的数量关系，并加以证明； （3）在（2）的条件下，将沿着EN折叠，得到，在的变化过程中， ①如图3，当点P与点D重合时，求证：； ②当，且的面积为36时，请你自己画出图形，并求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， ， 绕点C顺时针旋转得到线段， ，， 在中，， ， ． （2） ，证明如下： ，， 平分，， ∴， 垂直平分， ， ， ，即， ， ， ． （3） ①证明：沿着折叠得到， ， 点P与点D重合， ， ， ，，， ， ， ，， ， 在中，， ， 是的外角， ， 是等腰直角三角形， 又， ， ②作图如下： 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质以及已知条件证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质和判定可得平分、，则，进而得到垂直平分可得，进而得到，再根据角的和差可得，然后根据全等三角形的性质以及等量代换可得，最后根据等角对等边即可证明； （3）①由折叠的性质可得，再证明可得，进而得到，再根据三角形外角的性质可得是等腰直角三角形，即，再根据全等三角形的性质以及等量代换即可证明结论；②先根据题意作图，如图：当时，过点P作于点H，易得，设长为m，则，根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、；由折叠的性质可得是等边三角形，进而得到；再在中运用勾股定理得，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略 ②如图：当时，过点P作于点H， ， ， ， 设长为m，则， 在中，，， ， 将沿着EN折叠得到， ， ，， 是等边三角形， 高高 的面积， ，解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 是等腰直角三角形 的面积． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 23. 定义：为函数的“基因数”，若点（k为常数且）在这个函数F的图象上，则点A称为这个函数F的k倍值点．例如的“基因数”是，点是函数的2倍值点，的“基因数”是，点是函数的倍值点． （1）若函数的“基因数”是，则函数向上平移1个单位，得到函数，则函数的“基因数”是________； （2）若函数的“基因数”是，将函数的图象沿x轴翻折，得到的函数的图象，则函数的“基因数”是________； （3）若函数的“基因数”是，且图象过点，点，点，当时，求n的取值范围； （4）设函数的“基因数”是，点A是在第一象限的1倍值点，作射线，在射线上取一点，，过点B作y轴的平行线交的图象于点C，过点C作x轴的平行线交的图象于点D，以，为边作矩形． ①求矩形周长最大时点C的坐标； ②在①的结论下，矩形不动，将的图象沿方向平移个单位得到，在上恰存在的k倍值点M，使直线将矩形的面积均分，请直接写出点M的横坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4）①；②4或 【解析】 【分析】本 （1）根据新定义的“基因数”得到函数的解析式，再根据一次函数平移规律“左加右减，上加下减”求得函数的解析式，即可由新定义求解； （2）行銢出函数的解析式，再根据翻折的性质得出函数的解析式，即可由新定义求解； （3）先求得函数的解析式为：，从而求得函数的对称轴为直线，，则，得到，把代入，得，求得，即可求解； （4）①先求得，再用待定系数法求得直线的解析式为，从而可求得，，，则矩形周长，利用二次函数的最值即可求解； ②设点，根据直线将矩形的面积均分，得到直线经过矩形对角线的中点，利用待定系数法求得直线直线的解析式为，把代入得，即可求得，然后根据将的图象沿方向平移个单位得到，得到的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，从而得到函数的解析式为， 把代入求出t值即可． 【小问1详解】 解：∵函数的“基因数”是， ∴函数的解析式为：， ∵函数向上平移1个单位，得到函数， ∴函数的解析式为：， ∴函数的“基因数”是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵函数的“基因数”是， ∴函数的解析式为：， ∴函数顶点坐标为， ∵将函数的图象沿x轴翻折，得到的函数的图象， ∴函数的解析式为： ∴函数的“基因数”是， 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵函数的“基因数”是， ∴函数的解析式为：， ∵图象过点，点， ∴函数的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：①∵函数的“基因数”是， ∴函数的解析式为：， ∴函数的对称轴为直线， ∵点A是在第一象限的1倍值点， ∴设，代入，得 解得：，（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得 解得：， ∴直线的解析式为 ∵点在射线上， ∴ ∴ ∵轴， ∴点C横坐标为p， ∴， ∴ ∵轴 ∴点C与点D关于直线， ∴ ∴ ∴矩形周长 ∵， ∴当时，矩形周长有最大值， ∴． ②设点， ∵直线将矩形的面积均分， ∴直线经过矩形对角线的中点， 由①知， ∴ ， ∴的中点坐标为 ∴设直线直线的解析式为， 把代入得， ∴ ∴直线直线的解析式为， 把代入得 解得： ∴ ∵将的图象沿方向平移个单位得到， ∴的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到， ∴函数的解析式为， 把代入得 化简整理得 解得：，， ∴点M的横坐标为4或． 【点睛】本题考查新定义，待定系数法求函数解析式，一次函数图象平移，二次函数的图象性质，二次函数图象的翻折，矩形的性质，综合性较强，难度较大，属中考试压轴题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $