江苏省扬州市邗江区七校（邗江一中、瓜州、公道、江都中学、南师大二附中等）2024-2025学年高二下学期5月联考数学模拟练习卷

2024-2025学年扬州市邗江区高二数学下学期5月份七校联考模拟练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：导数、空间向量与立体几何、计数原理、概率。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】因为，所以，所以或（舍去）． 故选：B. 2．已知，向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得，， 则，． 故选:A． 3．已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占，若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，从这个班级的学生中任意抽取一人， 记事件 “抽到的学生喜欢科幻小说”， “抽到的学生喜欢推理小说”， 则，， 故． 故选：D． 4．已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由分布列的性质可得，解得， 所以， 故. 故选：D. 5．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由求导可得， 根据题意，在区间上单调递增，则在上恒成立， 即，分离参数可得， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，故实数的取值范围是. 故选：D. 6．在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2025 【答案】A 【详解】因为 所以被10除得的余数为0， 而2020，2021，2022，2025被10除得的余数分别是0，1，2，5， 故的值可以是2020. 故选：A. 8．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则，即， ，则， 设，则， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得，即； ，则，即， 综上所述，， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，令，得， 两边同乘以，得，故A正确； 对于B，令，得， 令，得， 两式相减，得， 即，故B正确； 对于C，两边同时求导数， 得， 再令，得，故C错误； 对于D，，所以， 同理， 所以，故D正确. 故选:ABD. 10．设甲袋有3个红球、2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球、3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以，和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A． B． C． D．与相互独立 【答案】AC 【详解】， 选项A正确. ， 故选项C正确。 计算 ： ，选项B错误. 又，选项D错误. 故选：AC. 11．如图，在正方体中，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的有（    ） A．平面 B．存在点，满足平面 C．当且仅当时，取得最小值 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ACD 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，， 则， ， 对于A，， 则， 所以， 又平面， 所以平面，故A正确； 对于B，， 设平面的法向量为， 则有， 取，则， 若平面，则，解得， 又因为， 所以不存在点，满足平面，故B错误； 对于C，， 则， 可看作点到点与到点的距离之和， 点关于轴的对称点， 则当三点共线时，点到点与到点的距离之和最小， 即点到点与到点的距离之和最小， ， 因为，所以，解得， 所以当时，取得最小值， 此时，即，故C正确； 对于D，， 设平面的法向量为， 则有，取，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 令，则， 则， 当，即，即时，取得最大值，最大值为，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 【答案】/0.4 【详解】∵， 由空间向量共面定理得：， 故答案为：. 13．设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则 . 【答案】/0.3 【详解】由条件概率的公式：， 计算和事件的概率：， 可得. 故答案为：. 14．英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有 种（用数字作答）. 【答案】216 【详解】如图，将6个行政区标上序号， 区域1有4种颜色可选，共4种方法； 区域2与区域1相邻，不能与区域1同色，有3种颜色可选，共3种方法； 区域3与区域1、2相邻，不能与区域1、2同色，有2种颜色可选，共2种方法； ①若区域4与区域2同色，有1种颜色可选，此时区域5与区域2不同色且有2种涂色方法，此时区域6有2种涂色方法； ②若区域4与区域2不同色，有1种颜色可选，此时若区域5与区域2同色，有1种涂色方法，区域6有3种涂色方法， 若区域5与区域2不同色，有1种涂色方法，区域6有2种涂色方法， 所以一共有种方法. 故答案为：216. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知二项式的展开式中，各项二项式系数之和为64. (1)求的值； (2)求展开式中所有项的系数和； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)6(2)1(3) 【详解】（1）由题意可得解得 （2）取，故展开式中所有项的系数和， （3）由于，故展开式中二项式系数最大为， 故二项式系数最大的项为 ． 16．将6个不同的小球放入编号分别为的三个不同盒子.（过程要用文字简要说明，结果用数字作答） (1)求共有多少种不同放法； (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法； (3)当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法； (4)若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？ 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）根据分步乘法计数原理得共有种不同放法. （2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，1号盒1个球，2号盒2个球，3号盒3个球，共有种不同放法. （3）当每个盒子至少有1个小球时，共有三类： 第一类，一盒4个球，其余两盒各1个球，有种； 第二类，一盒1个球，一盒2个球，一盒3个球，有种； 第三类，每盒2个球，有种. 综上得，共有种不同放法. （4）方法一：在2号盒子里放入1个小球，在3号盒子里放入2个小球， 然后在剩余的6个相同的小球中间5个空插入2个挡板，共有种不同放法. 方法二：在号盒子里首先分别放入个球， 然后剩下的3个小球和两个挡板一起排队，5个位置中给挡板选两个位置，共有种不同放法. 17．在2024年巴黎奥运会上，我国乒乓球运动员取得“五连冠”的优异成绩，激发了全民“国球热”.某社区举办了乒乓球比赛，甲、乙两人争夺冠亚军，采用五局三胜制（每局比赛没有平局），比赛共有1000元奖金，约定如下规则：若比赛3局决出胜负，冠军获得900元奖金，亚军获得100元奖金；若比赛4局决出胜负，冠军获得700元奖金，亚军获得300元奖金；若比赛5局决出胜负，冠军获得600元奖金，亚军获得400元奖金，已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为. (1)求比赛4局决出胜负的概率； (2)求甲获得的奖金X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）比赛4局决出胜负有两种情况：前3局甲获胜2局，输1局，第4局甲获胜， 或前3局乙获胜2局，输1局，第4局乙获胜，       若甲获胜，则；       若乙获胜，则，       故比赛4局决出胜负的概率为. （2）由题意可知，X的取值可能为900，700，600，400，300，100，    ，， ，， ，，     所以X的分布列为： X 900 700 600 400 300 100 P 所以. 18．如图，在四棱锥中．底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若，且点到平面的距离为，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)；(3)． 【详解】（1）如图，连结，交于点，连结， 因为点是的中点，底面为矩形， 所以点是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）如图，以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，， 则，， 设平面的法向量， 则，令，，， 所以平面的法向量， 且平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. （3）由（2）可得，，，， ，，平面的法向量， 故， 设点与平面的距离为， 则，解得． 19．已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设，讨论函数的零点个数； (3)证明：，． 【答案】(1)递增区间是，递减区间是； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，则函数存在唯一零点； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当时，，当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大， 当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，函数有2个零点； 当时，，函数存在唯一零点； 当时，，函数无零点，即零点个数为0， 所以当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有0个零点. （3）由（2）知，当时，，当且仅当时取等号， 取，则， 因此， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024-2025学年高二数学下学期 5月份月考 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 19．（17分） 2024-2025学年扬州市邗江区高二数学下学期5月份七校联考模拟练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：导数、空间向量与立体几何、计数原理、概率。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知，向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占，若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2025 8．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．设甲袋有3个红球、2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球、3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以，和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A． B． C． D．与相互独立 11．如图，在正方体中，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的有（    ） A．平面 B．存在点，满足平面 C．当且仅当时，取得最小值 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 13．设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则 . 14．英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有 种（用数字作答）. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知二项式的展开式中，各项二项式系数之和为64. (1)求的值； (2)求展开式中所有项的系数和； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 16．将6个不同的小球放入编号分别为的三个不同盒子.（过程要用文字简要说明，结果用数字作答） (1)求共有多少种不同放法； (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法； (3)当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法； (4)若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？ 17．在2024年巴黎奥运会上，我国乒乓球运动员取得“五连冠”的优异成绩，激发了全民“国球热”.某社区举办了乒乓球比赛，甲、乙两人争夺冠亚军，采用五局三胜制（每局比赛没有平局），比赛共有1000元奖金，约定如下规则：若比赛3局决出胜负，冠军获得900元奖金，亚军获得100元奖金；若比赛4局决出胜负，冠军获得700元奖金，亚军获得300元奖金；若比赛5局决出胜负，冠军获得600元奖金，亚军获得400元奖金，已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为. (1)求比赛4局决出胜负的概率； (2)求甲获得的奖金X的分布列与数学期望. 18．如图，在四棱锥中．底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若，且点到平面的距离为，求的值． 19．已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设，讨论函数的零点个数； (3)证明：，． 学科网（北京）股份有限公司 $$