精品解析：福建省莆田第二十五中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1. 函数的导数（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，若向量共面，则实数的值为（ ） A B. C. D. 3. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（ ） A. B. C. D. 5. A、B是一个随机试验中两个事件，且，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 设，则随机变量的分布列是： 则当在内增大时 A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 7. 设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 对任意正数， D. 对任意正数， 8. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共有3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分.） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若空间向量、、，满足，，则 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 若、是两个单位向量，则 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有两个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 当时，点为曲线的对称中心 D. 当时，区间上单调递增 11. 如图，正方体，下列说法正确是（ ） A. 点P在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变 B. 点P在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变 C. 点P在直线上运动时，二面角的大小不变 D. 点P在直线上运动时，三棱锥的体积不变 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，则点C到直线距离为_____. 13. 如图，将一张8cm×5cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的容积最大为_______. 14. 下列结论中，正确的有______. ①若随机变量，则 ②若随机变量Y服从两点分布，且，则 ③若随机变量Z的分布列为，，则 ④若随机变量，则T的分布列中最大的只有 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值． 16. 某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同． （1）求该考生恰好选到2所985高校的概率； （2）若该考生选到985高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望． 17. 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面，是的中点． （1）证明：直线平面； （2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值． 18. 某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 （1）经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; （3）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 19. 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1. 函数的导数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数公式计算即可得. 【详解】，则. 故选：A. 2. 已知空间向量，若向量共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理求解. 【详解】显然不共线，故可设，即， 从而，，，故. 故选：A. 3. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可知函数为奇函数，且在上不单调，然后利用排除法分析判断即可 【详解】由图象知函数图象关于原点对称，则函数是奇函数， 对于A，定义域为，因为，所以此函数是偶函数，不满足条件，排除A， 对于D，定义域为，因为，且， 所以此函数是非奇非偶函数，不满足条件，排除D， 对于C，因为和在上为增函数，所以在上为增函数，不满足条件，排除C， 对于B，定义域为，因为，所以此函数是奇函数，当时，，则，所以当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减； 又因为，且时，，故B选项符合题意. 故选：B． 4. 如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的数乘及加、减运算求解即可. 【详解】解：由题意可得： . 故选：A. 5. A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 6. 设，则随机变量的分布列是： 则当内增大时 A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 【答案】D 【解析】 【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得，则 ，则当在内增大时，先减小后增大. 方法2：则 故选D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式. 7. 设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确是（ ） A. B. C. 对任意正数， D. 对任意正数， 【答案】C 【解析】 【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得，可判断AB，由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD. 【详解】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 8. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式求的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 不等式化为：． 令，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当，且时，， 画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 且在的切线方程为，恰好过,故正整数解为． 故， 即． 故. 故选：C. 二、多选题（本题共有3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分.） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若空间向量、、，满足，，则 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 若、是两个单位向量，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量相等的传递性可判断A选项；利用线面位置关系与空间向量的关系可判断B选项；利用空间直角坐标系中点的对称性可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，若空间向量、、，满足，，则，A对； 对于B选项，因为，则，所以，或，B错； 对于C选项，点关于平面对称的点的坐标是，C错； 对于D选项，若、是两个单位向量，则，D对. 故选：AD. 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有两个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 当时，点为曲线的对称中心 D. 当时，在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据因式分解可得函数的零点，结合导函数的图像去研究函数的极大值、对称中心与单调性. 【详解】已知，所以, 当时，，方程有两个根，所以正确， 当时，的解集为，的解集为， 所以在上单调减，在上单调增，所以在处取极小值，所以错误, 当时，， 所以关于中心对称，所以正确， 当时，的解集为，而,所以在上单调递增，所以正确. 故选： 11. 如图，正方体，下列说法正确的是（ ） A. 点P在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变 B. 点P在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变 C. 点P在直线上运动时，二面角的大小不变 D. 点P在直线上运动时，三棱锥的体积不变 【答案】CD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法对各项内容逐一验证即可. 【详解】如图，以为原点，建立如图空间直角坐标系，不妨设. 则,，，，，，. 所以，，，， 因点在直线上运动，那么，则. 则； 对于A：因为不是定值，故A错误； 对于B：因为，，即，， 又，平面，所以平面， 所以为平面的法向量， 所以不是定值，故B错误； 对于C：设平面的法向量为. 则，令，则. 又平面的法向量为， 设二面角为，则，为定值， 所以二面角的大小不随点在上的运动而改变，故C正确； 对于D：因为，因为的面积为定值， 根据正方体的性质可知，平面，平面，所以平面. 所以当点在直线上运动时，点到平面的距离， 即三棱锥的高不变，所以三棱锥的体积不变，故D正确. 故选：CD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，则点C到直线的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出与同方向的单位向量，再求，代入点到直线的距离公式计算即得. 【详解】因为，，， 所以，， 则与同方向的单位向量为， 又，则，， 故点到直线的距离为：. 故答案为：. 13. 如图，将一张8cm×5cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的容积最大为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到长方体容积与小正方形边长的函数关系，通过求导得到最大值. 【详解】设剪下的小正方形的边长为，则折成的长方体以长为，宽为的长方形为底，以为高， 所以长方体容积，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 故答案为：. 14. 下列结论中，正确的有______. ①若随机变量，则 ②若随机变量Y服从两点分布，且，则 ③若随机变量Z的分布列为，，则 ④若随机变量，则T分布列中最大的只有 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①，由正态分布的对称性可知；对于②，根据两点分布得到，故；对于③，根据概率之和为1得到方程，求出；对于④，根据，得到或3，④错误. 【详解】①若随机变量，对称轴为，由正态分布的对称性可知，①正确； ②若随机变量Y服从两点分布，， 即分布列为 0 1 故， 则，②正确； ③若随机变量Z的分布列为，， 故，解得，③正确； ④若随机变量，设， 即， 解得，故， 又，故或3， 则T的分布列中最大的有两项，或，④错误. 故答案为：①②③ 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （2）利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 因为是正方形，所以． 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 所以、、、、． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值是． 【小问2详解】 由（1）知，，． 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，则， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 16. 某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同． （1）求该考生恰好选到2所985高校的概率； （2）若该考生选到985高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先求出从10所高校中任取4所的总数，再求出恰有2所985高校的取法，再用古典概型的概率公式计算即可； （2）先分析出该考生选到985高校的个数取值为0，1，2，3，再利用超几何分布计算出取不同值时的概率，进而列出分布列，求出数学期望. 小问1详解】 从10所高校中，任取4所，共有种取法， 恰有2所985高校的取法为：， 该考生恰好选到2所985高校的概率为； 【小问2详解】 设为该考生选到985高校的个数，则的取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 则 0 1 2 3 . 17. 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面，是的中点． （1）证明：直线平面； （2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1） 取的中点，连结，，由题意证得∥，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：，，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值为． 试题解析：（1）取中点，连结，． 因为为的中点，所以,,由得，又 所以．四边形为平行四边形， ． 又，，故 （2） 由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 则，，，， ,则 因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以 ， 即（x-1）²+y²-z²=0 又M在棱PC上,设 由①，②得 所以M，从而 设是平面ABM的法向量，则 所以可取.于是 因此二面角M-AB-D的余弦值为 点睛:（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算． （2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等，故有|cos θ|＝|cos<m，n>|=．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 18. 某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 （1）经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; （3）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【答案】（1） （2）的分布列见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的性质，进而可得； （2）以频率估计概率得随机抽取1个直径在区间内的概率为，由题意满足二项分布，根据二项分布的概率公式和期望公式可得； （3）根据条件概率和全概率公式可得. 【小问1详解】 由题意， 得. 【小问2详解】 由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为， 故由题意满足二项分布， 故，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为 【小问3详解】 设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品” 则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”， 由题意，，，， 则， ， 故， 故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为. 19. 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 【答案】（1） （2）证明见的解析 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. 【小问1详解】 [方法一]：常规求导 的定义域为，则 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 [方法二]：同构处理 由得： 令，则即 令，则 故在区间上是增函数 故，即 所以的取值范围为 【小问2详解】 [方法一]：构造函数 由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证,即证 因为,即证 又因为,故只需证 即证 即证 下面证明时， 设， 则 设 所以,而 所以,所以 所以在单调递增 即,所以 令 所以在单调递减 即所以； 综上, ,所以. [方法二]：对数平均不等式 由题意得： 令，则， 所以在上单调递增，故只有1个解 又因为有两个零点，故 两边取对数得：，即 又因为，故，即 下证 因为 不妨设，则只需证 构造，则 故在上单调递减 故，即得证 【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式 这个函数经常出现，需要掌握 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $