精品解析：广东省多校2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

2024~2025学年度高一下学期期中考试 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：必修第一册占30%，必修第二册至8.4节结束占70%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据及平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的代数形式的乘法运算化简，求出其在复平面内对应点的坐标，即可得到答案． 【详解】因为, 复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理，即可求得答案. 【详解】在中，， 则， 故选：C 4. 已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（ ） A. l至多与m，n中的一条相交 B. l与m，n均相交 C. l与m，n均平行 D. l至少与m，n中的一条相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线之间的位置关系分析即可. 【详解】由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线l与m，n不能同时平行， 若直线l与m，n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾， 所以l与m，n中的一条相交或与m，n都相交. 故选：D. 5. 如图所示，等腰梯形为水平放置的平面图形根据斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直观图画出原图，求出相关线段长度，由此计算出的面积. 【详解】在直观图中，，，，则， 所以，， 所以平面图形的面积为. 故选：D 6. 已知函数，若对任意在区间上的值域均为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式化简，即可求出函数的值域，可知区间长度必须大于一个周期，从而建立不等式，即可求得的范围. 【详解】因为 ， 又，所以， 因为对任意在区间上的值域均为， 所以区间长度必须大于一个周期，即，解得， 即取值范围为. 故选：A 7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，在点D处测得塔顶A的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 【答案】B 【解析】 【分析】设，则有，，中用余弦定理求解. 【详解】设，由，，，， 知，． 在中，因，米， 由余弦定理，得，解得米． 故选：B． 8. 已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性结合解析式判断其单调性，将原问题转化为关于x的不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由题意知是定义在R上的奇函数，且时，， 此时函数在单调递增， 故时，，则，，此时函数在单调递增， 且，故，在R上单调递增； ，即，即， 即，即， 故对任意，都有，即恒成立， 由此可得，解得， 即实数m的取值范围为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则为共轭复数 D. 若，则的最大值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，，根据共轭复数概念、复数乘法、复数模的坐标表示逐项判断AB；根据共轭复数的概念可判断C；根据复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A，设，则，A正确； 对于B，设，故 ， 而，B正确； 对于C，，因为， 所以，即，但a与m不一定相等，C错误； 对于D，若，则复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与点的距离，则距离的最大值为，D正确． 故选：ABD 10. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A，由题可得，再利用乘“1”法及基本不等式判断B，结合对数的运算性质及A判断C，求出的最大值，即可判断D. 【详解】对于A：因为，，，所以，即， 解得（当时取等号），故A正确； 对于B：由，得， 所以 （当，时取等号），故B正确； 对于C：（当时取等号），故C错误； 因为，又， 所以，所以（当时取等号），故D错误． 故选：AB 11. 在锐角中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件利用正弦定理将边化角，利用三角形内角关系及两角和的正弦公式整理式子得到，判断A选项；根据，即三角形形状得到关于角的不等式，解不等式即可确定角的取值范围，即可判断B；根据化为，利用基本不等式即可求最值，即可判断C；由已知条件将边化成角，再根据角的范围即可求出的范围，即可判断D. 【详解】对于A：因为，由正弦定理可得， 又， 所以，即， 又，， 所以，故，则，故A正确； 对于B：由，得，又为锐角三角形， 所以，解得，故B错误； 对于C： ， （当且仅当，即时取等号），故C正确； 对于D：由，得，由正弦定理得： 即， 所以 . 又，所以，故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘方及除法运算法则计算可得. 【详解】. 故答案为： 13. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的侧面积约为__________. 【答案】 【解析】 【分析】把石瓢壶的壶体近似看成一个圆台，可根据条件求出母线长，利用圆台侧面积公式计算即可. 【详解】根据题意，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图为该圆台的轴截面， 上底面半径为下底面半径高 则该圆台的母线长为 故圆台的侧面积 故答案为：. 14. 已知为内切圆的圆心，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，则，代入等式可证三点共线.设 ，由直角三角形的性质以及三角形相似可求出各边长，从而求出比例关系. 【详解】如图，设的中点，圆与分别相切于点，由为的中点，知. 又，所以，即.则三点共线. 因为为的内切圆的圆心，所以. 不妨设，则. 在中，. 由，知，即，解得，且， 又，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求出，根据集合的并集定义，即可求得答案； （2）由题意可判断出A为的真子集，列出相应不等式，即可得答案. 【小问1详解】 当时，或， 则，故； 【小问2详解】 ，且“”是“”的充分不必要条件， 故A为的真子集，， 故，结合，解得， 即实数a的取值范围. 16. 在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线旋转一圈． （1）说明所得几何体的结构特征； （2）求所得几何体表面积和体积． 【答案】（1）该几何体为上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体 （2）表面积；体积为 【解析】 【分析】（1）由旋转体的结构特征分析， （2）结合图中的数据求，. 【小问1详解】 该几何体为上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体． 【小问2详解】 由图中的数据可知圆锥的底面半径为2，母线长为4，高为，圆柱的底面半径为2，高为2，球的半径为2， 所以 ， 该几何体的体积为： ． 17. 已知在锐角中，内角的对边分别是． （1）求； （2）若外接圆半径，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用正弦定理将进行边角互换，，再由为锐角进行化简，得到，最后由为锐角得到答案； （2）先由正弦定理与的值得到，，，再由，得到，最后用余弦定理得到的值，即可得到周长. 【小问1详解】 由及正弦定理，可得， 又，所以，即， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，以及可得 ，，，， 又因为，所以. 由余弦定理得， 即，得， 故周长为. 18. 若函数满足，且，则称函数为“函数”．已知函数为“函数”． （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，求m的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得“函数”是周期为的函数，且为其的一条对称轴，结合三角函数的周期及对称性即可求解； （2）由（1）知，利用三角函数的性质解不等式即可； （3）根据三角函数的图象变换及奇偶性即可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以是周期为的周期函数， 由，得， 所以是的一条对称轴， 因为函数为“函数”，所以， 又是的一条对称轴，所以，即. 因为，所以， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知， 则，即，即， 所以， 解得， 即不等式的解集为. 【小问3详解】 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 得到函数， 再将所得图象向右平移个单位长度， 得到， 因为的图象关于原点对称， 所以，解得. 因为，所以时，取最小值，最小值为. 19. 如图，在直角梯形中，，，，，，，分别是线段和上的动点，交于点，且，，. （1）若，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律可得，结合数量积的定义运算求解； （2）根据题意整理可得，，结合平面向量基本定理运算求解； （3）整理可得，模长关系结合数量积运算律运算求解. 【小问1详解】 在直角梯形中，易得，， 因为， 可得，所以. 小问2详解】 因为 ， 当时，， 设，， 则， 又因为， 且，不共线，则，解得， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以， ， 由题意知，， 所以当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度高一下学期期中考试 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：必修第一册占30%，必修第二册至8.4节结束占70%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，内角所对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（ ） A. l至多与m，n中的一条相交 B. l与m，n均相交 C. l与m，n均平行 D. l至少与m，n中的一条相交 5. 如图所示，等腰梯形为水平放置的平面图形根据斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若对任意在区间上值域均为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，在点D处测得塔顶A的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 8. 已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则为共轭复数 D. 若，则的最大值为6 10. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 在锐角中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _______． 13. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的侧面积约为__________. 14. 已知为内切圆的圆心，且，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16. 在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线旋转一圈． （1）说明所得几何体的结构特征； （2）求所得几何体的表面积和体积． 17. 已知在锐角中，内角的对边分别是． （1）求； （2）若外接圆半径，求的周长． 18. 若函数满足，且，则称函数为“函数”．已知函数为“函数”． （1）求函数的解析式； （2）求不等式解集； （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，求m的最小值． 19. 如图，在直角梯形中，，，，，，，分别是线段和上的动点，交于点，且，，. （1）若，求的值； （2）当时，求的值； （3）求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$