精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区新华、古城九年制学校中考二模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级第二次模拟考试试卷 数学 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 若方程有实数根，则值可以是（　　） A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 3. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 4. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为，以、为边作矩形；动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动；当移动时间为8秒时，的值（ ） A. 30 B. C. 60 D. 120 5. 如图，为直径，为的弦，连接，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号，，，的小球（除元素符号外无其他差别），从袋子中随机摸出两个小球，则所选小球含“”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数与一次函数的图象交于点，则的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 8. 如图，在菱形中，E是边上的点，连接交于点F，若，，则的长是（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 9. 如图，分别与圆相切于点，射线与的延长线相交于点，与圆相交于点，连接和，若，，则圆的半径是（ ） A. B. C. D. 10. 下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其俯视图为（ ） A B. C. D. 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 12. 一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是______． 13. 已知等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点重合，．连接，将绕点在平面内旋转，旋转后的三角形为，若点是的中点，当三点共线时，线段的长为_____． 14. 如图所示，A，B是上的两点．，C是上一点，则的度数为________． 15. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是________． 16. 如图，矩形中，，，E为边上一点，且，将沿直线翻折后，点B落在点F处，角平分线交线段，分别于点H，G，则线段的长为______． 17. 一滑雪爱好者沿着坡度为的斜坡滑行了450米，则他下降的高度为________米． 18. 一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为________．（结果保留） 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）画出关于轴对称的图形； （3）画出绕点顺时针旋转后的图形． 20. （1）化简； （2）计算：． 21. 商场某种商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件；当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件，据此规律请回答： （1）当每件商品售价定为55元时，商场获得的日盈利是多少？ （2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，让顾客能得到实惠，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？ 22. 已知点是菱形边的中点，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，使点A的对应点E落在线段上，边经过点．若，求的长． 23. 如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接．点为上一点，平分，且，求的度数． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在轴上有点，且点坐标为，若的面积小于10，求的取值范围． 25. 如图，为的直径，为上一点，连接，，过点的直线与相切，与的延长线交于点，点为上一点，且，连接并延长交直线于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 26. 如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行检测作业，在距离试验田（为水平状态）高度为的点处测得边界处的俯角为，无人机垂直下降至处，又测得边界处俯角为．已知点，，，在同一平面内，求试验田边界，之间的距离（参考数据：，，，，结果精确到）． 27. 如图，抛物线 经过点，与轴相交于，两点， （1）抛物线的函数表达式； （2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标； （3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级第二次模拟考试试卷 数学 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 若方程有实数根，则的值可以是（　　） A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程有实数解得到，代入解不等式即可． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， ∴， 故A符合题意； 故选：A． 3. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题，根据二次函数的对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合图象开口向下，与轴交于正半轴，得，再根据对称轴为直线，则，故得，再得二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为，则，结合二次函数的对称性得出关于直线对称的点为，根据二次函数的图象开口向下，则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵二次函数的图象与x轴交于点，顶点为， ∴对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， 则把代入，得， 故②符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 则， ∴， 则， 故③不符合题意； 当时，， ∴二次函数与轴的交点坐标为 ∵二次函数的对称轴为直线， ∴关于直线对称的点为 ∵二次函数的图象开口向下， ∴越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∵， 则． 故④符合题意； 故选：B． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以、为边作矩形；动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动；当移动时间为8秒时，的值（ ） A. 30 B. C. 60 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，二次根式的乘法，利用数形结合的是思想解决问题是关键．连接、，先根据坐标求出，由矩形的性质可知，，当移动时间为8秒时，，，进而得到点、的坐标，从而求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 以、为边作矩形， ，， 当移动时间为8秒时，，， ， ，， ， ， 故选：D． 5. 如图，为的直径，为的弦，连接，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，由等边对等角得，则有，所以，最后通过圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号，，，的小球（除元素符号外无其他差别），从袋子中随机摸出两个小球，则所选小球含“”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： H O C N H O C N 共有种等可能出现的结果，所选小球含“”的有6种， 所选小球含“”的概率为， 故选：D． 7. 已知反比例函数与一次函数的图象交于点，则的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例数与一次函数交点问题，先求得，进而根据函数图象，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴， 解得：， 故点，代入一次函数，解得：，一次函数， 函数图象如图， ∴的解集为， 故选：A． 8. 如图，在菱形中，E是边上的点，连接交于点F，若，，则的长是（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定， 根据菱形的性质得，再说明，可得，然后代入数值可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，分别与圆相切于点，射线与的延长线相交于点，与圆相交于点，连接和，若，，则圆的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理及切线的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等，连接，由切线长定理及切线的性质得，，，进而由可设，，即得，，再证明，可得，即得到，利用勾股定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵分别与圆相切于点，是半径， ∴，，， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴圆的半径为， 故选：． 10. 下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从上往下看到的图形是俯视图，且看不到的轮廓线画为虚线可得答案． 【详解】解：由图知，几何体俯视图为 ， 故选：D． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的计算是关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，即可求解． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 12. 一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由题意得，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵, ∴当时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 13. 已知等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点重合，．连接，将绕点在平面内旋转，旋转后的三角形为，若点是的中点，当三点共线时，线段的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分点在之间和点在之间两种情况，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】解：如图①，当点在之间时，延长到点G，使，连接，过点A作于点H， 由旋转可得，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， 如图②，当点在之间时，延长到点G，使，连接，过点A作于点H， 由旋转可得，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， 综上可知，为或， 故答案为： 或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 14. 如图所示，A，B是上的两点．，C是上一点，则的度数为________． 【答案】##125度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，在优弧上取一点D，连接，先由圆周角定理得，再由圆内接四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：在优弧上取一点D，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 由可得在各象限内y随x增大而减小，由可得点A在第三象限，点B在第一象限，进而求解． 【详解】解：∵， ∴图象在一，三象限，且在每一象限内，y随x增大而减小， ∵，， ∴点A在第三象限，点B在第一象限， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 如图，矩形中，，，E为边上一点，且，将沿直线翻折后，点B落在点F处，的角平分线交线段，分别于点H，G，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形折叠问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点F作交于M，作交，交于Q，可证得四边形是矩形，得到，，，再证明，得出，则，，设，，则，，，继而可得，即 ，，解得x、y值，从而得到，，，，然后证明，得到，即，求解即可． 【详解】解：过点F作交于M，作交，交于Q，如图， ∵矩形ABCD ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可得：，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，， 设，，则，，， ∵ ∴，即 ∵ ∴ ∴ 解得：，（舍去）， ∴， ∴，，， ∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 17. 一滑雪爱好者沿着坡度为的斜坡滑行了450米，则他下降的高度为________米． 【答案】225 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及坡比，熟练掌握勾股定理及坡比是解题的关键；设他下降的高度为x米，则有他滑行的水平距离为米，然后问题可求解． 【详解】解：设他下降的高度为x米， ∵斜坡的坡度为， ∴他滑行的水平距离为米， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， ∴他下降的高度为225米， 故答案为：225． 18. 一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算，根据已知得母线长，再利用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积，相加即可得出该几何体的全面积． 【详解】解：由图示可知，该几何体是圆锥，圆锥的高为，底面圆的直径为， ∴圆锥的母线为：， ∴圆锥的侧面积为：， 底面圆的面积为：， ∴该几何体的全面积为：． 故答案为． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）画出关于轴对称的图形； （3）画出绕点顺时针旋转后的图形． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图——轴对称变换、旋转变换，熟练掌握旋转和轴对称的性质是解题的关键． （1）在平面直角坐标系中分别画出，，，依次连接即可； （2）根据轴对称的性质，分别画出点，，关于轴对称的对应点，，，依次连接即可； （3）根据旋转的性质，分别连接点与点，，，然后顺时针旋转，画出对应点，，，依次连接即可． 【小问1详解】 解：根据题意，如下图所示即为所求： 【小问2详解】 解：分别画出点，，关于轴对称的对应点，，，依次连接， 如下图所示即为所求： 【小问3详解】 解：分别连接点与点，，，然后顺时针旋转，画出对应点，，，依次连接，如下图所示即为所求： 20. （1）化简； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）6． 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简，负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，二次根式的性质以及特殊角的三角函数值计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据分式的混合运算法则把原式化简； （2）利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，二次根式的性质以及特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式． ； （2）解： ． 21. 商场某种商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件；当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件，据此规律请回答： （1）当每件商品售价定为55元时，商场获得的日盈利是多少？ （2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，让顾客能得到实惠，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？ 【答案】（1）6750元； （2）每件商品售价为60元时，商场日盈利达到8000元． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程和有理数四则混合运算的应用，根据题意正确列出方程是关键． （1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利； （2）设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当每件商品售价为55元时，比每件商品售价50元高出5元， 即（元）， 则每天可销售商品450件，即（件）， 商场可获日盈利为（元）． 答：每件商品售价定为55元时，商场获得的日盈利是6750元； 【小问2详解】 设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元． 则每件商品比50元高出元，每件可盈利元， 每日销售商品为（件）． 依题意得方程， 整理，得， 解得，． ∵让顾客能得到实惠， ∴ 答：每件商品售价为60元时，商场日盈利达到8000元． 22. 已知点是菱形边的中点，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，使点A的对应点E落在线段上，边经过点．若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据形的性质以及旋转的性质得出根据三角形内角和定理得出，即可得证； (2)根据旋转的性质得出，设，在中， ，根据得出，即可求解. 【详解】解：由旋转可知：， ， ， ， ， 又， ， 设，在中，， ， ， ， ， 长为． 23. 如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接．点为上一点，平分，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形等知识，由角平分定义可设，则，通过圆内接四边形和平角定义可得，则有，，，最后由角度和差求出x的值即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 设，则， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在轴上有点，且点坐标为，若的面积小于10，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2）且 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可； （2）先求出直线与x轴的交点，再根据的面积小于10，列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ， 把代入得：， 把，代入得： ， 解得， ； 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴的交点坐标为， ， 整理得：， 当时，， 解得：， ∴此时； 当时，， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：且． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，以及直线与坐标轴围成的三角形面积，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 25. 如图，为的直径，为上一点，连接，，过点的直线与相切，与的延长线交于点，点为上一点，且，连接并延长交直线于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据等角对等边可得，等量代换可得，根据内错角相等两直线平行，可证，根据切线的定义可知，从而可证； 设的半径为，则，，根据，可证，根据相似三角形的性质可得，解方程即可求出的半径． 【小问1详解】 证明：如下图所示，连接， ， ， ， ， ， ， 为的切线， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 设，则， ， 设的半径为， 则，， ， ， ， ， ，即的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理，解决本题的关键是根据相似三角形的性质找到边之间的关系，根据边之间的关系求出圆的半径． 26. 如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行检测作业，在距离试验田（为水平状态）高度为的点处测得边界处的俯角为，无人机垂直下降至处，又测得边界处俯角为．已知点，，，在同一平面内，求试验田边界，之间的距离（参考数据：，，，，结果精确到）． 【答案】试验田边界，之间的距离约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键．延长交于点，在和在中，利用锐角三角函数定义求得、即可求解． 【详解】解：延长交于点，由题意得： ，，， ， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 试验田边界，之间的距离约为． 27. 如图，抛物线 经过点，与轴相交于，两点， （1）抛物线的函数表达式； （2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标； （3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式. 【答案】（1）；（2）点坐标为点的坐标为；（3）直线的函数表达式为或. 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法确定函数关系式即可求解； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，. 由翻折得，求出CH’的长，可得，求出DH的长，则可得D的坐标； （3）由题意可知为等边三角形，分两种讨论①当点在轴上方时，点在轴上方，连接，，证出，可得垂直平分，点在直线上，可求出直线的函数表达式；②当点在轴下方时，点在轴下方，同理可求出另一条直线解析式. 【详解】（1）由题意，得 解得 抛物线的函数表达式为. （2）抛物线与轴的交点为， ，抛物线的对称轴为直线. 设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，. 上翻折得. 在中，由勾股定理，得.’ 点坐标为，. . 由翻折得. 在中，. 点的坐标为. （3）取（2）中的点，，连接. ，. 为等边三角形， 分类讨论如下： ①当点在轴上方时，点在轴上方. 连接， ，为等边三角形， ，，. ， . , 点在抛物线的对称轴上， ， ， 又， 垂直平分. 由翻折可知垂直平分. 点直线上， 设直线的函数表达式为， 则解得 直线的函数表达式为. ②当点在轴下方时，点在轴下方. ，为等边三角形， ，，. . . . ， . . 设与轴相交于点. 在中，. 点的坐标为， 设直线的函数表达式为， 则解得 直线的函数表达式为. 综上所述，直线的函数表达式为或. 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、三角函数、等边三角形的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $