福建省宁德第一中学2024-2025学年高三下学期月考7数学试卷

试卷第 1 页，共 4 页 宁德一中 2024-2025 学年高三数学月考 7 试卷 学校: 姓名： 班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合  2 3A x x  ，  2 , 1xB y y x   ，则 A B （ ） A． 3,2   B． 3, 3     C．  0,2 D． 0, 3 2．已知1 2i 是关于 x的方程  2 0 ,x ax b a b   R 的一个根，则 ia b （ ） A．2 B．3 C．5 D． 29 3．设等比数列 na 的前n项和为 nS ，若 6 3 3 2 S S  ，则 9 3 S S （ ） A． 3 2 B． 7 2 C． 7 4 D． 9 4 4．关于 x的不等式 2 2 1 0mx mx   恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A． 1 1 2 m    B． 1 0m   C． 2 1m   D． 1 3 2 m    5．若函数   3 2 1 2 3   f x x x 在  4, 1a a  上有最大值，则实数a的取值范围为（ ） A．  3,0 B．  3,0 C．  3,2 D．  3,2 6．已知函数 2( ) log xf x  ，正实数 ,m n满足m n ，且 ( ) ( )f m f n ，若 ( )f x 在区间 2[ , ]m n 上的最大值为 2，则 ,m n的 值分别为( ) A． 1 , 2 2 B． 1 , 4 2 C． 2 , 2 2 D． 1 , 4 4 7．已知直线 1 : 2 0l x my   与 2 : 6 0l mx y m   交于点E ，点F 是抛物线 2 : 12 x C y  的焦点，则 EF 的最小值为（ ） A．5 B．3 C．2 2 D．2 8．已知函数   ln x f x x  ，关于 x 的不等式    2 0f x tf x  有且只有四个整数解，则实数 t的取值范围是（ ） A． ln 5 ln 2 , 5 2      B． ln 6 ln 5 , 6 5      C． ln 6 ln 5 , 6 5       D． ln 3 ln 4 , 3 4       二、多选题 9．已知数列 na 的前n项和为 nS ，且 4 5a  ， 2 12 3n n n nS S a S    ， 2 2 13n na a  ，则下列说法正确的是（ ） A． na 是等差数列 B． na 是等比数列 C． 6nS S D． 7nS S 10．样本数据 0，2，3，a，b，7 的平均数为 3，方差为 2s ，中位数为m，则（ ） A． 6a b  B． 1 1 2 3a b   C． 2 13 3 s  D． 3m 试卷第 2 页，共 4 页 11．如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，O为正方体的中心，M 为 1DD 的中点，F 为侧面正方形 1 1AA D D内 一动点，且满足 1 //B F 平面 1BC M ，则（ ） A．动点F 的轨迹是一条线段 B．直线 1AB 与 1BC 的夹角为60 C．三棱锥 1F BC M 的体积是随点F 的运动而变化的 D．平面 1AMC 截正方体所得截面的面积为2 6 三、填空题 12．已知函数    sin cos 0f x a x b x ab   的图象关于直线 2π 3 x  对称，则 b a  . 13．在 3 1 3 n x x       的展开式中，偶数项的二项式系数和为 128，则常数项为 . 14．已知函数  f x ，  g x 的定义域为R ，        1 1 2 1f x g x f x g x        ，且  f x 满足    1 1 0f x f x      ，  1 1g   ，则   1 2025 k f k    . 四、解答题 15．在 ABC中，a，b，c分别是内角A ，B ，C的对边，且 (sin sin sin ,sin )m A B C C   ， (sin ,sin sin sin )n B B C A   ， 若 //m n （1）求A 的大小； （2）设 3a  ，S为 ABC的面积，求 3 cos cosS B C 的取值范围. 试卷第 3 页，共 4 页 16．如图，在三棱锥P ABC 中，侧面 PAC 是边长为 2 的正三角形，平面PAC 平面 ABC， 4BC  ， 2 5AB  ， E，F 分别为 PC，PB 的中点，记平面 AEF 与底面 ABC 的交线为 l. (1)证明：直线 l 平面PAC . (2)若在直线 l上存在点 Q，使得直线 PQ 与平面 AEF 所成角为，异面直线 PQ，EF 所成角为 ，且满足 π 2    ， 求 AQ . 17．向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型 DeepSeek（以下简 称 DeepSeek）.为调查 DeepSeek 的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了 150 名视 频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek 的 应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 (1)根据所给数据完成上表，并判断是否有 95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ (2)某公司视频部现有员工 100 人，公司拟开展 DeepSeek 培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀” 的概率分别为 2 1 1 , , 3 2 3 ，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用 DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用 DeepSeek 的概率. （ⅱ）已知开展 DeepSeek 培训前，员工每人每年平均为公司创造利润 6 万元；开展 DeepSeek 培训后，能应用 DeepSeek 的员工每人每年平均为公司创造利润 10 万元；DeepSeek 培训平均每人每年成本为 1 万元.根据公司发展需要，计划先 将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展 DeepSeek 培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工 调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：      2 2 ( ) , n ad bc a b c d a c b d        其中n a b c d    ，  2 3.841 0.05P    ） 试卷第 4 页，共 4 页 18．已知函数 ( ) e sin 1xf x x   . (1)求曲线 ( )y f x 在点 (0,0)处的切线方程； (2)当 ( π,π)x  时，讨论函数 ( )f x 的零点个数； (3)对于 0, ( ) 0x f x mx    恒成立，求实数m的取值范围. 19．已知圆 2 2: ( 5) 4D x y   ，点  5,0 ,F E 是圆D 上任意一点，线段EF 的垂直平分线 l与直线DE 相交于点T ， 当点E 在圆上运动时，设动点T 的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的标准方程； (2)设 ,M N 是曲线C上不同的两点，Q是MN 的中点，直线 ,MN OQ 的斜率分别为 1 2,k k ．证明： 1 2k k 为定值； (3)直线 4 6y x  与曲线的右支交于点 1 1,A B （ 1A 在 1B 的上方），过点 1A 作斜率为 2 的直线 1l ，过点 1B 作斜率为 2 的直 线 1 1,l l 与 1l交于点 1P ；过点 1P 且斜率 4 为的直线与曲线 C 交于点 2 2,A B （ 2A 在 2B 的上方），再过点 2A 作斜率为 2 的直线 2l ，过点 2B 作斜率为 2 的直线 2 2,l l 与 2l交于点 2P ，这样一直操作下去，可以得到一列点   * 1 2, , , 3,nP P P n n N ． 证明： 1 2, , , nP P P 共线． 2024-2025第二学期高三数学月考7答案 DDCABA BB AC ACD ABD12.-5 13.252 14.2026 1.【答案】D 【详解】由题集合A-{≤3}={x-√5≤x≤=「-5，， 集合B={yy=2,x≤={y10<y≤2斗=(0,2]，所以AnB=(0,V5故选：D 2.【答案】D 【详解】将1-2i代入x2+ar+b=0有：(1-2i)+a(1-2i)+b=0, a+b-3=0 「a=-2 化简整理有(a+b-3)-(4+2a)i=0, 4+2a=0,解得b=5,所以+=匠+F=-2+5=四 3.【答案】C【详解】因为{a}为等比数列，所以S,S。-S,S,-S6,…也为等比数列， 7 则有⑤。-S=3-⑤，-5)设S=2,则S,=3,所以5，，故÷=故透：C 2 4.【答案】A 【详解】当m=0时，不等式为-1<0恒成立符合题意： m<0 当m≠0时，关于x的不等式mx2+2x-1<0恒成立，则 △=4m2+4m<0'解得-1<m<0: 综上，关于x的不等式mx2+2mx-1<0恒成立的充要条件为-1<m≤0， 则不等式m+2m-1<0恒成立的一个充分不必要条件-1长m<号故选：A 5.【答案】B【详解】由f'(x)=x2+2x=x(x+2),令f'(x)<0得-2<x<0,令f'(x)>0可得x<-2或x>0, 所以函数在(-∞，-2)和(0.+0)上单调递增，在(-2,0)上单调递减， 所以当x=-2时，了有极大值f(-2)=-号，令f网=号解得x=-2或x=1 而函数f()-+2-2在开区同(a-4a+)上有最大值，故最大值即为极大值。 所以a-4<-2<a+1且a+1≤1，解得-3<a≤0.故选：B logzx,x21 f(x)=logx 6.【答案】A【详解】f(x)=ogd= -og2x,0<x<1 根据f(m)=f(n)(m<m)及f(x)的单调性，知mm=1且0<m<ln>1. 又f(x)在区间[m,n]上的最大值为2， O m'm1 由图象知f()=f儿m).x[㎡，川].故f(m)-2,易得mn=2。 7.【答案】B【详解】由题意可知，直线l恒过点M(-2,0),直线l恒过点N(-6,0), 因为1xm+(-m)x1=0,所以（⊥马，所以点E的轨迹是以线段MN为直径的圆（由直线l,的斜率存在知，不含点N), 此时圆心为P(-40),半径r=MN=2.即点E的轨迹方程为x+4到+户=4（不含点(-6,0）， 答案第1页，共8页 抛物线y后可化为=2y,其焦点坐标为F(0,3引，所以EFL=F印-r=F+3-2=3放选：B。 8【答案】B【详解】由f=四得f)-1 2 当0<x<e时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 当x>e时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 所以当x=e时，f)有最大值，且fe)=fe=, 又当x→+∞时，f(x)→0，且f(x)>0, 当x→0时，f(x)→-∞，f)=0.其图象如图所示： ①当1=0，由f(x)-f(x)>0,得f(x)>0, 即f(x)≠0，则x≠1，此时不等式的整数解有无数多个，不合题意： ②当1<0时，由f(x)-f(x)>0得f(x)>0或f()<t, 当f(x)>0时，x>1,有无数个整数解： 当f(x)<1<0时，其解集为0,1)的子集，不含有整数解：故t<0不合题意： ③当1>0时，由f(x)-f(x)>0得fx)>t或f(x)<0, 当f(x)<0时，其解集为(0，I),不含有整数解： 当f(x)>1时，若不等式有且仅有四个整数解， 又1=号.f=f国=受.f=号.fo=g且>fe)=f4>f6)>fo, 因为f(x)在(0，e)递增，在(e,+∞)递减，所以四个整数解只能为2、3、4、5， 所以f(6)s1<f5),即6s1< 6 5 所以实数1的取值范围为6，三)。故选：B, 65 9.【答案】AC【详解】选项A,B:由Sn2+2Sn+an=3S+得an2+amH+Sn+2Sn+an=3(a1+S) 即a+2+an=2a,所以数列{an}是等差数列，由a=5,42n=2a。-13,得a2=9,4≠a4, 故{a}不是等比数列，故A正确，B错误： 选项C,D:设{an}的公差为d,由a4=5,a=9得2d=-4,即d=-2,所以a,=11,所以an=13-2n, 当1≤ns6时，an>0,当n≥7时，an<0,所以当2≤n≤6时，Sn-Sn1>0, 当n≥7时，Sn-Sn1<0,故S<S2<…<S6>S,>…>Sn>, 故S。是数列Sn}的最大项，故有Sn≤S6,故C正确，D错误. 10.【答案】ACD【详解】对于A,由题意可知0+2+3+a+b+7=18,解得a+b=6,故A正确： 答案第2页，共8页 对于B.因为a+6小-1，所以片方+日动1+台+)2+台别 当a.beR时，有2+之22g=2,当且仅当a=b=3时等号成立，所以。+方之号：故B错误： a b Va b 对于C,方差=9+1+0+(a-3引+b-3驴+16]-26+(a-3列+b-3] 61 6 由a+b=6可知，当a=b=3时，(a-3+b-3}=0,此时2= 3 当a≠b时，(a-3)+(b-3到>0，此时s2>13 综上所诉，≥号，放C正确： 对于D,当a=b=3时，样本数据的中位数m=3,当a≠b时，设a<b,由a+b=6可知，a<3<b, 按照从小到大的顺序排列，中间两个数可以是a,3或2,3，此时中位数m<3,综上所述，中位数m≤3，故D正确 1L.【答案】ABD【详解】对于A,如图：分别取AA,AD,的中点H,G,连接B,G,GH,HB,AD,. D 由正方体的性质可得BH11CM,且B,Hc平面B,GH,CM工平面B,GH, 所以C,M1I平面BGH,同理可得：BC,I1平面BGH, D 且BC,⌒CM=C,BC,CMC平面BCM,所以平面B,GHII平面BC,M, 而RF1I平面BCM,所以BFC平面BGH,所以点F的轨迹为线段GH,故A正确： 对于C,由A可知F的轨迹为线段GH,平面B GH /1平面BCM,所以GH/1平面BC,M, 所以点F到平面BCM的距离为定值，又△BCM的面积为定值， 故三棱锥F-BC,M的体积是定值，不会随点F的运动而变化，故C错误： 对于B,如图：连接AD,BD,因为AB/IDC,所以四边形ABCD为平行四边形， 所以BC //AD,所以∠DAB,或其补角为异面直线AB,与BC的夹角， D 因为ABCD-AB,CD为正方体，AD,BD,AB都为面对角线， 所以AD=BD=AB, 所以△ABD为等边三角形，所以∠D,AB=60,故B正确：对于D,如图： 取BB,的中点P,连接AP,PC,取CC的中点Q,连接D2,PQ, 易知AD/1BC且AD=BC,BCIIPQ且BC=PQ,所以ADI/PQ且AD=PQ,所以四边形APQD为平行四边形，所 以AP/1DQ且AP=DQ.同理可证四边形DQCM也为平行四边形，所以DQ/IMC且DQ=MC, 所以AP/IMC且AP=MC,所以A,P,C,M四点共面，即四边形为APCM为正方体的截面， A=√AB+BP=√4+1=√5，同理可求得四边形为APCM的其它边长也为5， 答案第3页，共8页 故该四边形为APCM为棱形，对角线|ACl=√AC2+CC=V8+4=25,MP=|DB=2W2, 故该棱形的面积为25x巨x2=26,故D正确故选：ABD 12..【答案】-5 【详解】由题：f 3 5b=0,1+3+5b-0b-5,故答案为：-5 4 2 4 44a 2 a a 3 13.【答案】252 【详解】由条件可知，2=128，则n=8, 二项展开式的通项公式T,=C(3x)' 1 =C3宁，令8r=0,得r=6 所以常数项为C。32=252.故答案为：252 14.【答案】2026【详解】由f(-x+1)+g(x+l)=1可得：f(-x+2)+g(x)=1,又因为.f(x+2)-g(x)=1, 所以f(-x+2)+f(x+2)=2,即f(x)的对称中心为(2,1)： 由f'(x+)+f'(-x+l)=0可得：[f(x+)-f(x+1)]=0,即f(x+)-f（-x+I)=c(常数)， 令x=0,则c=f()-f(1)=0,所以f(x+I)-f(-x+I)=0,即f(x)的对称轴为x=1: 所以f(-x)+f(x+4)=2,f(x+2)=-f(-x),故f(x+2)+f(x+4)=2,f(x)+f(x+2)=2, 所以f(x)=f(x+4),f(x)的周期T=4. 因为f(x+2)=g(x)+1,所以f(3)=g()+1=0:因为f(-x+2)+f(x+2)=2,令x=2代入，所以f(2)=1: 根稀对称推可知：f0-2.=f0=1,)-0.④-1，所三1因=406+2=20m6, 15.【详解】(1)：m/ln,∴.(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC-sinA)=sin BsinC 1分 根据正弦定理得(a+b+c(c+b-a)=bc,化简得a2=b+c2+bc,3分 由余弦定理a2=b+c2-2 becosA,得cosA=2 1 …4分 又Ae(0,),A=2: 3: 5分 (2)a=5,A=2 3, b =2 ∴由正弦定理得sin BsinCsinA√5 6分 .'b=2sin B,c=2sinC, ∴S=besinA=×2 sin Bx2 2sin Cx5 2 2 =5 sin Bsin C,8分 ,.S+√5 cos BcosC=5 sin BsinC+V5 cos BcosC=√5cos(B-C),9分 答案第4页，共8页 B+c=号5=5co2B-3} …10分 3311分 Ecos(2B-)e(50… 12分 S+5 C的取值范围是(5. 13分 16.【详解】(1)证明：，E,F分别是PC,PB的中点，.BC∥EF,1分 又EFC平面EFA,BC丈平面EFA,.BC∥平面EFA, 2分 又BCC平面ABC,平面EFAO平面ABC=l,.BC∥I, 3分 由题意可得AC2+BC2=AB2,即AC L BC,4分 又平面PAC∩平面ABC=AC,平面PAC⊥平面ABC,BCc平面ABC, BC⊥平面PAC,则1⊥平面PAC. 6分 (2)取AC的中点记为D,连接PD, 因为△PAC是边长为2的正三角形，所以PD⊥AC,7分 所以AD=1,PD=√PA-AD=√5. 又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,且PDc平面PAC,所以PD⊥平面ABC,.8分 由(I)可知，在底面ABC内过点A作BC的平行线，即平面AEF与底面ABC的交线L, 取AB的中点记为M,连接DM,则DMIIBC.因为AC⊥BC,所以DM⊥AC 以D为坐标原点，DA,DM,DP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则Aao.Pa间，c-1a0,-140,9)F2 设Q(11,0),则P0=(1,-5), 9分 Ef=(0.2,0),· 设平面AEF的一个法向量为i=(x,), AE.ni=0 则 23-0 EF.n=0 2y2=0 取a2=√5，则名=1，为2=0，即i=(L,0,3是平面AEF的一个法向量， 11分 所以伍回：日得 1-3 1 P@2W4+4+, 又直线PQ与平面AEF所成角为a, 答案第5页，共8页 于是nao@4 12分 又cos(P0,Ef） PO.EF 2t p@E丽2W4+F4+P: 而异面直线P0,EF所成角为A,于是op=o(PQ,EF》+7 13分 假设存在点Q满足盟设a+B=分则sna=co0,即4十十所以州-14分 当1=1时，A0=(0.1,0),此时有A@=1: 当t=-1时，AQ=(0,-1,0),此时有Ag=1 综上所述，这样的点Q存在，且有4Q=1 15分 17.【详解】(1)依题意，2×2列联表如下： DeepSeek的应用 视频从业人员 合计 情况 减少 未减少 应用 54 18 72 没有应用 36 42 78 合计 90 60 150 。44444444040…42分 零假设H,为：DeepSeek的应用与视频从业人员的减少独立，DeepSeek的应用前后视频从业人员无差异， 由列联表中数据得，7=150x54x42-18x36.6725=12.981>3.841 4分 72×78×90×60 52 根据小概率值a=0.05的X的独立性检验，推断H。不成立， 所以有95%的把握认为De心pSc心k的应用与视频从业人员的减少有关.5分 (2)(i)设A=“员工第i轮获得优秀(i=l,2,3),且A相互独立.设B=“员工经过培训能应用DeepSeek”, P(B)=P(AAA)+P(AAA)+P(AAA)+P(AAA) =2×1x1+lx1x12112.121 3233233233232' 9分 所以员工经过培训能应用D心eepSeck的概率是号 10分 (i)设视频部调x人至其他部门，xeN,X为培训后视频部能应用DeepSeek的人数， 则X~B000-x月，因此E(X)=100-x 2 000600000404400000006004106 调整后视频富的年利闲为1910+-}c0-小6-(0-列=(00-7网（万元.15分 答案第6页，共8页 令70-7r≥100x6,解得x≤10=143，又xeN,所以xm=4 7 所以视频部最多可以调14人到其他部门.………15分 18.【详解】(1)函数f(x)=e+sinr-1,求导得f(x)=e+cosx,f'(0)=2,2分 所以曲线y=f(x)在点(0.0)处的切线方程为y=2x.… 3分 (2)当xe-元-时，函数y=e和y=cosx都为增函数，则函数f'(x)为增函数，4分 而f%=e-1k0,%受=e>0,则36e元-孕fc)=0, 当xe元)时，f<0,当xe(G-受时，f)>0, 函数f()在-L)上单调递减，在（化，-牙上单调递增，5分 而f(团=e-1<0,f八受=e-2<0,则当xex-时，f)<0, 因此函数f()在-无-受上无零点： .6分 当e受爱时，f国=e+m0,当e昏用时，f国之+>0：8分 即当xe(受m时，f闭=e+c0s>0,函数)在←受上单调递增，又0=0， 于是函数f)在（←三）上有1个零点， 所以函数f(x)在（一元，四上有1个零点.， 10分 (3)令g(x)=f(x)+x=e+sinx+x-1,x∈0，+m),g(0)=0, 求导得g'(x)=e+C0sx+m,g'（(0)=2+m.11分 令h(x)=g'(x)=e*+cosx+m,x≥0，求导得'(x)=e*-sinx≥1-sinx20, 函数h(x),即g(x)在【0.+0）上单调递增，…12分 ①当m+2≥0，即m≥-2时，g'(x)≥g'(0)=2+m≥0， 函数g(x)在0，+)上单调递增，g(x)2g(0)=0,8(x)20在[0，+0)上恒成立；…14分 ②当m+2<0,即m<-2时，g'(0)=2+m<0,由函数g(x)在0，+0)上的图象连续不断， 所以，∈(0，+0)，当x∈0，)时，8'()<0，函数g(在0，x)上单调递减，15分 当x∈(0，x)时，g(x)<g(0)=0,不符合题意， 16分 所以实数m的取值范围是[-2，+∞) 17分 20.【详解】(1)圆D:(x+√52+y2=4的圆心为D(-5,0),半径r=2, 因为TE=TF,DF=25, 答案第7页，共8页 TF]-TD=TE-TD=DE =2<DF, 可知动点T的轨迹为是以D,F为焦点的双曲线， 2分 且a=1.c=√5，则b2=c2-2=4, 3分 所以曲线C的方程为.2-上=1 4 4分 (2)设M(,y,N(G,2), -=1 因为M,N为双曲线C上的两点，所以 4 ，5分 两式相减得（飞-5）(G+5)=-+),整理得 (+x)-y-y2 y+y2-x2 …7分 y1+2 则kk,=名-业.2=名二五.上十生=4，得i证.9分 x-x2+5-x3x+5 2 (3)设斜率为4，与双曲线右支相交于A,B两点的直线方程为y=4x+m(m<0),1≤k≤n,k∈N, y=4x+m 联立 -=1,消去y并整理得12r+8mx+所+4=0， …10分 4 因为该方程有两个正根，则△=64m2-4×12×(m+4)>0,解得m<-2√5，或m>2√5（舍） 3+4 由韦达定理得x+=-2 VA 12 11分 直线AR的方程为y-%=-2(x-x), 因为y%=4xA+m,即y=-2x+6x+m,① 12分 直线BR的方程为y-y%=2(x-x) 因为y8=4x%+m2,即y=2x+2xa+m,② 13分 联立①②，两式相加得y=3x+x%+m,两式相减得x男= 2 :14分 因为xA+X8=一 2m 3 则a=3+,+m=3北-无人-2+m=2,+ 3 3 …15分 2=2x+h6分 2 2 3 所以xg=n,则，B,…P都在直线y=x上，故，B,共线。…17分 答案第8页，共8页