精品解析：2024年广东省揭阳市惠来县周田中学中考数学一模试卷

2024年广东省揭阳市惠来县周田中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一辆汽车第一小时行了52.1千米，第二小时行了60千米，第三小时行了62.5千米，请你估一估：这辆车平均每小时行了多少千米？该结果正确的取值范围应（　　） A. 在之间 B. 在之间 C. 在之间 D. 在之间 4. 如图，一把直角三角板的顶点A，B在上，边BC，AC与交于点D，E，连结DE，已知，则的度数为（ ） A. 120° B. 110° C. 100° D. 90° 5. 关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 6. 如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（ ） A. 极差是8℃ B. 众数是28℃ C. 中位数是24℃ D. 平均数是26℃ 7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图是两个完全相同的等腰直角三角形，如图①中的正方形面积与图②中的正方形面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点C是线段上一点（），分别以为直角边在同侧作等腰和等腰，连结．记，，，，若，则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 10. 如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞的解集为（　　） A. x＜﹣2或x＞2 B. ﹣2＜x＜2 C. ﹣2＜x＜0或x＞2 D. x＜﹣2或0＜x＜2 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知：(=1，则整数 x= . 12. 如图，已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为 ________________． 13. 学校组织知识竞赛，共20道题，记分规则为：若答对，每题得5分；若答错或不答，每题倒扣3分．家同学的参赛目标是超过83分，则她至少要答对_______道题． 14. 若“”是一种新的运算符号，并且规定，则2=_____． 15. 如图，正方形的边长为，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边上的点，且，当线段的长最小时，______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，平分交于点D，且． （1）尺规作图：过点C作，垂足为点H（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）求的度数． 18. 某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分30分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图，已知图2中得28分的人数所对圆心角为，回答下列问题： （1）条形统计图有一部分污损了，求得分27分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数． （2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩． （3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆：②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，用树状图求小明和小亮选择同一项目的概率． 19. 如图，是的直径，是的弦，于点，交于，与过点的直线交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 20. 2024年南国书香节已在广州琶洲顺利举行．某学校在活动期间购买甲、乙两种图书．已知乙图书比甲图书每本价格多10元，用5000元购买的甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同． （1）求出甲、乙两种图书每本的价格分别是多少； （2）若计划购买甲、乙两种图书共50本，购书总费用不超过2860元，则最少购进甲图书多少本？ 21. 我国无人机已广泛的应用在人们的生产和生活中．如图所示，某中学数学课外活动小组利用无人机测量沅江某一段江面的宽度，先在沅江两岸边上各选定一点A、B，且所在直线与江岸所在直线垂直，再在A点放飞无人机到一定高度后，然后在AB上方从A向B以的速度水平飞行．在M点处测得A点的俯角为，B点的俯角为，后在N点处测得B点的俯角为，求此段沅江江面的宽度（结果精确到米）（参考数据：，，，） 22. 综合应用 【问题感知】 （1）如图①，在等边中，，点、分别在边、上，若是中点，则线段长度的最小值为________． 【问题呈现】 若图①中“是中点”改为“”，再求线段长度的最小值． 【问题解决】 （2）如图②，若把等边中“是中点”改为“”，如何求线段的最小值． 解决方法：小明将通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述问题：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．则为________度，线段长度的最小值为________． 【应用迁移】 （3）如图③．某房屋在维修时需使用钢丝绳进行加固处理，小明根据问题画出了示意图④，是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳．四边形是矩形，米，．若点在上，点在上，．求钢丝绳的最小值． 23. 在菱形中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接，点为中点，连接，将沿翻折得到，连接． （1）如图1，连接与的位置关系是 ；与的位置关系是 ； （2）如图2，若，当点运动到中点时，求的值； （3）已知，若，则的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广东省揭阳市惠来县周田中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．将“3240万”转换为数字32400000，再根据科学记数法规则表示即可． 【详解】解：∵3240万， ∴， 故选C． 3. 一辆汽车第一小时行了52.1千米，第二小时行了60千米，第三小时行了62.5千米，请你估一估：这辆车平均每小时行了多少千米？该结果正确的取值范围应（　　） A. 在之间 B. 在之间 C. 在之间 D. 在之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数，利用算术平均数公式计算即可． 【详解】解：这辆车平均每小时大约行了（千米）， 即该结果正确的取值范围应在之间． 故选：C． 4. 如图，一把直角三角板的顶点A，B在上，边BC，AC与交于点D，E，连结DE，已知，则的度数为（ ） A. 120° B. 110° C. 100° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补即可求得的度数 【详解】解：依题意，在上，，则 故选A 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 5. 关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数，先将分式方程化为整式方程，用含m的式子表示出x，再根据解是正数且列不等式，即可求解． 【详解】解：将分式方程，去分母得：， 整理得， 解得， 分式方程的解是正数， ， ； 又， ， ， m的取值范围是且， 故选C． 6. 如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（ ） A. 极差是8℃ B. 众数是28℃ C. 中位数是24℃ D. 平均数是26℃ 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据折线统计图中的数据可以判断各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题． 详解：由图可得， 极差是：30-20=10℃，故选项A错误， 众数是28℃，故选项B正确， 这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位数是26℃，故选项C错误， 平均数是：℃，故选项D错误， 故选B． 点睛：本题考查折线统计图、极差、众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，能够判断各个选项中结论是否正确． 7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确． ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确． ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD． ∴点D在AB的中垂线上．故③正确． ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD． ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD． ∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD． ∴S△DAC：S△ABC．故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 8. 如图是两个完全相同的等腰直角三角形，如图①中的正方形面积与图②中的正方形面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了比的应用以及图形分割法，解题的关键是利用分割法得出两个正方形占等腰直角三角形的比例． 根据分割法得出两个正方形占等腰直角三角形的比例即可求解． 【详解】解：利用分割法，占整个图形的占整个图形的， 所以． 故选：D． 9. 如图，点C是线段上一点（），分别以为直角边在同侧作等腰和等腰，连结．记，，，，若，则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b，则，分别表示出和即可求解． 【详解】设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b， 则， ∴， ∵， ∴． 故选C． 10. 如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞的解集为（　　） A. x＜﹣2或x＞2 B. ﹣2＜x＜2 C. ﹣2＜x＜0或x＞2 D. x＜﹣2或0＜x＜2 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B（2，m），然后根据函数的图象的交点坐标即可得到结论． 【详解】解：∵正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（-2，m）和B两点， ∴B（2，m）， ∴不等式ax＞的解集为x＜2或0＜x＜2， 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知：(=1，则整数 x= . 【答案】0 或 4 或 6 【解析】 【分析】非零数的零次幂等于1，即x0=1（x≠0），试探究x为何值出现此情况；1的任何次幂都等于1，试探究x为何值出现此情况；-1的偶次幂等于1，试探究x为何值出现此情况，综合三种情况即可解答题目. 【详解】若(x-5)x=1，则有三种可能： （1）指数x=0，则(0-5)0=1； （2）底数x-5=1，则x=6，此时(x-5)x=(6-5)6=1； （3）底数x-5=-1，即x=4，此时(x-5)x=(4-5)4=(-1)4=1. 综上所述，x的取值可能为0或4或6. 故答案为0或4或6. 【点睛】此题考查零指数幂，有理数的乘方，解题关键在于掌握运算法则. 12. 如图，已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，把圆锥的侧面展开得到圆心角为，半径为的扇形，求出扇形中的圆心角所对的弦长即为最短路径．将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键． 【详解】解：圆锥的侧面展开如图，过点S作， ∴， 设， 即：， 得：， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 13. 学校组织知识竞赛，共20道题，记分规则为：若答对，每题得5分；若答错或不答，每题倒扣3分．家同学的参赛目标是超过83分，则她至少要答对_______道题． 【答案】18 【解析】 【分析】设他要答对道题，则答错或不答道题，根据得分答对题目数答错或不答题目数，结合得分要超过83分，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】解：设他要答对道题，则答错或不答道题， 依题意得：， 解得：， 又∵为整数， ∴可取的最小值为18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 14. 若“”是一种新的运算符号，并且规定，则2=_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，根据新定义列出算式是解题的关键． 15. 如图，正方形的边长为，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边上的点，且，当线段的长最小时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数，连接，证明，得到，，确定点在以点为圆心，以为半径的圆上，当点、、三点一线时，的长最小，过点作，计算． 【详解】连接， 正方形的边长为，正方形， ，，， ，， ， ，， ， ， 点在以点为圆心，以为半径的圆上， 当点、、三点一线时，的长最小， 过点作， ，正方形的边长为， ，， ， ． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．先计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，，平分交于点D，且． （1）尺规作图：过点C作，垂足为点H（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）求的度数． 【答案】（1） 如图： （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，三角形内角和性质，角平分线的应用，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）以为圆心，为半径画弧交于于一点，再以点和为圆心，以大于长度为半径画弧，交于一点M，连接，交于一点H，即可作答． （2）由，则设，因为平分交于点D，所以，又因为，所以，根据三角形内角和列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：过点C作，垂足为点H，如图： 【小问2详解】 解：∵， ∴设， ∵平分交于点D， ∴， ∵， ∴， 则在中，， ∴， ∴的度数为． 18. 某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分30分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图，已知图2中得28分的人数所对圆心角为，回答下列问题： （1）条形统计图有一部分污损了，求得分27分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数． （2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩． （3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆：②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，用树状图求小明和小亮选择同一项目的概率． 【答案】（1）得分分的人数为8人；中位数为分；众数为分 （2）补测成绩为分或分 （3）小明和小亮选择同一项目的概率为 【解析】 【分析】（1）由题意知，调查总人数为（人），则得分分的人数为（人），根据中位数为第位数的平均数求解即可，根据众数是出现次数最多的数进行求解即可； （2）根据中位数的意义求解作答即可； （3）由题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，调查总人数为（人）， ∴得分分的人数为（人）， ∵，， ∴中位数为第位数的平均数，即（分）， 众数为分； ∴得分分的人数为8人；中位数为分；众数为分； 【小问2详解】 解：∵原来的中位数为分；补测后与之前成绩汇总中位数变大了， ∴该名同学的补测成绩为分或分； 【小问3详解】 解：由题意画树状图如下； 共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择同一项目共有3种等可能的结果， ∵， ∴小明和小亮选择同一项目的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，列举法求概率．熟练掌握条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，列举法求概率是解题的关键． 19. 如图，是的直径，是的弦，于点，交于，与过点的直线交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是直径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边对等角等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由等腰三角形的性质，对顶角的性质得出，，由垂线的性质得出，进而得出，即可证明是的切线； （）先由勾股定理求出，再证明，由相似三角形的性质即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的半径为， ∴，， ∵，， ∴8， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 20. 2024年南国书香节已在广州琶洲顺利举行．某学校在活动期间购买甲、乙两种图书．已知乙图书比甲图书每本价格多10元，用5000元购买的甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同． （1）求出甲、乙两种图书每本的价格分别是多少； （2）若计划购买甲、乙两种图书共50本，购书总费用不超过2860元，则最少购进甲图书多少本？ 【答案】（1）甲图书每本的价格为50元，乙图书每本的价格为60元 （2）最少购进甲图书14本 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用． （1）设甲图书每本的价格为元，则乙图书每本的价格是元，根据用5000元购买的甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲图书本，则购买乙图书本，根据购书总费用不超过2860元，结合（1）的结果，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲图书每本的价格为元，则乙图书每本的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：甲图书每本的价格为50元，乙图书每本的价格为60元； 【小问2详解】 解：设购买甲图书本，则购买乙图书本， 由题意得：， 解得：， 答：最少购进甲图书14本． 21. 我国无人机已广泛的应用在人们的生产和生活中．如图所示，某中学数学课外活动小组利用无人机测量沅江某一段江面的宽度，先在沅江两岸边上各选定一点A、B，且所在直线与江岸所在直线垂直，再在A点放飞无人机到一定高度后，然后在AB上方从A向B以的速度水平飞行．在M点处测得A点的俯角为，B点的俯角为，后在N点处测得B点的俯角为，求此段沅江江面的宽度（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D两点，则四边形是矩形，则，求出，证明得到，解得到，，再解得到，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D两点，则四边形是矩形， ∴， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴此段沅江江面的宽度约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22. 综合应用 【问题感知】 （1）如图①，在等边中，，点、分别在边、上，若是中点，则线段长度的最小值为________． 【问题呈现】 若图①中“是中点”改为“”，再求线段长度的最小值． 【问题解决】 （2）如图②，若把等边中“是中点”改为“”，如何求线段的最小值． 解决方法：小明将通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述问题：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．则为________度，线段长度的最小值为________． 【应用迁移】 （3）如图③．某房屋在维修时需使用钢丝绳进行加固处理，小明根据问题画出了示意图④，是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳．四边形是矩形，米，．若点在上，点在上，．求钢丝绳的最小值． 【答案】（1）；（2）30，2；（3）钢丝绳长度的最小值为米． 【解析】 【分析】（1）当时，线段的值最小，线段的最小值； （2）先证四边形是平行四边形，推出，得出，再根据可得；当最小时，取最小值，也有最小值，此时； （3）过M、D作的平行线，构造平行四边形，当时，最小，最小． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵N是中点， ∴， 当时，线段的值最小， ∴线段的最小值； 故答案为：； （2）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， 当最小时，取最小值，也有最小值，此时， ∴最小值是2． 故答案为：30，2； （3）如图，过M、D作的平行线， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当时，最小，最小， ∵，， ∴， ∴， 在中，（米）， ∴（米）， 故钢丝绳长度的最小值为米． 【点睛】本题考查垂线段最短，三角函数解直角三角形，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质等，通过添加辅助线构造平行四边形是解题的关键． 23. 在菱形中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接，点为中点，连接，将沿翻折得到，连接． （1）如图1，连接与的位置关系是 ；与的位置关系是 ； （2）如图2，若，当点运动到中点时，求的值； （3）已知，若，则的长为 ． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形与翻折的结合，三角形中位线的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数比，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并作出辅助线． （1）连接，延长交于，利用翻折的性质可得是的中位线，利用三角形中位线的性质即可得出结论； （2）延长交于，设，则，利用勾股定理表示出，利用三角函数比表示出和，设，，利用勾股定理得到，再利用三角形中位线的性质可得答案； （3）分两种情况进行讨论，即当点在上时和当点在延长线上时，利用锐角三角函数比，勾股定理及相似三角形的判定和性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，延长交于， 由折叠的性质可知垂直平分， 是中点， 是中点， 是的中位线， ，即， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图，延长交于， ∵四边形是菱形，且， ，， 若连接对角线，则为等边三角形， ∵点为中点， ， 设，则， 由勾股定理得， ， 是中点， ∴， ， 由（1）可知，，， ， 又， ， ， ， 设，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 由题意可得，为的中位线， ∴， ； 【小问3详解】 解：①如图，当点在上时，延长交于， ，， ， 在中，设，则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， 在中，， ， 整理得：， 解得（负值舍去）， ， ； ② 当点在延长线上时， 同理可得， 设，则， ， ，即， 解得， ， 过作于点，则，， ， ； 综上，的长为或； 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $