精品解析：2025年吉林省长春市东北师范大学附属中学明珠学校中考二模数学试卷

初三年级数学学科综合练习 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断最简二次根式．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵是最简二次根式，即A选项符合题意， ∵，即B选项不符合题意， ∵，即C选项不符合题意， ∵，即D选项不符合题意， 故选：A． 2. 如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 长方体 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，由展开图得这个几何体为棱柱，底面为三边形，则为三棱柱． 【详解】解：由展开图可知，该几何体是上下底面为三角形，侧面为三个长方形的几何体，即该几何体为三棱柱， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；积的乘方，把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】A．根据积的乘方运算，，故A选项错误； B．根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，，故B选项错误； C．根据积的乘方运算可知，，故C选项正确； D．，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法和积的乘方，要搞清楚指数什么时候相加或相减，什么时候相乘，掌握好各运算法则是解决本题的关键． 4. 如图，一角硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角与外角问题；根据多边形的外角和定理求得正九边形的9个相同外角的度数和，即可求得1个外角的度数，再根据1个外角与其相邻的内角互为邻补角，即可求得每个内角的度数． 【详解】解：∵正九边形的外角和为， ∴正九边形每个外角的度数是， ∴正九边形每个内角的度数是． 故选：C． 5. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质，解不等式的方法是关键． 根据不等式的性质“不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”求解不等式即可． 【详解】解：A、， 解得，， 不等号的方向为改变，不符合题意； B、， 解得，， 不等号的方向为改变，不符合题意； C、， 解得 ，， 不等号的方向改变，解集符合图示，故符合题意； D、， 解得，， 不等号的方向改变，但解集不符合图示，故不符合题意； 故选：C ． 6. 伪满皇宫博物院位于吉林省长春市宽城区，是一座在溥仪宫廷旧址建筑群基础上建立面成的宫廷遗址型博物馆．其中辑熙楼二楼屋顶为等腰三角形，经测量腰长米，底角，则等腰三角形的高 为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据的正弦求解即可． 【详解】∵ 是 的高 ∴ ∵米， ∴（米）． 故选：A． 7. 若将一块长，宽的长方形卡片剪成相同形状大小的两张卡片，可拼成一个长，宽的新长方形，则原长方形的剪切方案为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形的拼接和平移，画出剪切后拼成的长方形，求出对应的长和宽即可判断，注意平移后能重合，说明原图上左右和上下对应的线段相等． 【详解】解：A、剪切后拼成的长方形为，新长方形的长，宽，不合题意； B、剪切后拼成的长方形为，新长方形的长，宽，不合题意； C、剪切后拼成的长方形为，新长方形的长，宽，符合题意； D、剪切后拼成的长方形为，新长方形的长，宽，不合题意； 故选：C． 8. 已知点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的增减性比较函数值的大小是关键． 根据反比例函数解析式得到，函数图象经过第一、三象限，每个象限随 的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∴函数图象经过第二、四象限，每个象限随 的增大而增大，当时，，当时，， 已知和点两点在反比例函数的图象上， 当时，，则，故A选项正确，符合题意； 当时，，则，故B、C选项错误，不符合题意； 当时，，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：A ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 多项式的次数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多项式的次数的概念，确定多项式中各单项式的次数是解答此题的关键．根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，即可求解． 【详解】解： 的次数为3，的次数为0． ∴多项式的次数是， 故答案为：． 10. 分解因式：x2－25=_________________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为x2﹣25=x2﹣52，所以直接应用平方差公式即可：． 11. 点、在一次函数的图象上，则______（用“＜”、“＝”或“＞”填空）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案． 【详解】∵一次函数中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：＜． 12. 若抛物线（是常数）与 轴没有交点，则的值可以是______．（写出一个即可）． 【答案】2（大于1即可） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，可知无实数根，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴无实数根， ∴， 解得，， ∴的值可以是2． 故答案为：2（大于1即可）． 13. 从宋代开始，折扇逐渐进入国人的生活，由于折扇扇面多为纸质，能够绘制细腻的书面，因此在近千年来折扇广泛受到中国人特别是古代文人的喜爱，逐渐成为文人精神和追求的象征．如图，是一个折扇作品，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角；若，，则扇面（阴影）部分的面积是______．（结果用表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式，用大扇形的面积减去小扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积是 ． 故答案为：． 14. 如图，在菱形 中，，，点为 中点，点 、 分别在线段、 上，且， 、 交于点，延长 交边 （或边）于点．给出下面五个结论： ①；②；③当时，； ④当时，四边形的面积是；⑤点与点距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有______．（诸填写序号） 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】证明得出，进而根据三角形的外角的性质可得，即可判断②，证明，得出不一定成立，故①不正确，证明求得，进而判断③，过点 作于，过点于，求得，证明得出，，则四边形的面积是，即可判断④，以 为边向下作等边三角形，得出四边形是的内接四边形，即在上运动，当在线段上时，最小，进而得出点与点距离的最小值为，进而判断⑤ ． 【详解】 四边形 是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵ ∴， 在和中， ， ， ∴ ∴，故②正确 ∵， ∴ 又 ∴ ∴不一定成立，故①不正确 如图 ∵， ∴， 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， ∵ ∴，故③正确； 过点 作于，过点于， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积是，故④不正确 如图，以 为边向下作等边三角形， ∵，， ∴四边形是的内接四边形，即在上运动，当在线段上时，最小， 过点作，则， ∴， ∴ ∴点与点距离的最小值为，故⑤正确， 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 16. 在一个不透明的布袋中有标有数字2，3，4的三个小球，除数字外其余完全相同．小明先从袋中随机地摸取一个，不放回，再随机地摸取一个．用画树状图或列表的方法，求两次摸取的球上数字均为偶数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要区分放回实验还是不放回实验．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸取的球上数字均为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案即可． 【详解】解：画树状图如下： （两次数字均为偶数）． 17. 在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者的通过预选赛，至少要答对多少道题才能通过预选赛？ 【答案】至少答对12道题才能通过预选赛． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设答对 道题可以通过预选赛，则答错或不答道题，利用得分答对题目数答错或不答题目数，结合得分不少于80分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设答对 道题可以通过预选赛． 由题可知：， 解得：， 答：至少答对12道题才能通过预选赛． 18. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE∥DC交BC于点E，BD平分∠ABC，求证：AB＝EC． 【答案】 证明： ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， ∵AD∥CE AE∥CD， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴AD=CE， ∵AD=AB． ∴AB=CE． 【解析】 【分析】证AD∥CE AE∥CD，得四边形AECD是平行四边形，得AD=CE，AD=AB，故AB=CE． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，解题的关键是证明AB＝AD． 19. 2025年4月15日是第十个国家安全教育日，树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据整理、统计如下： 【数据收集】 七年级10名同学测试成绩统计如下：65，72，75，81，82，87，88，88，94，98 八年级10名同学测试成绩统计如下：75，77，78，79，83，83，85，87；88，95 【数据分析】两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 84.5 88 八年级 83 83 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）______； （2）若测试成绩不低于85分可以被评定为优秀，请估计该学校七年级和八年级共有多少人被评定为优秀？ （3）为了使样本数据更精确的反映总体情况．每个年级又各随机抽调了5人测试，若七年级新抽调的5人成绩的平均数为80分，则七年级15名同学测试成绩的平均数为______；若八年级新抽调的5人成绩均为整数且互不相同，中位数为84，则八年级15名同学测试成绩的中位数为_____． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了求众数、中位数，平均数，用样本估计总体的数量，掌握这些统计知识是关键； （1）根据众数的定义，即可求解； （2）根据样本估计总体，即可求解； （3）根据平均数的定义，求得七年级15名同学测试成绩的平均数，根据中位数的定义可得分在新数据中排在最中间，即可求解． 【小问1详解】 解：出现次数最多，则 【小问2详解】 解：七年级和八年级共有 【小问3详解】 解：若七年级新抽调的5人成绩的平均数为80分，则七年级15名同学测试成绩的平均数为， 八年级新抽调的5人成绩均为整数且互不相同，中位数为84， ∴这人成绩从小到大排列第3人的成绩为，2人小于， 人大于 ∵八年级名同学测试成绩的中位数为，将第3人的成绩加入排序，则位于第 将人成绩加入，排序后，位于第 ，即八年级15名同学测试成绩的中位数为 故答案为：． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点 、、 均在格点上． 内接于 ，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，标出 的外接圆圆心； （2）在图②中，作，使得与互补，且点为格点； （3）在图③中，过点 作 的切线，点 为切点． 【答案】（1） 如图，点，即为所求 （2） 如图，即为所求（答案不唯一） （3） 如图，即为所求 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，确定圆心，圆内接四边形对角互补，切线的判定，勾股定理及其逆定理的应用，数形结合是解题的关键； （1）根据网格的特点找到的垂直平分线的交点，即为所求 （2）根据，找到格点，且在 的右侧，即可求解． （3）根据勾股定理分别求得，根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，且，即，即可得出是 的切线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ∴ 是直角三角形，且，即， 又是半径， ∴是 的切线，点 为切点． 21. 小王开车从家出发去上班，从出发开始每隔1千米出现一个路口，路口处有红绿灯，汽车以10米/秒的速度匀速行驶到第一个路口时，显示为红灯，等待了20秒，切换为绿灯通过．为了尽快通过第二个路口，车辆立即加速以另一速度匀速行驶．在到达第二个路口前，汽车从家出发行驶的路程（米）与行驶的时间 （秒）之间的函数图象如图所示． （1）的值为______； （2）当汽车在第一个路口出发后，求与 的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； （3）当汽车从家出发行驶到1450米时，小王从某地图软件显示的信息得知，第二个路口绿灯还剩40秒，若按此速度行驶，小王能否无需等红灯直接通过第二个路口？请说明理由． 【答案】（1）100 （2） （3）小王可以直接通过第二个路口．理由 当时，， 解得：， （秒）， ， 小王可以直接通过第二个路口． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）利用路程除以速度进行计算即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出时，求出 的值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 设汽车从第一个路口出发后，与 的函数关系式为（）， ， 的图象经过和， ，解得， ． 【小问3详解】 略 22. 【问题原型】华师版数学教材八年级上册61页“练习”第3题： 如图，点是 内一点，，，将绕点 逆时针旋转，点旋转到点 ，则______，______，______． 请完成上题． 【方法应用】 （1）如图①，点是等边三角形内一点，，，，求的大小； （2）如图②， 是四边形 的外接圆， 、 交于点 ， 是 的直径，，若 平分，，则______． 【答案】[问题原型]， ， ；（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理及逆定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【问题原型】利用旋转的性质即可解答； （1）将绕点 逆时针旋转，点旋转点 ，恰好与 重合，连接 ，证明为等边三角形，再证明为含有度角的直角三角形，即可解答； （2）过点 作，交 于点 ，证明为等腰直角三角形，即可得到，即可解答． 【详解】【问题原型】根据旋转可得，，， 故答案为：， ， ； （1）如图，将绕点 逆时针旋转，点旋转到点 ，恰好与 重合，连接 ， 根据旋转可得，， 为等边三角形， ，， 在中，， 为直角三角形，且； ， ， ， ； ； （3）如图，过点 作，交 于点 ， 为直径， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， 平分， ， ，， ， ， ， ． 23. 在矩形 中，，．点 是射线 上的一点，以点 为中心将顺时针旋转90°得到，连结． （1）如图①，当点 在边上时，求证：； （2）在图②中只用无刻度的直尺和圆规，作出；（保留作图痕迹．不用写出作图过程） （3）如图③，设线段与射线交于点 ， ①若，此时线段 的长度为______； ②若线段或与射线交于点 ，过点 作交于点，若，直接写出的长度． 【答案】（1） 解：由旋转可得 ∴， ∵在矩形 中，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； （2） 解：如图所示，即为所求； （3）①；②或． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，根据矩形的性质可得，进而得出，即可证明，可得，进而可得； （2）过点 作，截取，连接，即可求解； （3）①证明，即可求解； ②分类讨论，当与射线交于点 ，过点 作于点 ，根据得出，证明，，根据相似三角形的性质，即可求解；当线段与射线交于点 ，同理可得，，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图， 由旋转可得 ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ②如图，当与射线交于点 ，过点 作于点 由（1）可得 ∴， ∵， ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ②如图，当线段与射线交于点 ， 同理可得，，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得： ∴ 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，基本作图，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 已知抛物线的顶点坐标为，点 为抛物线上一点，横坐标为，点 为平面中一点（ 、 不重合），横坐标为，轴，将线段绕着点 顺时针旋转得到线段，连结． （1）求、的值； （2）当点 在抛物线上时，求的值； （3）延长至点使得，连结． ①若点 在第四象限，且，则当抛物线在内的部分（包含边界）最大值与最小值之差为时，求的值． ②设直线与抛物线的交点为 ，点 在抛物线对称轴右侧，连接，当点 到直线的距离为点 到直线距离的倍时，直接写出的值． 【答案】（1），； （2），； （3）①；②的值为或． 【解析】 【分析】（1）由题意得顶点式，展开即可求解； （2）由题意得点 和点 关于对称轴对称，得到，据此求解即可； （3）①求得直线的解析式为，分当和时，两种情况讨论，根据题意列式计算即可求解； ②当时，不符合题意；再分当或时，两种情况讨论，当时，当点 在点 左侧，如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，利用相似三角形的判定和性质求解即可；当时，当点 在点 右侧，如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，作轴于点，同理求解即可；当时，点 、点 都在点 右侧，显然点 到直线的距离小于点 到直线的距离，不符合题意，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∵轴，点 和点 都在抛物线上， ∴点 和点 关于对称轴对称， ∴， 解得，； 【小问3详解】 解：①∵点 在第四象限，且， ∴， ∴，， 当时，点 在点 右侧， ∵将线段绕着点 顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，， ∴抛物线与轴的交点， 当时， ∵抛物线在内的部分（包含边界）最大值与最小值之差为， ∴，即， 解得，（舍去）； 当时， ∵抛物线在内的部分（包含边界）最大值与最小值之差为， ∴，即， 解得（舍去）； 综上，； ②当时，如图， 显然点 到直线的距离小于点 到直线的距离，不符合题意，舍去； 当或时，点 到直线的距离大于点 到直线的距离，此时点 在点 左侧， 令，则，解得，， ∴抛物线与 轴的两个交点分别为，， 当时，当点 在点 左侧，如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， 由题意得，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 即点 是的中点， ∴， 解得或（舍去）； 当时，当点 在点 右侧，如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，作轴于点， ∴， ∵点 到直线的距离为点 到直线距离的倍， ∴设，则， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵，轴，轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）； 当时，点 、点 都在点 右侧，显然点 到直线的距离小于点 到直线的距离，不符合题意，舍去； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学学科综合练习 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 长方体 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一角硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（ ） A. B. C. D. 6. 伪满皇宫博物院位于吉林省长春市宽城区，是一座在溥仪宫廷旧址建筑群基础上建立面成的宫廷遗址型博物馆．其中辑熙楼二楼屋顶为等腰三角形，经测量腰长米，底角，则等腰三角形的高 为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 若将一块长，宽的长方形卡片剪成相同形状大小的两张卡片，可拼成一个长，宽的新长方形，则原长方形的剪切方案为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 多项式的次数是______． 10. 分解因式：x2－25=_________________. 11. 点、在一次函数的图象上，则______（用“＜”、“＝”或“＞”填空）． 12. 若抛物线（是常数）与 轴没有交点，则的值可以是______．（写出一个即可）． 13. 从宋代开始，折扇逐渐进入国人的生活，由于折扇扇面多为纸质，能够绘制细腻的书面，因此在近千年来折扇广泛受到中国人特别是古代文人的喜爱，逐渐成为文人精神和追求的象征．如图，是一个折扇作品，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角；若，，则扇面（阴影）部分的面积是______．（结果用表示） 14. 如图，在菱形 中，，，点为 中点，点 、 分别在线段 、 上，且， 、 交于点，延长 交边 （或边）于点．给出下面五个结论： ①；②；③当时，； ④当时，四边形的面积是；⑤点与点距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有______．（诸填写序号） 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 在一个不透明的布袋中有标有数字2，3，4的三个小球，除数字外其余完全相同．小明先从袋中随机地摸取一个，不放回，再随机地摸取一个．用画树状图或列表的方法，求两次摸取的球上数字均为偶数的概率． 17. 在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者的通过预选赛，至少要答对多少道题才能通过预选赛？ 18. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE∥DC交BC于点E，BD平分∠ABC，求证：AB＝EC． 19. 2025年4月15日是第十个国家安全教育日，树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据整理、统计如下： 【数据收集】 七年级10名同学测试成绩统计如下：65，72，75，81，82，87，88，88，94，98 八年级10名同学测试成绩统计如下：75，77，78，79，83，83，85，87；88，95 【数据分析】两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 84.5 88 八年级 83 83 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）______； （2）若测试成绩不低于85分可以被评定为优秀，请估计该学校七年级和八年级共有多少人被评定为优秀？ （3）为了使样本数据更精确的反映总体情况．每个年级又各随机抽调了5人测试，若七年级新抽调的5人成绩的平均数为80分，则七年级15名同学测试成绩的平均数为______；若八年级新抽调的5人成绩均为整数且互不相同，中位数为84，则八年级15名同学测试成绩的中位数为_____． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点 、、 均在格点上． 内接于 ，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，标出 的外接圆圆心； （2）在图②中，作，使得与互补，且点为格点； （3）在图③中，过点 作 的切线，点 为切点． 21. 小王开车从家出发去上班，从出发开始每隔1千米出现一个路口，路口处有红绿灯，汽车以10米/秒的速度匀速行驶到第一个路口时，显示为红灯，等待了20秒，切换为绿灯通过．为了尽快通过第二个路口，车辆立即加速以另一速度匀速行驶．在到达第二个路口前，汽车从家出发行驶的路程（米）与行驶的时间 （秒）之间的函数图象如图所示． （1）的值为______； （2）当汽车在第一个路口出发后，求与 的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； （3）当汽车从家出发行驶到1450米时，小王从某地图软件显示的信息得知，第二个路口绿灯还剩40秒，若按此速度行驶，小王能否无需等红灯直接通过第二个路口？请说明理由． 22. 【问题原型】华师版数学教材八年级上册61页“练习”第3题： 如图，点是 内一点，，，将绕点 逆时针旋转，点旋转到点 ，则______，______，______． 请完成上题． 【方法应用】 （1）如图①，点是等边三角形内一点，，，，求的大小； （2）如图②， 是四边形 的外接圆， 、 交于点 ， 是 的直径，，若 平分，，则______． 23. 在矩形 中，，．点 是射线 上的一点，以点 为中心将顺时针旋转90°得到，连结． （1）如图①，当点 在边上时，求证：； （2）在图②中只用无刻度的直尺和圆规，作出；（保留作图痕迹．不用写出作图过程） （3）如图③，设线段与射线交于点 ， ①若，此时线段 的长度为______； ②若线段或与射线交于点 ，过点 作交于点，若，直接写出的长度． 24. 已知抛物线的顶点坐标为，点 为抛物线上一点，横坐标为，点 为平面中一点（ 、 不重合），横坐标为，轴，将线段绕着点 顺时针旋转得到线段，连结． （1）求 、的值； （2）当点 在抛物线上时，求的值； （3）延长至点使得，连结． ①若点 在第四象限，且，则当抛物线在内的部分（包含边界）最大值与最小值之差为时，求的值． ②设直线与抛物线的交点为 ，点 在抛物线对称轴右侧，连接，当点 到直线的距离为点 到直线距离的倍时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $