精品解析：2025年江西省吉安市吉水县九年级数学中考一模试题

吉水县2025年九年级第二次模拟检测 数学试题 说明： 1．本卷分为试题卷和答题卷，答案请写在答题卷上，不要在试题卷上作答，否则不给分、 2．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题(本大题共6 小题，每小题3分，共18分) 1. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，相反数、绝对值，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键． 比较大小规律是：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 先根据绝对值、相反数的意义计算出各个选项的结果，然后按照有理数大小比较方法即可确定答案； 【详解】解：，， ； 故最小的是； 故选：D 2. 据统计，截止2025年3月28日《哪吒之魔童闹海》(即《哪吒2》)总票房(含预售及海外)已突破亿元，位居全球影史票房榜第5名．将亿用科学记数法表示为 （ ） A. 9 B. 10 C. 8 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：153.47亿， 故选：B． 3. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项法则、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项法则、幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：A、，故选项计算正确，不符合题意； B、，，故选项计算正确，不符合题意； C、，故选项计算不正确，符合题意； D、，故选项计算正确，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在的正方形网格中，选择一个空白的小正方形，能与阴影部分组成正方体的展开图的方法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 5. 如图，在中，点D为上一点，连接，下列给出的条件不能得出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键，根据相似三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A． ，，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到，故符合题意； B．，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C．，即，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D．，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 6. 如图是二次函数 的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性可得和时函数值相等且大于零，判断①；根据开口方向和对称轴可得，，判断②；再根据抛物线与y轴交点和顶点的位置得到c和n的取值范围判断③；根据直线的平移判断④即可解题． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴当和时函数值相等且大于零， ∴，故①错误； ∵对称轴是， ∴， 又∵开口向下， ∴，， ∴，故②错误； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， 又∵当时，， ∴，故③正确； ∵时，有且只有一个交点， ∴把向下平移个单位长度，直线与抛物线有两个交点，即一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； 故选：B． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数加法的运算，根据有理数加法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，分解因式时有公因式的先提取公因式，再利用公式法进行分解，分解因式要彻底，分解到每个因式都不能分解为止，掌握提公因式法和公式法是解决问题的关键． 本题直接提取公因式即可分解． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 若m、n是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根，则的值为_____． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故答案为：0． 10. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数＝3×72＋2×71＋6＝147＋14＋6＝167（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是_________天． 【答案】109 【解析】 【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：百位上的数×72+十位上的数×71+个位上的数． 【详解】解：由题意，孩子自出生后的天数=2×72＋1×71＋4＝98＋7＋4＝109（天）， 故答案为：109． 【点睛】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力． 11. 如图，电流表是测量电流必不可少的工具，把指针旋转中心计为点，针尖计为点，指针顺时针旋转某一度数，针尖为点，连接，若，，则指针的长度是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数的计算，勾股定理的运用，掌握锐角三角函数值的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，，如图所示，过点作于点，得到，由锐角三角函数的计算得到，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，如图所示，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴指针的长度是， 故答案为： ． 12. 如图，在正方形中，E是上的一点，且．若点P在正方形的边上，当为等腰三角形时，则的长为______． 【答案】或2或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据题意分当点P在边上时，点在边上时，点在BC边上时三种情况进行计算即可． 【详解】解：分三种情况画图，如图所示，在正方形中， ∵， ∴， ∴, ①当点P在边上时，， ②当点在边上时，过点作于点F，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． ③当点在边上时，． ∴， ∴, 综上所述，的长为或2或. 故答案为：或2或． 三、(本大题共5 小题，每小题6分，共30分) 13. （1）计算：． （2）如图，是线段的中点，，．求证：． 【答案】（1）； （2）证明：是线段的中点， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，全等三角形的判定，平行线的额性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据实数的混合运算法则求解即可； （2）由是线段的中点，可得，根据，得到，即可得证． 【详解】（1）解： （2）略 14. （1）计算：． （2）在化简的过程中，小玉、小强同学分别给出了如下的部分运算过程： 小玉：原式 …… 小强：原式 …… （1）小玉解法的依据是___________，小强解法的依据是___________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）试选一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1） （2）②，③； 解：小玉：原式 ； 小强：原式 ． 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、算术平方根等知识进行计算即可； （2）（1）根据分式的基本性质和乘法分配律进行解答即可；（2）根据分式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 略 15. 如图，在的方格纸中，请按要求画出格点四边形． （1）在图1中以为边画一个格点，周长为整数． （2）在图2中以为对角线画一个格点．使． 【答案】（1） 如图，四边形为所求作的平行四边形， （2） 如图，四边形即为所求作的平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理，平行四边形的判定，熟练掌握网格特点是解题关键． （1）根据格点特点结合平行四边形的判定，画出即可； （2）根据题意画出，再根据平行四边形的判定画出即可． 【小问1详解】 解：，， 四边形为平行四边形，且周长为，符合题意． 【小问2详解】 解：，， 四边形为平行四边形，，符合题意． 16. 在一个不透明的口袋中装有分别标有数字的四个小球（除标号外，其余都相同），从中随机抽取一个球，再从余下的球中随机抽取一个球． （1）第一次从口袋中随机抽取一个球，抽到数字的概率是 ． （2）用列表法或画树状图法中的一种方法，求抽取的两个小球的数字之和大于的概率． 【答案】（1） （2）（两个小球的数字之和大于） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是解题的关键． （1）运用概率公式计算即可； （2）列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：共有4种等可能结果， ∴第一次从口袋中随机抽取一个球，抽到数字的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下， 共有12种等可能结果，其中两个小球的数字之和大于的有4种结果， ∴（两个小球的数字之和大于）． 17. 如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）求直线的函数解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式． （2）根据待定系数法求出直线的函数解析式，再利用平移即可求解． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解（1）的关键是将点A的坐标代入，解（2）的关键是求出直线的函数解析式． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点 ∴， 解得： ∴反比例函数的解析式为 【小问2详解】 设直线的函数解析式为， 把点代入得，，解得， ∴直线的函数解析式为， 由图象可知，直线向上平移3个单位长度得到直线 ∴直线的函数解析式为， 四、(本大题共 3 小题，每小题8分，共24分) 18. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元） 3 2 4400 2 3 4600 （1）求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩? 【答案】（1）单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为800元，1000元 （2）原计划平均每天制作20个充电桩 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为a元，b元，根据表格数据进行出方程组，再计算，即可作答． （2）设原计划平均每天制作x个充电桩，则实际平均每天制作个充电桩，再根据实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，进行列式，即可作答． 【小问1详解】 解：设单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为a元，b元，由题意得： ， 解得： 答：单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为800元，1000元． 【小问2详解】 解：设原计划平均每天制作x个充电桩，则实际平均每天制作个充电桩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划平均每天制作20个充电桩． 19. 如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C 的直线互相垂直，垂足为D，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接． 是的直径， ． ， ， ， ， 又， ，即， 为上一点， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，而，则，由为的直径，得，可推导出，即可证明是的切线； （2）连接，由，，求得，，而，所以，则，即可根据弧长公式求得的长是． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如上图，连接． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为1， 的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 20. 江西庐山素有“匡庐奇秀甲天下山”之美称．早在一千二百多年前，唐代诗人李白曾这样赞美庐山：“予行天下，所游山水甚富，俊伟诡特，鲜有能过之者，真天下之壮观也”．庐山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） （1）求索道的长；（结果精确到） （2）求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的实际应用问题． （1）中，利用即可求解； （2）在中，，先求出的高度，再加的高度即可求解． 【小问1详解】 解：在中， 由题意得， ； 即索道的长约为． 【小问2详解】 解：如图，延长交直线于点，易得， 在中， 由题意得， 即山顶点到水平地面的距离的长约为． 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 为迎接马拉松赛事，某中学七年级开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本． 【收集数据】 调查研究小组收集到50名学生的测试成绩： 60，61，62，94，73，73，85，85，87，72 63，64，70，66，74，65，67，75，76，71 94，93，84，91，76，82，83，83，92，84 80，80，82，92，91，86，77，86，88，72 70，71，93，90，81，90，74，78，81，75 【整理描述数据】 通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图： 组别 成绩分组 频数 A a B 16 C 16 D b （1）频数分布表中______，______，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中______，D所对应的扇形的圆心角度数是______． （3）抽取的50名学生测试成绩的中位数是______分． 【应用数据】 （4）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数． 【答案】（1）；， 补全图形如下： （2）；； （3）80； （4）人 【解析】 【分析】本题考查的是从统计图表中获取信息，利用样本估计总体，中位数，正确读懂统计图是解题的关键； （1）根据整理数据的结果可得的值，再补全频数分布直方图即可； （2）由D的人数除以总人数可得的值，由乘以D的百分比可得圆心角的大小； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）由总人数乘以D的百分比即可得到答案． 【详解】解：（1）整理数据可得：有：60、61、62、63、64、66、65、67； ∴； 的有：94、94、93、91、92、92、91、93、90、90、 ∴； （2）由题意得，， ∴； ∴所对应的扇形的圆心角度数是； （3）， 把这50名学生的测试成绩按照从低到高排列，处在第25名和第26名的成绩分别为80分，80分， ∴抽取的50名学生测试成绩的中位数是分； （4）若成绩不低于90分为优秀，估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的有（人）； 22. 某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点 B为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 其图象如图2所示，且点和点在图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由； （3）小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点 F与顶棚的竖直距离至少为，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升，求h的值． 【答案】（1） （2） 解：不能，理由： 由题意得，点F的横坐标为， 当时，， 故校车不能完全停到车棚内； （3）米 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到求函数表达式，理解题意，将题目中的数据和函数表达式对应是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由题意得，点F的横坐标为，当时，，即可求解； （3）设提高h米，则新抛物线的表达式为，由题意得，车最左上端（对应（2）中F）的横坐标为，当时，，则符合要求，即可求解． 【小问1详解】 解：把点和点代入得， ， 解得， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意得：新抛物线的表达式为：， 由题意得，车最左上端（对应（2）中F）的横坐标为， 当时，， 则， 故米， 23. 综合与实践课上，老师让同学们结合“全等与相似”开展数学活动． 【初步探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在线段，上，且，则与的位置关系是________，数量关系是________； 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点E，F分别为直线，上的动点，且，连接，．探究与存在的数量关系并说明理由； 【深入研究】 （3）如图3在（2）的条件下，若点E，F分别在边，的延长线上，的延长线与交于点H．点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3），理由如下； 如图所示，过点B作于M， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 【解析】 【分析】（1）设交于T，证明，得到，再导角证明即可得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）过点B作于M，证明，得到，导角证明，则可证明，推出，则可证明，由勾股定理得． 【详解】（1）解：设交于T， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； （3）略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形得性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉水县2025年九年级第二次模拟检测 数学试题 说明： 1．本卷分为试题卷和答题卷，答案请写在答题卷上，不要在试题卷上作答，否则不给分、 2．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题(本大题共6 小题，每小题3分，共18分) 1. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 据统计，截止2025年3月28日《哪吒之魔童闹海》(即《哪吒2》)总票房(含预售及海外)已突破亿元，位居全球影史票房榜第5名．将亿用科学记数法表示为 （ ） A. 9 B. 10 C. 8 D. 11 3. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在的正方形网格中，选择一个空白的小正方形，能与阴影部分组成正方体的展开图的方法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 5. 如图，在中，点D为上一点，连接，下列给出的条件不能得出的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是二次函数 的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 计算：__________． 8. 分解因式：___________． 9. 若m、n是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根，则的值为_____． 10. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数＝3×72＋2×71＋6＝147＋14＋6＝167（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是_________天． 11. 如图，电流表是测量电流必不可少的工具，把指针旋转中心计为点，针尖计为点，指针顺时针旋转某一度数，针尖为点，连接，若，，则指针的长度是______． 12. 如图，在正方形中，E是上的一点，且．若点P在正方形的边上，当为等腰三角形时，则的长为______． 三、(本大题共5 小题，每小题6分，共30分) 13. （1）计算：． （2）如图，是线段的中点，，．求证：． 14. （1）计算：． （2）在化简的过程中，小玉、小强同学分别给出了如下的部分运算过程： 小玉：原式 …… 小强：原式 …… （1）小玉解法的依据是___________，小强解法的依据是___________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）试选一种解法，写出完整的解答过程． 15. 如图，在的方格纸中，请按要求画出格点四边形． （1）在图1中以为边画一个格点，周长为整数． （2）在图2中以为对角线画一个格点．使． 16. 在一个不透明的口袋中装有分别标有数字的四个小球（除标号外，其余都相同），从中随机抽取一个球，再从余下的球中随机抽取一个球． （1）第一次从口袋中随机抽取一个球，抽到数字的概率是 ． （2）用列表法或画树状图法中的一种方法，求抽取的两个小球的数字之和大于的概率． 17. 如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）求直线的函数解析式． 四、(本大题共 3 小题，每小题8分，共24分) 18. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元） 3 2 4400 2 3 4600 （1）求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩? 19. 如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C 的直线互相垂直，垂足为D，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 20. 江西庐山素有“匡庐奇秀甲天下山”之美称．早在一千二百多年前，唐代诗人李白曾这样赞美庐山：“予行天下，所游山水甚富，俊伟诡特，鲜有能过之者，真天下之壮观也”．庐山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） （1）求索道的长；（结果精确到） （2）求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 为迎接马拉松赛事，某中学七年级开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本． 【收集数据】 调查研究小组收集到50名学生的测试成绩： 60，61，62，94，73，73，85，85，87，72 63，64，70，66，74，65，67，75，76，71 94，93，84，91，76，82，83，83，92，84 80，80，82，92，91，86，77，86，88，72 70，71，93，90，81，90，74，78，81，75 【整理描述数据】 通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图： 组别 成绩分组 频数 A a B 16 C 16 D b （1）频数分布表中______，______，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中______，D所对应的扇形的圆心角度数是______． （3）抽取的50名学生测试成绩的中位数是______分． 【应用数据】 （4）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数． 22. 某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点 B为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 其图象如图2所示，且点和点在图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由； （3）小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点 F与顶棚的竖直距离至少为，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升，求h的值． 23. 综合与实践课上，老师让同学们结合“全等与相似”开展数学活动． 【初步探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在线段，上，且，则与的位置关系是________，数量关系是________； 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点E，F分别为直线，上的动点，且，连接，．探究与存在的数量关系并说明理由； 【深入研究】 （3）如图3在（2）的条件下，若点E，F分别在边，的延长线上，的延长线与交于点H．点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $