精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州2024-2025学年九年级下学期《数学》二模试卷（名校调研）

吉林省延边朝鲜自治州2024-2025学年度 九年级下学期《数学》二模试卷（名校调研） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 北宋词人晏殊笔下《破阵子·春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 2. “月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料.如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：其俯视图是一个矩形，且中间有一条虚线． 故选：B． 3. 如图，若将三个数，，表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是（      ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，估算出各个无理数的大小，再结合数轴即可得解，正确估算出无理数的大小是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴能被墨迹覆盖的数是， 故选：B． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知在数轴上表示是不等式解集的表示方法是解题的关键． 根据不等式的性质即可求出x的解集，画出数轴表示出x的解集即可； 【详解】解： ； 将不等式的解集在数轴上表示如图： 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项和负整数指数幂，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在中，，以点A为圆心，按照要求进行尺规作图，若的面积是4，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题干作图过程，得是的平分线，得，因为的面积是4，，则，故，即可作答． 【详解】解：根据题干作图过程，得是的平分线， 过点作， ∴， ∵， ∴， ∵的面积是4，， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 的绝对值为____________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：的绝对值为， 故答案为：5． 8. 体育用品商店的每个排球的价格为x元，每个篮球的价格为y元，学校到体育用品商店购买6个排球，8个篮球共需的费用为________元．（用含x、y的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式．根据题意可得购买6个排球需要元，购买8个篮球需要元，最后二者相加即可． 【详解】解：∵每个排球的价格为元， ∴购买6个排球需要元； ∵每个篮球的价格为元， ∴购买8个篮球需要元． ∴一共需要元 故答案为：． 9. 若关于的方程有两个相等的实数根，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， 故答案为：1． 10. 小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出，则可得出正多边形的边数______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和公式及三角形内角和公式，根据，求出，结合正多边形的每个外角都相等求出外角，结合外角和求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵图形是正多边形花坛， ∴， ∴， 故答案为：5． 11. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：如图所示：过点C作， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】；－ 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先计算分式乘法，然后在进行同分母减法化简为最简分式，再把代入计算，即可得到答案． 【详解】解： ； 当把时 原式． 13. 某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示，这两种台灯各购进多少盏？ 价格/类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 【答案】购进A型节能台灯30盏，B型节能台灯20盏 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系．设A种台灯购进x盏，B种台灯购进y盏，据题意可得等量关系：A、B两种新型节能台灯共50盏，共用2500元；列方程组即可求解． 【详解】解：设购进A种新型节能台灯x盏，B种新型节能台灯y盏，由题意得：  ， 解得， 购进A型节能台灯30盏，B型节能台灯20盏． 14. 化学元素符号是化学学科特有的语言工具，用于表示各种化学元素的符号．化学老师在一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号S，C，N，O的小球（如图所示），这些小球除元素符号外无其他差别，化学老师从袋子中随机摸出一个小球（不放回），小明再从袋子中剩下的小球里随机摸出一个小球． （1）化学老师摸出的小球上面所标的元素符号是S的概率为___________； （2）用列表或画树状图的方法求化学老师与小明摸出的两个小球上标的元素能组成“”（一氧化碳）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题题考查了概率的计算，用列表法或树状图法求概率，掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键． （1）直接根据概率公式解答即可； （2）先根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数以及符合题意的结果数，最后根据概率的计算公式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：摸出的小球上面所标的元素符号是S的概率为． 故答案为： 【小问2详解】 解：画树状图如下：         由图可知共有12种等可能的结果，其中能组成“”（一氧化碳）的结果有2种， ∴化学老师与小明摸出的小球上标的元素能组成“”（一氧化碳）的概率为． 15. 图1是开封市龙亭大殿，龙亭大殿是公园内整个清代建筑群中的主体大殿坐北朝南，殿前是用青石雕刻的蟠龙盘绕的御道．某数学活动小组到龙亭景区测量龙亭大殿的高度，如图2，他们选取的测量点与大殿底部在同一水平线上，级蹬道平台高度为米，在处测得平台的仰角为，顶部的仰角为．根据以上测量数据，请帮助该数学活动小组求出龙亭大殿的高度．（结果精确到米，参考数据：，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：米，，然后在，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； 【详解】解：由题意得：米，，， 在中，， （米）， 在中，， （米）． 答：龙亭大殿的高度约为米． 16. 某一电路中，保持电压不变，电流与电阻成反比例，当电阻时，电流． （1）求I与R之间的函数关系式； （2）当电流时，求电阻R的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数知识在物理情境中的应用，解题关键是利用欧姆定律确定电压，进而建立函数关系式并代入求值； （1）可依据反比例函数的定义写出电流I与电阻R的关系式，然后将，代入关系式中，即可得I与R之间的函数关系式； （2）再将电阻的值代入反比例函数求解即得电阻值. 【小问1详解】 解：由物理知识可知：， 将，代入计算，得， ∴I与R之间的函数关系式为. 【小问2详解】 解：由（1）中I与R之间的函数关系式是， 将代入中， ∴． 17. 如图是正方形网格，请仅用无刻度的直尺，分别根据下列要求画出图形，并用实线保留作图痕迹． （1）请在图（1）中的线段上作点D，使最短； （2）请在图（2）中．在上找一点M、使得平分面积； （3）访在图（3）中，在上找一点N，使得将分成面积比为的两部分（找到一个即可）． 【答案】（1）如图所示，点D即为所求； （2）如图所示，点M即为所求； （3） 如图所示，点N即为所求； 【解析】 【分析】本题考查网格作图，三角形中线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）根据网格的特点和垂线段最短画图即可； （2）根据三角形中线的性质找到的中点即为所要求作的点M； （3）构造相似三角形利用相似三角形的性质将分成的两部分，连接，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴ ∴ ∴． 18. 为了激发学生探究科学的兴趣，培养学生的创新精神和实践能力，学校开展了以“智能生活”为主题的发明创造竞赛活动，要求参赛的学生结合生活实际，设计并制作一款智能生活小发明，解决生活中的实际问题．学生们积极参与，上交了大量的作品，学校将学生上交的作品，按科学性，创新性，实用性三个方面进行了评比，给出了每件作品的最终评分（参赛作品的成绩为百分制，最低分为分）．学校抽取了部分参赛学生的成绩，成绩用（单位：分）表示，并将其分成如下四组：：，：，：，：，统计出如下信息： 信息一： 信息二： 信息三：组的数据（单位：分）如下： ， 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求抽取成绩的学生人数； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）若全校参赛学生有人，请估计学生的成绩不低于分的人数． 【答案】（1）人 （2）分 （3）学生的成绩不低于分的人数约为人 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，用样本估计总体，条形统计图和扇形统计图信息关联，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）用组的人数除以组占的百分比即可求得抽取成绩的学生人数； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用全校参赛人数乘以抽取的学生中成绩不低于分所占的比例，即可求解． 【小问1详解】 解：（人）， 答：抽取成绩的学生有人； 【小问2详解】 解：由题意可知组有人，组有人，组有人， 组有（人）， 抽取的第个和第个学生的成绩为、， 所抽取的学生成绩的中位数为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计学生的成绩不低于分的有人． 19. 在一条笔直的公路上依次有三地，小明、小红两人同时出发．小明从地骑自行车匀速去地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往地，小红步行匀速从地至地．小明、小红两人距地的距离（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求小明、小红两人的速度． （2）求小明从地前往地过程中关于的函数表达式． （3）请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米． 【答案】（1）小明骑自行车速度是 （米/分），小红步行速度是 （米/分） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据图象，得到，小红走完用时间为，计算速度即可；根据图象，得到，小明走完用时间为，计算速度即可． （2）根据题意，小明从地前往地用时间为，故直线经过点和，设解析式，代入解答解答即可． （3）分类求解即可． 【小问1详解】 解：根据图象，得到，小红走完用时间为， 故小红的速度为：； 根据图象，得到，小明走完用时间为， 故小明的速度为：． 【小问2详解】 解：根据题意，小明从地前往地用时间为， 故直线经过点和， 设解析式， 故 ， 解得， 故解析式为． 【小问3详解】 ① ， 解得 ； ②，解得 ； ③ ， 解得 . 综上所述，经过分钟或分钟或分钟，符合题意. 【点睛】本题考查了函数图象信息的读取与应用，待定系数法求解析式，分类思想解答，熟练掌握待定系数法是解题的关键. 20. 【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述： 活动2 用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____． 【应用拓展】 （4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积． 【答案】 （1）四边形即为所求； （2）证明：如图2，连接，在与中， ， ； （3）；；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查筝形四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边四边形的定义进行画图即可； （2）根据证明即可得到结论； （3）证明，即可得到与的数量关系，再由得到位置关系； （4）根据进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）；； 由（2）可得， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （4）四边形是筝形， ， ． 21. 如图，在中，，，动点P从点A出发、以每秒2个单位的速度向终点运动；当点P不与A、重合时，过点P作的平行线交于点M．动点从点出发，以每秒3个单位的速度向终点A运动，以、为邻边作，点P、同时出发，设运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示的长； （2）设和重合部分的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）当四边形是轴对称图形时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）如图1中，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． （2）分三种情形：如图中，当时，重叠部分是四边形．如图中，当时，重叠部分是四边形，如图中，当时，重叠部分是，分别求解即可． （3）若四边形是轴对称图形，则其为菱形，分三种情况：当时，当，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图1中， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：当点，点Q重合时，，即，解得：； 当点与点A重合时，，解得：； 当点与点B重合时，，解得：； 过C作，则，即， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 如图中，当时，重叠部分是四边形， ； 如图中，当时，重叠部分是四边形，同（1）可得 ； 如图中，当时，重叠部分是， ； 综上所述，； 【小问3详解】 解：由题意可知，若四边形是轴对称图形，则其为菱形．分以下三种情况： 当时，， 由，得， 解得， 当， 由，得， 解得， 当时，点已到终点，在此时间段内四边形始终是菱形． 综上所述，满足条件的的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，且此抛物线经过点，点A、B均在此抛物线上，点A、B的横坐标分别为m、，过点B作y轴的垂线交此抛物线于点C，连接，以、为边作． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）当时，y的取值范围是_________； （3）当的长为2时，求点A的坐标； （4）当的顶点落在抛物线的对称轴上时，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键。 （1）根据对称轴计算公式可求出b的值，再把点的坐标代入解析式中计算求解即可； （2）把解析式化为顶点式得到顶点坐标，再根据开口方向得到离对称轴越远函数值越大，据此可得当时，函数有最小值，求出这个最小值即可得到答案； （3）根据题意可得点B和点C关于抛物线对称轴对称，则可得到点C的横坐标为，再根据的长为2建立方程求出m的值即可得到答案； （4）分点A在对称轴上和点D在对称轴上，两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，且当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围是； 【小问3详解】 解：∵轴， ∴与对称轴垂直， ∴点B和点C关于抛物线对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点C的横坐标为， ∵， ∴， 解得或， 在中，当时，，当时，， ∴点A的坐标为或； 【小问4详解】 解：如图所示，当点A在对称轴上时，则， ∴点A的坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点D在对称轴上时， 由平行四边形的性质可得， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 当时，， ∴，， ∴ 综上所述，平行四边形的面积为或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省延边朝鲜自治州2024-2025学年度 九年级下学期《数学》二模试卷（名校调研） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 北宋词人晏殊笔下《破阵子·春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. “月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料.如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若将三个数，，表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是（      ） A. B. C. D. 无法确定 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是 （ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以点A为圆心，按照要求进行尺规作图，若的面积是4，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 的绝对值为____________． 8. 体育用品商店的每个排球的价格为x元，每个篮球的价格为y元，学校到体育用品商店购买6个排球，8个篮球共需的费用为________元．（用含x、y的代数式表示） 9. 若关于的方程有两个相等的实数根，则____________． 10. 小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出，则可得出正多边形的边数______． 11. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）______．（结果保留） 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值： ，其中． 13. 某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示，这两种台灯各购进多少盏？ 价格/类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 14. 化学元素符号是化学学科特有的语言工具，用于表示各种化学元素的符号．化学老师在一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号S，C，N，O的小球（如图所示），这些小球除元素符号外无其他差别，化学老师从袋子中随机摸出一个小球（不放回），小明再从袋子中剩下的小球里随机摸出一个小球． （1）化学老师摸出的小球上面所标的元素符号是S的概率为___________； （2）用列表或画树状图的方法求化学老师与小明摸出的两个小球上标的元素能组成“”（一氧化碳）的概率． 15. 图1是开封市龙亭大殿，龙亭大殿是公园内整个清代建筑群中的主体大殿坐北朝南，殿前是用青石雕刻的蟠龙盘绕的御道．某数学活动小组到龙亭景区测量龙亭大殿的高度，如图2，他们选取的测量点与大殿底部在同一水平线上，级蹬道平台高度为米，在处测得平台的仰角为，顶部的仰角为．根据以上测量数据，请帮助该数学活动小组求出龙亭大殿的高度．（结果精确到米，参考数据：，，，） 16. 某一电路中，保持电压不变，电流与电阻成反比例，当电阻时，电流． （1）求I与R之间的函数关系式； （2）当电流时，求电阻R的值． 17. 如图是正方形网格，请仅用无刻度的直尺，分别根据下列要求画出图形，并用实线保留作图痕迹． （1）请在图（1）中的线段上作点D，使最短； （2）请在图（2）中．在上找一点M、使得平分面积； （3）访在图（3）中，在上找一点N，使得将分成面积比为的两部分（找到一个即可）． 18. 为了激发学生探究科学的兴趣，培养学生的创新精神和实践能力，学校开展了以“智能生活”为主题的发明创造竞赛活动，要求参赛的学生结合生活实际，设计并制作一款智能生活小发明，解决生活中的实际问题．学生们积极参与，上交了大量的作品，学校将学生上交的作品，按科学性，创新性，实用性三个方面进行了评比，给出了每件作品的最终评分（参赛作品的成绩为百分制，最低分为分）．学校抽取了部分参赛学生的成绩，成绩用（单位：分）表示，并将其分成如下四组：：，：，：，：，统计出如下信息： 信息一： 信息二： 信息三：组的数据（单位：分）如下： ， 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求抽取成绩的学生人数； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）若全校参赛学生有人，请估计学生的成绩不低于分的人数． 19. 在一条笔直的公路上依次有三地，小明、小红两人同时出发．小明从地骑自行车匀速去地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往地，小红步行匀速从地至地．小明、小红两人距地的距离（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求小明、小红两人的速度． （2）求小明从地前往地过程中关于的函数表达式． （3）请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米． 20. 【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述： 活动2 用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____． 【应用拓展】 （4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积． 21. 如图，在中，，，动点P从点A出发、以每秒2个单位的速度向终点运动；当点P不与A、重合时，过点P作的平行线交于点M．动点从点出发，以每秒3个单位的速度向终点A运动，以、为邻边作，点P、同时出发，设运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示的长； （2）设和重合部分的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）当四边形是轴对称图形时，直接写出t的取值范围． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，且此抛物线经过点，点A、B均在此抛物线上，点A、B的横坐标分别为m、，过点B作y轴的垂线交此抛物线于点C，连接，以、为边作． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）当时，y的取值范围是_________； （3）当的长为2时，求点A的坐标； （4）当的顶点落在抛物线的对称轴上时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $