精品解析：2025年 湖北省黄冈市红安二中教联体九年级中考数学模拟试卷(二）

2025年春湖北黄冈红安二中教联体九年级中考数学模拟试卷(二） （考试时间：120分钟 满分：120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 、0、、的大小顺序是（ ）． A. B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ） A. 主视图改变，左视图改变 B. 俯视图不变，左视图不变 C. 俯视图改变，左视图改变 D. 主视图改变，左视图不变 5. 如图，在平行四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点H．若，，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（　　） A. 方程两边分式的最简公分母是 B. 方程两边都乘以，得整式方程 C. 解这个整式方程，得 D. 原方程得解为 7. 如图是我国清代康熙年间八角青花碗，其轮廓是一个正八边形，若正八边形的边长为，对角线、相交于点．则线段的长为（ ） A. B. C. D. 12 8. 如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限内作矩形，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，，并且点A到x轴的距离为6，点B对应的坐标为．若为钝角三角形，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且，或 D. 且，或 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任意抽取一个数字，抽到的数是3的倍数的概率是________． 12. 在电压不变时，通过导体的电流（单位：A）与这段导体的电阻（单位：）是反比例函数关系，其函数图象如图所示，当一段导体的电阻时，通过该导体的电流的值为________________A． 13. 如图，甲、乙两盏路灯相距20米，一天晚上，当小刚从灯甲底部面向灯乙直行16米时，发现自己前面的身影顶部正好接触到路灯乙的底部，已知小刚的身高为米，那么路灯甲的高为______________米． 14. 如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是和，则的值是_____________． 15. 如图，在菱形中，，，在直线上取一点，使，连接，在的右侧作，使，射线交直线于点，则的长为________． 三．解答题（共9小题,共75分） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 已知：如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若平分，，，求四边形的周长． 18. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． （1）求和的解析式： （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 19. 2024年3月24日，武汉马拉松赛鸣枪开跑．本次赛事旨在增强全市民众科学健身意识．推动全民健身活动，本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和13公里跑三个项目赛后随机抽样了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表： 等级 A B C D 分数段 频数 440 280 40 请根据表中提供的信息．解答下列问题： （1）此次调查的样本容量是 ， ， ； （2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 度； （3）据悉，本次武汉马拉松，半程马拉松和13公里跑三个项目参赛人数共30000人，试估计其中评价武汉马拉松A等级的人数． 20. 如图，已知在平面直角坐标系中，点，，，． （1）求直线的解析式； （2）当时，连接，若直线与线段有交点，求整数的值； （3）若线段上存在一点，使得点关于直线的对称点在y轴上，请直接写出的取值范围． 21. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 22. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度，小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时，汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）当时，求y与x之间的函数关系式； （2）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 23. （1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上，若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在平行四边形中，E为上的一点，F为延长线上一点，且．若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G，若，，求的长． 24. 如图，已知矩形的三个顶点的坐标为点，．经过B，D两点的抛物线与线段交于点E（不与A，D两点重合），连接． （1）填空： ；直接写出点D的坐标（用含m，n的代数式表示）； （2）当时，，求a的值和抛物线顶点P的坐标； （3）当时，n的最大值是9，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春湖北黄冈红安二中教联体九年级中考数学模拟试卷(二） （考试时间：120分钟 满分：120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 、0、、的大小顺序是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据负数都比0小，正数都比0大，两个负数比较大小时绝对值越大反而越小比较即可． 【详解】∵、， ∴， ∴， 故选：A． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算．根据负整数指数幂，同底数幂的除法，幂的乘方，零指数幂的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ） A. 主视图改变，左视图改变 B. 俯视图不变，左视图不变 C. 俯视图改变，左视图改变 D. 主视图改变，左视图不变 【答案】D 【解析】 【详解】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变． 将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变． 将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变． 故选D． 5. 如图，在平行四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点H．若，，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由作图过程可知平分，得到，在平行四边形中，，，得到，得出，得到，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：由作图过程可知平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（　　） A. 方程两边分式的最简公分母是 B. 方程两边都乘以，得整式方程 C. 解这个整式方程，得 D. 原方程得解为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程．按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解：， 方程两边同时乘以去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴原方程无解， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D． 7. 如图是我国清代康熙年间八角青花碗，其轮廓是一个正八边形，若正八边形的边长为，对角线、相交于点．则线段的长为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，即可． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，， 在中，，， ， 同理， ， ， 故选：C． 8. 如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，连接，由线段垂直平分线的性质和弧弦圆心角的关系可得，即得和是等边三角形，可得，再利用等边三角形的性质和勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵垂直平分半径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴和是等边三角形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，即圆的半径为， 故选：． 9. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限内作矩形，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作轴于点，利用一次函数的性质求出点，的坐标，利用矩形的性质得到，通过证明得到，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点， 令，则， 令，则，解得， ，， ，， 矩形， ， ， 轴， ， ， ， 又， ， ， ，， ， 点的坐标为． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，，并且点A到x轴的距离为6，点B对应的坐标为．若为钝角三角形，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且，或 D. 且，或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，三角形的性质，点到坐标轴的距离，锐角三角函数等知识；正确分类是解题的关键； 根据题意，分为直角，为直角，两种情况分别求出的长即可得到答案； 【详解】解：如图1，当垂直于x轴时，为直角，此时，，即． 当时，为钝角，是钝角三角形， 当时，为钝角，也是钝角三角形． 当点B和点O重合时，围不成三角形，所以． 如图2，当为直角时，过点A作x轴的垂线，垂足为H， 已知，点到轴的距离为，则， 则， ∴， ∴， 当时，为钝角，为钝角三角形． 综上所述，当为钝角三角形时，且或， 故选：D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任意抽取一个数字，抽到的数是3的倍数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】用抽到的数是3的倍数的结果数除以所有等可能结果数即可． 【详解】解：∵任意抽取一个数字共有10种等可能结果，其中抽到的数是3的倍数的有3、6、9这3种结果， ∴抽到的数是3的倍数的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，熟记事件A的概率公式：事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 12. 在电压不变时，通过导体的电流（单位：A）与这段导体的电阻（单位：）是反比例函数关系，其函数图象如图所示，当一段导体的电阻时，通过该导体的电流的值为________________A． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知自变量值求函数值等．根据题意设反比例函数解析式为，将点代入其中得到，再将代入求出得反比例解析式即可求出本题答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将点代入中，得到， ∴， ∴电阻时，通过该导体的电流的值为：， 故答案为：． 13. 如图，甲、乙两盏路灯相距20米，一天晚上，当小刚从灯甲底部面向灯乙直行16米时，发现自己前面的身影顶部正好接触到路灯乙的底部，已知小刚的身高为米，那么路灯甲的高为______________米． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， 则， 解得， 故答案为：． 14. 如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是和，则的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，等腰直角三角形性质及应用等．根据题意设大正方形边长为，则大正方形对角线为，得到，，均是等腰直角三角形，继而得到，，即可得到本题答案． 【详解】解：设大正方形边长为，则大正方形对角线为， 将图中进行命名如下： ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，均是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，在直线上取一点，使，连接，在的右侧作，使，射线交直线于点，则的长为________． 【答案】6或12 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、解直角三角形，勾股定理，结合图形作垂线构造直角三角形是解题的关键．根据题意，分①点在线段上；②点在延长线上2种情况讨论，作于点，根据菱形的性质和解直角三角形的相关知识即可求解． 【详解】解：①若点在线段上，如图，作于点，则， 菱形， ，， ， 在中，， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ； ②若点在延长线上，如图，作于点，则， 同理①中的方法可得，，， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 点与点重合， ； 综上所述，的长为6或12． 故答案为：6或12． 三．解答题（共9小题,共75分） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据运算法则先进行化简再将代入即可． 【详解】解：原式 ， 将代入， 即可得到原式． 17. 已知：如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若平分，，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． （2）32 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，而，所以，即可证明四边形是平行四边形； （2）由，，推导出，则，所以四边形是菱形，而，则是等边三角形，所以，即可求得四边形周长是32． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形周长是32． 【点睛】此题重点考查等式的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形的周长等知识，证明，以及在平分的条件下证明四边形为菱形是解题的关键． 18. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． （1）求和的解析式： （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）， （2）此时水面的直径为 （3）锅盖不能正常盖上， 理由如下， 当时，抛物线，， 则， 那么，锅盖不能正常盖上． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质， 根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； 根据已知的直径所对的圆周角为直角求得对应的y值，代入解析式即可求得水面高度； 将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可． 【小问1详解】 解：抛物线过点， 设和的解析式为：； ∵抛物线经过， ∴，解得， 则， ∵抛物线还经过， ∴，解得， 则； 【小问2详解】 解：当炒菜锅里的水位高度为时，，即，解得， 则此时水面的直径为； 【小问3详解】 略 19. 2024年3月24日，武汉马拉松赛鸣枪开跑．本次赛事旨在增强全市民众科学健身意识．推动全民健身活动，本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和13公里跑三个项目赛后随机抽样了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表： 等级 A B C D 分数段 频数 440 280 40 请根据表中提供的信息．解答下列问题： （1）此次调查的样本容量是 ， ， ； （2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 度； （3）据悉，本次武汉马拉松，半程马拉松和13公里跑三个项目参赛人数共30000人，试估计其中评价武汉马拉松A等级的人数． 【答案】（1）800；40；5 （2）126 （3）16500人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表以及扇形统计图； （1）根据等级的人数除以占比得出总人数，进而求得，的值； （2）根据等级的占比乘以，即可求解； （3）用总人数乘以等级的百分比计算即可求解． 【小问1详解】 解：此次调查的样本容量是， ， ，即， 故答案为：800；40；5． 【小问2详解】 解：， 故答案为：． 【小问3详解】 解：（人）， 答：评价武汉马拉松A等级的人数的有16500人． 20. 如图，已知在平面直角坐标系中，点，，，． （1）求直线的解析式； （2）当时，连接，若直线与线段有交点，求整数的值； （3）若线段上存在一点，使得点关于直线的对称点在y轴上，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）直线的函数解析式为 （2）整数k的值为或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，轴对称图形的性质，掌握待定系数法，轴对称图形的性质是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）当时，点的坐标为，分类讨论：当直线经过点时，当直线经过点时，代入计算即可求解； （3）根据轴对称图形的性质，数形结合分析即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为，且直线经过点，， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，点的坐标为， 当直线经过点时，可列方程为， 解得， 当直线经过点时，可列方程为， 解得， ∴， ∴整数k的值为或． 【小问3详解】 解：． 如图，设线段关于直线的对称线段为，则垂直平分线段和，分别交于点， 若点恰好在y轴上， ∴为等腰直角三角形 ∵点， ∴点P的坐标为． 当点P向上平移时，线段与y轴有交点，即线段上存在一点M，使得点M关于直线的对称点在y轴上， ∴． 21. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、，交于点， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度，小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时，汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）当时，求y与x之间的函数关系式； （2）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】（1）； （2）这辆汽车减速前没有超速． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数关系式是解答本题的关键． （1）根据题意知以平均时速为100千米/时行驶小时的路程为20千米，据此可得的值，进一步利用待定系数法解答即可； （2）由题意求出先匀速行驶小时的速度即可判断． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得：， 设当时，y与x之间的函数关系式为， 则： 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴ 先匀速行驶小时的速度为：（千米/时）， ∵， ∴ 这辆汽车减速前没有超速． 23. （1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上，若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在平行四边形中，E为上的一点，F为延长线上一点，且．若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ， ， ； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，得出； （2）由平行四边形的性质得出，证明，得出，求出，进而求出； （3）连接，证明，得出，即，即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ， 又 ∵， ， 又 ∵， ， ， ， ； （3）解：连接， ∵四边形为菱形， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，负值舍去， ， ， ， ∴为直角三角形，， ， ∴在中根据勾股定理得：， ， ， ， ， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 24. 如图，已知矩形的三个顶点的坐标为点，．经过B，D两点的抛物线与线段交于点E（不与A，D两点重合），连接． （1）填空： ；直接写出点D的坐标（用含m，n的代数式表示）； （2）当时，，求a的值和抛物线顶点P的坐标； （3）当时，n的最大值是9，求此时的值． 【答案】（1）8； （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用可得，再由点坐标及矩形性质可得； （2）根据题意可得，继而得到，再证明，后利用相似性质可得，解得，继而得到本题答案； （3）根据可得，后得到，继而得到，后得到，继而得到当时，，求出本题答案． 【小问1详解】 ，理由如下： 已知矩形的三个顶点的坐标为点， ∴轴，， ∴， ∴点D与点A纵坐标一致， ∴， 故答案为：8； 【小问2详解】 ∵ ∴，对称轴为直线， ∵，由图象可知，关于直线对称， ∴，， ∵点E在线段上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，代入并整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴， ∵把代入得： ， 解得：， ∴； 【小问3详解】 把，代入，得： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，n的最大值是9， ∴当时，， ∴， ∵ ∴， 此时． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查矩形性质，由点坐标求线段长度，相似三角形判定及性质，二次函数图象及性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $