陕西省2025届高三第十次模拟考试数学试题

2025届陕西省第十次模拟考试 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知集合A=0,1,2,3,4},B={x1-2≤x-1≤21，则AnB= A.1xl-1≤x≤3} B.10,1,2,31 C.11,2,3 D.{31 2.复数z=(1+2i)(1+i)的虚部是 A.-1 B.1 C.-3 D.3 3.某校学生会有男生8人，女生12人，现从男生中选出7人，从女生中选出11人参加志愿活 动，则不同的选法种数为 A.48 B.96 C.144 D.192 4.已知向量a=(x,1),b=(-3,2-x),若a,b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为 A(分3u(3,+) B.(-1,3)U(3,+m) c(分，+) D.(-引 5.已知(x)为定义在(-4,4)上的奇函数，若f(x)在[0,4)上单调递减，则满足不等式 f(a+1)+f(1-a2)>0的实数a的取值范围是 A.(-5,+m)》 B.(-5,2) c.(-5,-1)U(2,5) D.(-5,-1)U(1,5) 数学 试题第1页（共4页） CS扫描全能王 亿人在用的扫描A 6.已知in2a=分，且ae(任引，则tma+)= A.-4 B.-2万 C.-2 D.-5 7.已知函数八x)=(x-a-1)c-(侵-b是R上的增函数，则 A.a=b B.a=3 C.a =In b D.a=e! 8.与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，两个垂足之间的线段叫做 公垂线段，已知任意两条异面直线有且仅有一条公垂线段，且公垂线段是分别连接两条异 面直线上两点的线段中最短的一条.如图，在四面体ABCD中，AD是异面直线AB和CD的 公垂线段，「为四面体ABCD的内切球半径，则 AB·CD AB·CD A.r(AB+CD) 中5 B.r<(AB +CD) AB·CD·AD AB·CD·AD C.r(AB+CD+AD) D.r<6(AB +CD+AD) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知正数x,y满足2x+y=1,则 A可≤品 B1+2≥8 x y C.2x+5≤万 D.+y≥号 10.已知函数八x)=3im2x+引)+2，则下列结论正确的是 A.直线x=受是人x)的图象的一条对称轴 By=x-引+2为奇函数 C.f八x)在区间(0，)内有两个零点 D.若八)八名)=-5且八x)<八)，则x-名的最小值为g 数学 试题第2页（共4页） CS扫描全能王 亿人在用的扫描A 1如删，已知双曲线- =1(a>0,6>0)的焦距为8，点P为 2 ☑双曲线右支上一点（位于第一象限），且PF,1PF,Q为 ∠F,PF,的平分线上一点，满足0Q∥PF,I0Q1=2,则 A.10PI=4 B.1PF,I=22-2 C.离心率e=2 D.△F,PF,的面积为12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知{a.1是公比为2的等比数列，{b1是公差为4的等差数列，若4=20，b,=a1,则1b,} 的通项公式为b,= 13.在对某中学高三年级学生体重（单位：kg)的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样 的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为 54,20,抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45,11，则估计该校高三年级学 生体重的方差为 14.已知实数a,b满足√a-46=a-26,记a的取值集合为M,则M中的整数有 个 四、解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b-a2=c2-ac (I)求B: (Ⅱ)若D为AC边的中点，BD=3,ac=6,求b. 6.(15分) 已知幅圆E5+后-1a>60)的离心率为9.且B过点（1,0 (I)求E的方程： （Ⅱ)若斜率为2的直线1与y轴交于点D,与E交于M,N两点，证明：IDMI2+IDN2为 定值。 数学 试题第3页（共4页） CS扫描全能王 亿人■在用的扫描A 17.(15分) 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD,AD=2,LBMD=号，AB= AS =BS=4,SD=23. (I)求证：AD⊥BS: (Ⅱ)求二面角A-BS-C的正弦值 18.(17分) 5 已知函数)=2-)-alhx(aeR),设)的图象在x=1处的切线为：y=+6, (I)若a=1,证明：当x>0时(x)≤k:+b; (Ⅱ)若八x)有三个零点，名，(x<名3<).小日，位共：t (i)求a的取值范围； 经东萨日四合4 (i)证明：2(a-1)x1+(a+2)>3a. 0S, 行位105.1 19.(17分) 将n个正整数构成的数列a1,42,,a,变为1,2，…，a1-1,a1,1,2,…,4-1,4,,1, 2,…,a,-1,a,的操作称为一次“扩展”.现对数列1,2,3，…，n扩展m次 (1)若n=3,m=2,写出扩展后的数列； (Ⅱ)设扩展m次后得到的数列所有项之和为S(n,m),证明：S(n,m)=C1: (Ⅲ)从第2025次扩展后的数列中任取一项，求取到数字i(1≤≤)的概率P 数学 试题第4页（共4页） CS扫描全能王 亿人■在用的扫描A 2025届陕西省第十次模拟考试 数学答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.B 2.D 3.B 4.A 5.c 6.D 7. 8.A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.BCD 10.AC 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.4n+1 13.36 14.3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解析(1)因为b-a2=c2-r, 所以c=a2+c2-2, 由余弦定理得osB=g+c之-。 2 (3分) 2ac 又Be(0,m),所以B=号 (5分) (Ⅱ)设AD=DC=x, 由余弦定理知，在△ABD中，cos∠ADB=亡+9-C 6x 在△BCD中，es∠BDC=+9-a 6x 又∠AD8+∠BDC=,所以2+9-C=-+9-d.则2+2=22+18，…(（9分) 6x 6x 在△ABC中.(2x)2=d2+2-2aw号，义c=6.所以。2+2=4+6，…（11分） 所以2x2+18=4x2+6.解得x=6.所以b=2x=26.…(13分) rb=l, 16.解析 (1)由题意得 a-F B (2分) 2， 得a=2. (4分) 故E的方程为片+=1 (5分) (Ⅱ)设D(0,),(11),N(2),则直线I的方程为y=2x+1, 与片+r=1联立，得82+4加+-4=0. CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap明 则4=168-f)>0,且马+6=-分g …（10分）》 所以1DMI2+1DN12=x号+(1-)2+x+(2-t)月 =x+(2x,)2+x+(2x)2=5(x+x)=5[(1+x2)2-2x1x2]=5, 故1DW川2+1DN川2为定值.…(15分)》 7.解析(1)如图，连接BD.因为LBD=子 由余弦定理得BD=AD2+AB-2AD·ABo号，得BD=25 ,…(2分)》 所以AD2+B3=AB,故BD⊥AD.…(3分) 因为A2=S)+A,所以AD⊥SD,… ……(4分） 又BD∩SD=D,所以AD⊥平面BDS,… (5分) 因为BSC平面BDS,所以AD⊥BS. (6分) (Ⅱ)方法一：延长AD,BC交于点E,连接SE,如图 因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD,∠BD=号. 所以LABC=于，所以△ABE为等边三角形， 所以AE=BE=4,又BC=AD=2,所以D,C分别为AE,BE的中点. 在△ASE中，SD⊥AE,D是AE的中点，所以SE=4, 又BS=4,所以四面体SMBE为正四面体.… …(9分) 取BS的中点F,连接AF,EF则AF⊥BS,EF⊥BS,AF=EF=2万. 所以∠AFE为二面角A-S-C的平面角，… (12分) 因为@LAB=AE-子 2AF·EF …(13分)》 所以二面角4-的-C的正弦值为32华 …(15分） 方法二：由(I)知AD⊥平面BDS,以D为原点，DA,DB所在直线分别为x,y轴，在平面BDS内过点D作垂直 于平面ABCD的直线为：轴，建立空间直角坐标系，如图. 则A(2,0.0),B0,25.0).易知BC=AD=2,LCBD=∠CDB=石.所以CD=2.则c(-1.5.0), 一2 CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap明 由于s=4.D=5D=2万，所以点3到6D的距离为5得S0,29,) …(8分) 所以a(-225.0衣=(-2.29,4) L..4.. (9分) 设平面S4B的法向量为m=(x,y,z), r-2x+25y=0, 即 …(11分） 同理可得平面8C的一个法向量为n=(-5,1.】 (13分)》 所以1o(ma1=:=宁 所以二面角4-5-C的正弦值为号 (15分) 18解析(1)若a=1则x)=2(-）-hx10=0. =2+是-10=3 (2分)》 切线1的方程为y=3x-3,即k=3,b=-3. (3分) 要证2x-）-h≤3x-3.即证x+2+hx-3≥0. 令a)+2+h-3.则)=1-是+-20 令g(x)=0,得x=1,当xe(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增. …(5分) 所以g(x)≥g(1)=0,故原命题得证。…(6分) (I)(i)=2-)-lhx显然有1)=0. ∫0x)=2=+2x>0. 一3一 CS扫描全能王 3亿人■在用的扫描Ap ①若a≤4，则了(x)≥0恒成立，所以八x)在(0，+x)上单调递增， 所以(x)在(0，+x)上只有一个零点x=1,不符合条件 …(7分) ②若a>4,令∫'(x)=0,得2x2-ax+2=0,记其两根分别为P,9(p<g), 则p+9=受>2m=l,所以0<p<1<4 由f(x)>0,得0<x<p或x>g,由f'(x)<0,得p<x<g 所以八x)在(0，P),(9,+)上单调递增，在(P,9)上单调递减， 又八1)=0.所以p)>0八g)<0, 当x++时x)→+，（或取点x=e”,易证八e)>0) 所以八x)在(1，+g）上有唯一零点，为名(x>1),…(9分) ）子-24，-女-（子-h小-）0，ge0 所以)在(0，)上有唯一零点=号从而与=山 所以a的取值范围是(4，+多). …(12分） (i)由(i)知，>1， 且)=2x-2-4h3=0,所以lh,=2,-2 由(1)得，当x>1时，hx>3-x-2 所以2，-子=h>3-,-） …（14分) 整理得(a+2)x1 2a-2>3a 又x1=,所以2(a-1)x,+(a+2)x1>3a. …(17分)》 19.解析(1)由题.第1次扩展得到1,1,2,1,2,3.…(1分) 第2次扩展得到1,1,1.2,1,1,2,1,2,3.…(2分） (Ⅱ)第1次扩展： S(n,1)=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+n) =1+1+2)x2,1+3)x3+…+1+）×四 2 2 2 (4分) 利用等式山+mn=C,以及C+C=C 2 可得S(n,l)=C+C+C+…+C2=C+C+C+…+C1=C,…(6分) 第2次扩展，相当于对n个数列1：1,2：1,2,3：…1,2，…，n分别扩展1次， 所以S(n,2)=S(1.1)+S(2.1)+S(3,1)+…+S(n.1) =C+C+Cg+…+C2=C 第3次扩展.相当于对n个数列1：1,2：l.2,3::1,2.…,n分别扩展2次， -4 CS扫描全能王 3亿人■在用的扫描Ap明 所以S(n,3)=S(1,2)+S(2,2)+S(3,2)+…+S(n,2) =Cd+Cg+Cg+…+C,=C 以此类推，第m次扩展，相当于对n个数列1：1,2：1,2,3：…：1,2，…，n分别扩展(m-1)次， 所以S(n,m)=S(1.m-1)+S(2,m-1)+S(3,m-1)+…+S(n,m-1) =Cg+C+C+…+C=C… …(10分) (Ⅲ)每次扩展时，将数字扩展得到了n个数，故扩展后数列的项数恰好等于上一次扩展后的数列所有项的 和，故第2025次扩展后数列的项数为S(n,2024)=C学e…(13分) 每次扩展时，小于！的数不会扩展得到：，每个大于或等于！的数字都扩展得到了一个，所以·的频数是上一 次扩展后的数列中大于或等于！的数的频数之和，如： 因为1,2，…，n中大于或等于‘的数有(-1+1)个，所以第】次扩股后的数列中·的频数为n-+1,即 C1,列表如下： 数字 2 4 1+1 频数 c c c 第2次扩展后的数列中1的频数为C1+C+C1+…+C=C,列表如下： 数字 1 2 4+1 顿数 C c Ci. C c 同理，第3次扩展后的数列中1的频数为C:+C1+C,+…+C=C: 以此类推，可知第2025次扩展后的数列中1的频数为C::…(16分) 根据古典概型的概率计算公式可得P,= Ci …(17分) 5- CS扫描全能王 1亿人■在用的扫描A如2025届陕西省第十次模拟考试 数学答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.B 2.D 3.B 4.A 5.c 6.D 7.C 8.A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.BCD 10.AC 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.4n+1 13.36 14.3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解析(1)因为62-a2=c2-ac, 所以ac=a2+c2-b2 由余弦定理得osB=+c2-&。 (3分) 2ac 2 又Be(0,m).所以B=号 (5分) (Ⅱ)设AD=DC=x, 由余弦定理知，在△ABD中，cos∠ADB=+9-c 6x 在△BCD中，os∠BDC=+9-a 6x 又∠A0B+∠BDC=m,所以2+9-E。+9.-d则2+2=2r+18,…(9分) 6x 6x 在△ABC中，(2x)2=d2+2-2aceo号.又ac=6,所以。2+2=4+6，…(11分) 所以2x2+18=4x2+6,解得x=√6，所以b=2x=26.……(13分) b=1, 16.解析(1)由题意得 a-8 B (2分) 得a=2. (4分) 故E的方程为+2=1.… (5分) (Ⅱ)设D(0,),M(x11),N(x22),则直线1的方程为y=2x+1, 与号+r2=1联立，得82+4+-4=0， 一一 则4=6(8-)>0，且+=宁=号 …（10分） 8 所以1DM2+1DN2=x+(1-1)2+x+(-) =x7+(2x1)2+号+(2x2)2=5(x7+x)=5[(x1+x2)2-2x1x2]=5, 故1DMI2+1DW2为定值. …（15分) 17.解析(1)如图，连接BD,因为LBAD=于。 由余弦定理得BD=AD+AB-2AD·ABo于，得BD=2万， (2分) 所以AD2+BD=AB,故BD⊥AD. (3分) 因为AS2=SD2+AD,所以AD1SD.… (4分) 又BD门SD=D,所以AD⊥平面BDS,… (5分) 因为BSC平面BDS,所以AD⊥BS.… (6分) B (Ⅱ)方法一：延长AD,BC交于点E,连接SE,如图. 因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD,LMD=号， 所以LABC=号，所以△ABE为等边三角形。 所以AE=BE=4,又BC=AD=2,所以D,C分别为AE,BE的中点. 在△ASE中，SD⊥AE,D是AE的中点，所以SE=4, 又BS=4,所以四面体S4BE为正四面体. (9分) 取BS的中点F,连接AF,EF,则AF⊥BS,EF⊥BS,AF=EF=25, 所以∠AFE为二面角A-BS-C的平面角，…（2分） 因为e8LAE=A十F迟={，恤 2AF·EF …(13分） 所以二面角4-5-C的正弦值为号 …（15分） 方法二：由(I)知AD⊥平面BDS,以D为原点，DA,DB所在直线分别为x,J轴，在平面BDS内过点D作垂直 于平面ABCD的直线为：轴，建立空间直角坐标系，如图. 则A(20,0),8(0,25,0),易知BC=A0=2,LC8D=LCDB=石，所以CD=2,则C(-1万.0)， -2- 由于s=4,BD=50=25,所以点S到D的距离为5得S0,25,4) …(8分)》 所以=(-226.0)衣=(-2,25 …(9分） 设平面SB的法向量为m=(x,yz, rm·店=0， 【-2x+25y=0, 即 (11分) 同理可得平面S8C的-个法向量为m=(-万，1号》 (13分) 所以es(m,1=h=宁 所以二面角4-S-C的正弦值为亭 ……（15分） 18解桥(1)若a=1,则)=2-）-hx)=0, ）=2+-）=3 (2分) 切线1的方程为y=3x-3,即k=3,b=-3.… (3分) 要证2-）-nx≤3x-3,即证x+子+hx-3≥0。 令6)=+是+h-3.则)=1-子+上=-2>0 今g'(x)=0,得x=1,当xe(0,1)时，g(x)<0,g(x)单调递减，当xe(1,+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增. …(5分） 所以g(x)≥g(1)=0,故原命题得证… …(6分) ()i水)=2x-)血，显然有四=0. r()=2-+2x>0. 一3一 ①若a≤4，则f(x)≥0恒成立，所以f八x)在(0，+x)上单调递增， 所以八x)在(0，+)上只有一个零点x=,不符合条件.…(7分》 ②若a>4,令∫'(x)=0,得2x2-ax+2=0,记其两根分别为p,9(p<g), 则p+9=号>2，叫=l,所以0<p<1<4 由f'(x)>0,得0<x<p或x>9,由∫(x)<0,得P<x<q, 所以八x)在(0，P),(g,+∞)上单调递增，在(P,9)上单调递减， 又1)=0，所以八p)>0g)<0, 当x一→+e时(x→+g,(或取点x=e°，易证八e)>0) 所以八x)在(1，+实)上有唯一零点，为(>1)，…(9分） ）子-2，-ah=-(2,-子-血-=0，e0. 所以)在(0,1)上有唯一零点=子从面=山 所以a的取值范围是(4。+的).…（12分） (ⅱ)由(i)知x>1, 且）=2，子-ah与0，所以h2,-号 (1)得，当x>1时，nx>3-x-2 所以2，-子=>3--子） (14分) 整理得(a+2)x,+24-2>30. 又，=，所以2(a-1)x+(a+2)x1>3a.… 19.解析(1)由题，第1次扩展得到1,1.2,1,2,3.… (1分) 第2次扩展得到1,1,1,2.1,1,2,1,2,3.… (2分) (Ⅱ)第1次扩展： S(n,1)=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+n) =1+L+2）2.L+9）x3+…+1+）x…(4分) 2 2 2 利用等式1+m山=C.,以及C:+C=C. 2 可得S(n,l)）=C+C+C+…+C1=C+C+C好+…+C,=C+:…(6分) 第2次扩展，相当于对n个数列1：1,2：1,2,3：：1,2，…，n分别扩展1次， 所以S(n,2)=S(1.I)+S(2,1)+S(3,1)+…+S(n,1) =Cg+C+Cg+…+C2=C 第3次扩展，相当于对n个数列1；1,2；1,2,3；：，2，…，n分别扩展2次， 一4 所以S(n,3)=S(1,2)+S(2,2)+S(3,2)+…+S(n,2) =C+C+C+…+C,=C 以此类推，第m次扩展，相当于对n个数列1：1,2；1,2,3；…：1,2，…，n分别扩展(m-1)次， 所以S(n,m)=S(1,m-1)+S(2,m-1)+S(3,m-1)+…+S(n,m-1) =Cg+C+Cg+…+C=Cg… …(10分) (Ⅲ)每次扩展时，将数字扩展得到了n个数，故扩展后数列的项数恰好等于上一次扩展后的数列所有项的 和，故第2025次扩展后数列的项数为S(n,2024)=C2胜 …(13分） 每次扩展时，小于1的数不会扩展得到，每个大于或等于：的数字都扩展得到了一个1，所以：的频数是上一 次扩展后的数列中大于或等于！的数的頻数之和，如： 因为1,2，…，n中大丁或等丁！的数有(-【+1)个，所以第1次扩辰后的数列中！的频数为-4+1，即 C-,列表如下： 数字 2 4+1 频数 c c c c 第2次扩展后的数列中1的频数为C1+C,+C-1+…+C=C列表如下： 数字 1 2 4+1 n 频数 C c Ci2 C c 同理，第3次扩展后的数列中1的频数为C2+C1+C,+…+C=C 以此类推，可知第2025次扩展后的数列中1的频数为C:…… (16分) 根据古典概型的概率计算公式可得P,= C:些 (17分) 202 -5