上海市朱家角中学2024-2025学年高三下学期第二阶段质量监测数学试卷

上海市朱家角中学2024学年度第二学期第二阶段质量监测

高三数学

（时间120分钟  满分150分）  2025.5

一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）

1. 已知复数 （i是虚数单位），则______

2. 已知A工厂库房中的某种零件60％来自甲公司，正品率为90％；40％来自乙公司，正品率为95％，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为______

3. 已知集合，，则______

4. 已知，，则______（用、表示）

5. 在的展开式中，的系数为_________．

6. 已知圆柱的底面半径为3cm，侧面积为cm3，则此圆柱的体积为______cm3

7. 若函数的一个零点是，则函数的最大值为______

8. 若向量与不共线也不垂直，且，则______.

9. 若函数在区间上恰有两个不相等的实数满足，则实数的取值范围是______．

10. 如图，相距；在的方向，相距，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向三地转运货物．经测算，从到两地修建公路费用都是万元/km，从到修建公路的费用为万元/km.选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是_____万元（精确到，且）．

11. 能够使得命题“曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形是正方形”为真命题的实数m的取值范围是______.

12. 已知数列共有5项，且满足：①，；②；③，．则满足条件的数列共有______个

二、选择题（第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）

13. 下列结论正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，，则 D. 若，则

14. 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到，，…，共个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”应该满足与所有测量数据的差的平方和最小.由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值”应是（    ）

A.  B.  C.  D.

15. 如图，点N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段EB的中点，则（    ）

A. DM≠EN，且直线DM、EN是异面直线

B. DM＝EN，且直线DM、EN是异面直线

C. DM≠EN，且直线DM、EN是相交直线

D. DM＝EN，且直线DM、EN是相交直线

16. 已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题p：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命

题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是（    ）

A. 、都是p的充分条件 B. 只有是p的充分条件

C. 只有是p的充分条件 D. 、都不是p的充分条件

三、解答题（第17-19题每题14分，第20、21题每题18分，满分78分）

17. 如图，在三棱锥中，，，点O是AC的中点．

（1）证明：平面ABC；

（2）点M在棱BC上，且，求二面角的大小．

18. 已知等比数列的公比，且，．

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围．

19. 火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.

600	592	43837.2	93.8

 

（1）求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数；

（2）根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为，求的分布列和数学期望.