精品解析：吉林省通化市梅河口市博文学校2024-2025学年高一上学期第一次考试数学试卷

2024-2025学年第一学期第一次考试 高一数学试卷 第I卷 选择题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求） 1. 若集合，则集合中元素的个数为（ ） A. 3 B. 7 C. 8 D. 6 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 6. 若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为（ ） A. m＞n B. m≥n C. m＜n D. m≤n 7. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ）. A. 命题“，”的否定是“，” B. 命题“，”是假命题 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 设，，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 1 11. 已知，，，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，则_____________ 13. 已知不等式mx2﹣mx+1＞0，对任意实数x都成立，则m的取值范围为______. 14. 已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. （1）已知，， 求的最小值； （2）已知，求的最大值； 16. 已知集合，，. （1）求； （2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围. 17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题： 已知集合，． （1）当时，求； （2）若___________，求实数的取值范围． 18. 已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 19. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期第一次考试 高一数学试卷 第I卷 选择题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求） 1. 若集合，则集合中元素的个数为（ ） A. 3 B. 7 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】由题意可得， 所以集合中元素的个数为3， 故选：A 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】全称量词命题的否定，首先把全称量词改成存在量词，然后把后面结论改否定即可. 【详解】因为命题是全称量词命题，则命题为存在量词命题， 由全称量词命题的否定得，命题：. 故选：D. 3. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】对于A项，，因为0，所以，即，A项错误； 对于B项，例如，，而，B项错误； 对于C项，由，得，所以，C项正确； 对于D项，例如，，但，D项错误． 故选：C． 4. 已知为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】当时，且，所以成立， 当时，得或，即不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用补集的概念求出，然后利用交集运算求解即可. 【详解】由可得或， 又，所以. 故选：A. 6. 若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为（ ） A. m＞n B. m≥n C. m＜n D. m≤n 【答案】B 【解析】 【分析】运用作差法进行比较即可得到答案. 【详解】因为m－n＝(2x2＋2x＋1)－(x＋1)2＝2x2＋2x＋1－x2－2x－1＝x2≥0. 所以m≥n. 故选：B. 7. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成在上恒成立，从而得到，再利用充分条件与必要条件的判定方法即可求出结果. 【详解】由“，”为真命题，得对于恒成立， 令，易知，时，，所以，， 故“”是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件， 故选：A． 8. 若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再由乘1法和基本不等式可得最小值，由二次不等式的解法可得所求范围． 【详解】正实数满足，所以， 由恒成立，可得， ， 当且仅当时上式取等号， 则，解得， 故实数的取值范围是， 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ）. A. 命题“，”的否定是“，” B. 命题“，”是假命题 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用量词命题的否定与真假性判断AB，利用充分与必要条件的定义判断CD，从而得解. 【详解】对于A，根据存在量词命题的否定形式可知A正确； 对于B，在中，，所以方程无解，故B正确； 对于C，取，满足，但，即充分性不成立，故C错误； 对于D，因为是的真子集，所以“”是“”的充分必要不条件，故D正确. 故选：ABD. 10. 设，，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 1 【答案】ABD 【解析】 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的a. 【详解】，因为，所以，所以或或或， 若，则； 若，则； 若，则； 若，无解． 故选：ABD 11. 已知，，，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式、结合“1”的妙用计算判断ACD；利用二次函数求出最小值判断D. 【详解】对于A，，即，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，得， ，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，， 则 ， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】由并集运算即可求解. 【详解】由， 可得：， 故答案为： 13. 已知不等式mx2﹣mx+1＞0，对任意实数x都成立，则m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先对二次项系数进行讨论，时成立，当时是一元二次不等式，对任意实数都成立，满足开口向上与轴没交点． 【详解】当时，不等式成立，适合题意； 当时，则有 ，解得； 综上，故：． 故答案为：． 14. 已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】的真子集个数是3，所以共有2个元素，分和两种情况即可解出答案. 【详解】的真子集个数是3， 共有个元素，所以，. 若，则有，； 若，则有，无解. 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. （1）已知，， 求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）由基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 16. 已知集合，，. （1）求； （2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，，然后再利用交集运算即可求解； （2）先求出，然后再根据充分非必要条件列出相应关于的不等式组，从而可求解. 【小问1详解】 由题知集合，， 则，， 所以. 【小问2详解】 由，所以， 又因为“”是“”的充分非必要条件， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题： 已知集合，． （1）当时，求； （2）若___________，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）选择①，实数的取值范围是；选择②，选择③：的取值范围是：． 【解析】 【分析】（1）可得出，时，得出集合，然后进行并集的运算即可； （2）若选条件①，可得出，然后讨论是否为空集：时，得出； 时，得出，然后解出的范围．若选择条件②和③，同样的方法，可得出的取值范围． 【小问1详解】 时，，， ∴； 【小问2详解】 若选择①，则， 时，，解得； 时，，解得：； 综上知，实数的取值范围是； 若选择②，则的子集，， 时，，解得； 时，或，解得：或 综上所述，的取值范围是：； 若选择③，则： 时，，解得； 时，或者解得：或 综上知，实数的取值范围是：． 18. 已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】 【解析】 【分析】由的解集，确定的数量关系代入所求不等式，消元求解即得. 【详解】因的解集为， 则，且方程的两根为1和5， 则有，即， 则等价于， 化简得， 解得或 故不等式的解集为. 19. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？ 【答案】当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小. 【解析】 【详解】设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，其中x＞20，y＞25 两栏面积之和为2(x－20)，由此得y= 广告的面积S=xy=x()＝x， 整理得S= 因为x－20＞0， 所以S≥2 当且仅当时等号成立， 此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25，得y＝175， 即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500， 故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小. 【点睛】本题主要考查函数表达式及基本不等式的应用.由题已知，可通过假设矩形的长与宽，进而表示广告面积的表达式，利用基本不等式，求出面积的最小值.在应用不等式求最值时，需要满足一正二定三相等的原则，即①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $