精品解析：广西邕衡教育名校联盟2025届高三下学期新高考5月全真模拟联合测试数学试题

2025届新高考春季学期五月全真模拟联合测试数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 某货架放有7包不同的薯片，6瓶不同的饮料，从这些货品中任取2包薯片和1瓶饮料，不同的取法有（ ） A. 19种 B. 20种 C. 126种 D. 294种 4. 已知均为单位向量，若，则与夹角的大小等于（ ） A. B. C. D. 5. 若为奇函数，则实数的值等于（ ） A. －1 B. C. D. 1 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱台中，，棱与平面所成角的正弦值为，则该棱台的体积为（ ） A. 40 B. C. 56 D. 112 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则（ ） A. B. 当时， C. 若点的坐标为，则周长的最小值为8 D. 当时， 10. 某工人对某产品进行质量检测有甲、乙两套工序，且完成检测至少需要甲、乙两套工序中的一套．记事件“该工人在检测过程中使用过甲套工序”，事件“该工人在检测过程中使用过乙套工序”，事件“该工人在检测过程中使用过甲、乙两套工序”，事件“该工人在检测过程中仅使用过甲、乙两套工序中的一套”，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 与为互斥事件 B. 与互为对立事件 C. D. 11. 已知曲线，下列结论正确的有（ ） A. 直线是曲线的一条对称轴 B. 曲线的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合 C. 曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2 D. 曲线上恰有3个整点（横、纵坐标均为整数的点） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则在点处的切线方程为_____． 13. 已知曲线，记的一条渐近线与轴的夹角为，则_____． 14. 已知正项数列的前项和为，其中，且． （1）数列的通项公式______； （2）记集合，非空集合，满足，若集合中的任意3个元素的和都能被3整除，则集合的元素个数的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为三个内角的对边，，且满足． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 已知甲、乙进行一场中国象棋比赛，每局棋甲胜的概率为，乙胜的概率为，每局棋胜负结果相互独立，约定先达到净胜2局者获得比赛胜利并结束比赛（规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局）． （1）求恰2局棋下完时甲获得比赛胜利的概率以及恰4局棋下完时甲获得比赛胜利的概率； （2）若规定比赛总局数达到6局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数的分布列； （3）若比赛不限局数，求甲最终获胜的概率． （定义：若无穷等比数列的公比满足，则所有项之和为．） 17. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，求证：对任意的，恒成立； （3）若的极大值为，求的取值范围． 18. 如图所示，在三棱锥中，平面，，，于点，为线段上一点，满足． （1）求证：是直角三角形； （2）若，求三角形面积的最大值； （3）若存在，使直线与平面所成的角为，求的取值范围． 19. 已知曲线的左右焦点为为其左支上的一个动点．当时，有，且曲线的离心率为． （1）求曲线的方程； （2）以点为切点作曲线的切线，过点、作切线的垂线，垂足为、． （ⅰ）试用表示与，并证明和面积相等； （ⅱ）求点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届新高考春季学期五月全真模拟联合测试数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法以及复数的几何意义，可得答案. 【详解】依题意，，所以对应点位于第二象限． 故选：B. 2. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】先确定原命题的真假，再得到否命题的真假，判断选项即可. 【详解】注意到当时，，则是假命题，是真命题； 又注意到时，，则为真命题，是假命题； 所以和都是真命题． 故选：B. 3. 某货架放有7包不同的薯片，6瓶不同的饮料，从这些货品中任取2包薯片和1瓶饮料，不同的取法有（ ） A. 19种 B. 20种 C. 126种 D. 294种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法原理以及分类加法原理，结合组合数的计算，可得答案. 【详解】7包不同的薯片任取2包有种取法，6瓶不同的饮料任取1瓶有6种取法， 现从这些货品中任取2包薯片和1瓶饮料， 根据分步乘法计数原理得到不同的取法有种． 故选：C． 4. 已知均为单位向量，若，则与夹角的大小等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的线性运算与模长计算即可得，再根据向量夹角余弦公式即可得夹角大小. 【详解】已知，由得， 两边平方可得，所以， 则，可得， 则，由于，所以, 故与夹角的大小等于. 故选：C． 5. 若为奇函数，则实数的值等于（ ） A. －1 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由函数解析式求其定义域，根据奇函数的性质，可得参数的值，利用奇函数的定义进行检验，可得答案. 【详解】，由，得或， 所以函数的定义域为， 因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，则，此时， ， 即，函数为奇函数，所以． 故选：C． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式，结合角的取值范围以及整式化简，可得答案. 【详解】由，得， 因为，所以， . 故选：B． 7. 在正四棱台中，，棱与平面所成角的正弦值为，则该棱台的体积为（ ） A. 40 B. C. 56 D. 112 【答案】C 【解析】 【分析】作图，根据侧棱与下底面所成角的正弦值及的长求出正四棱台的高，再根据棱台的体积公式求解即可. 【详解】 如图，分别取的中点,则分别为上下底面的中心， 则即为正四棱台的高.取中点,连接，则有. 又正四棱台中，，，得. 设正四棱台的高为，棱与平面所成角为， 则,得. 再由上底面面积为，下底面面积为. 正四棱台的体积. 故选：C. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和时的解析式确定函数在上的单调性，再整理化简不等式，得到，换元并化简利用导数求的最大值，即可求解的取值范围. 【详解】因为时，，则在上单调递增. 当时，，所以时，恒成立. 又是定义在上的奇函数，，所以是上的增函数. 不等式，对任意的恒成立， 即，， 又，所以. 令，， 令，则. 在上恒成立，所以函数在上单调递减. 在时有所以， 即实数的取值范围为． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则（ ） A. B. 当时， C. 若点的坐标为，则周长的最小值为8 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意得抛物线的焦点的坐标，求得的值即可判断A；联立直线与抛物线由韦达定理求得，再根据焦点弦公式可求得即可判断B；过点作准线的垂线，垂足为，先求得，再利用抛物线的定义结合“三角形两边之和大于第三边”得周长即可判断C；设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为，利用抛物线的定义结合相似三角形知识得到，从而得到即可判断D. 【详解】A选项，直线与轴的交点为，所以焦点为，所以，所以A选项正确； B选项，当时，联立得，所以B选项错误； C选项，因为，，所以，过点作准线的垂线，垂足为，三角形周长为，所以C选项正确； D选项，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，， 根据三角形相似得，所以， 所以直线的倾斜角为，则．所以D选项正确. 故选：ACD. 10. 某工人对某产品进行质量检测有甲、乙两套工序，且完成检测至少需要甲、乙两套工序中的一套．记事件“该工人在检测过程中使用过甲套工序”，事件“该工人在检测过程中使用过乙套工序”，事件“该工人在检测过程中使用过甲、乙两套工序”，事件“该工人在检测过程中仅使用过甲、乙两套工序中的一套”，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 与为互斥事件 B. 与互为对立事件 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据概率的加法公式，以及互斥事件的定义，可得其正误；对于B，根据对立事件的定义，可得其正误；对于C，根据条件概率的公式，以及概率加法公式，可得其正误；对于D，根据条件概率的公式，结合对立事件的概率，可得其正误. 【详解】对于A，由，得，故A错误； 对于B，“该工人在检测过程中仅使用甲工序或仅使用乙工序或甲乙都用”，易知此为全事件，，故B正确； 对于C，由，得C正确； 对于D，由，则D正确． 故选：BCD. 11. 已知曲线，下列结论正确的有（ ） A. 直线是曲线的一条对称轴 B. 曲线的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合 C. 曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2 D. 曲线上恰有3个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】ABC 【解析】 【分析】将点代入曲线的方程验证可判断A，将点，，代入曲线的方程验证可判断B；根据得，计算即可判断C，根据曲线的对称及，讨论第一象限整点个数即可判断D. 【详解】对于A，将点关于直线对称的点代入曲线的方程可得， 即，满足曲线方程，故A正确； 对于B，将点关于直线对称的点代入曲线的方程可得， 即，满足曲线方程， 将点关于轴对称的点代入曲线的方程可得， 即，满足曲线方程， 将点关于轴对称的点代入曲线的方程可得， 即，满足曲线方程， 所以曲线关于轴，轴以及直线对称， 所以曲线的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合，故B正确； 对于C，因为， 所以，所以， 即，当且仅当时等号成立， 所以曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2，故C正确； 对于D，将和联立，解得， 所以可得圆与曲线相切于点， 由曲线的对称性可知，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可， 而圆在第一象限内整数点只有，但，所以曲线在第一象限内不经过任何整点， 再结合曲线的对称性可知，曲线在二三四象限内也不经过任何整点， 又在曲线上，故曲线上只有1个整点，故D错误． 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则在点处的切线方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式求导，根据切点坐标求得切线斜率，结合点斜式方程，可得答案. 【详解】由，则， 切线斜率为， 则切线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知曲线，记的一条渐近线与轴的夹角为，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知，得出一条渐近线与轴的夹角正切值，然后再算正弦值. 【详解】曲线， 则的一条渐近线方程的斜率为， 所以，又， 则， 解得. 故答案为：. 14. 已知正项数列的前项和为，其中，且． （1）数列的通项公式______； （2）记集合，非空集合，满足，若集合中的任意3个元素的和都能被3整除，则集合的元素个数的最大值为_____． 【答案】 ①. ②. 675 【解析】 【分析】（1）根据数列的前项和为与通项的关系，利用相减法得递推关系式，结合等差数列的性质求得通项公式即可； （2）由，将中的元素分为3部分，即可得符合题意的集合，从而得集合的元素个数的最大值. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 则，即， 整理得， 因为，所以，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，则， （2）由，将中的元素分为3部分， ①被3除余1的：1，4，7，．．．，2023，共675个数 ②被3除余2的：，共674个数 ③被3除整除的：，共674个数 满足的集合中元素个数的最大值为675个. 故答案为：；675． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为三个内角的对边，，且满足． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转换，再根据三角恒等变换化简式子，结合正弦函数的性质求得角得大小即可； （2）根据三角形面积公式求得边长，再由余弦定理求得边长，从而得三角形的周长. 【小问1详解】 由已知和正弦定理得：， 因为，所以， 由辅助角公式得：，即， 因为，所以，所以或， 故或，因为，所以． 【小问2详解】 的面积，所以， 由余弦定理得：， 所以， 所以的周长为． 16. 已知甲、乙进行一场中国象棋比赛，每局棋甲胜的概率为，乙胜的概率为，每局棋胜负结果相互独立，约定先达到净胜2局者获得比赛胜利并结束比赛（规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局）． （1）求恰2局棋下完时甲获得比赛胜利的概率以及恰4局棋下完时甲获得比赛胜利的概率； （2）若规定比赛总局数达到6局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数的分布列； （3）若比赛不限局数，求甲最终获胜的概率． （定义：若无穷等比数列的公比满足，则所有项之和为．） 【答案】（1） （2）变量的分布列如下： 2 4 6 （3）【解析】 【分析】（1）根据概率的乘法公式，由题意，可得答案； （2）根据离散型随机变量的可能取值，利用概率的乘法公式以及对立事件的概率公式，可得答案； （3）法一：根据题意，写出概率计算的递推公式，建立方程，可得答案；法二：分情况利用累加法，利用题目给出的公式，可得答案. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 可能的取值为2，4，6． ； ； ； 变量的分布列如下： 2 4 6 【小问3详解】方法一： 比赛只进行一局无法分出最终胜负；比赛每进行两局后会有三个不同的结果： 甲连胜两局获胜结束，甲连负两局由乙获胜而结束，甲一胜一负回到初始状态， 根据递推关系得：，所以． 方法二： 将甲2局获胜，4局获胜，6局获胜，……局获胜，……的所有情况进行累加： 即是一个无穷等比数列的所有项之和，其中． 17. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，求证：对任意的，恒成立； （3）若的极大值为，求的取值范围． 【答案】（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间是 （2）证明如下： 当时，． 要证，即证． 构建，则． 构建，则． 所以函数在上单调递增，则，即， 可知函数在上单调递增， 则，即． （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的符号求函数的单调区间； （2）分析可知原题意等价于，构建，利用导数分析最值证明不等式即可； （3）求导整理可得，分和两种情况，结合极大值的定义运算求解即可. 【小问1详解】 当时，，则． 令，得；令，得． 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为． 当时，则， 令，得；令，得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 此时只有极小值，不符合题意； 当时，令，得． 因为的极大值为，则，解得， 此时当或时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则的极大值为，符合题意； 综上，的取值范围为． 18. 如图所示，在三棱锥中，平面，，，于点，为线段上一点，满足． （1）求证：是直角三角形； （2）若，求三角形面积的最大值； （3）若存在，使直线与平面所成的角为，求的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 在三棱锥中，由平面，面，得， 又平面，则平面，而平面， 则，又平面，于是平面， 又平面，因此，所以为直角三角形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推得即可. （2）由（1）的结论，利用勾股定理及基本不等式求出面积最大值. （3）以为原点建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标并求出平面的法向量，利用线面角的向量求法建立方程，结合零点问题求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，以及，得为中点，， 由（1）知，则在直角三角形中，有， 因此，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 【小问3详解】 以为原点，直线分别为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，由，得， 即，且，则， 则， ，设平面的一个法向量为， 则，令，得平面的一个法向量为， ， 整理得，， 设，要存在，使与平面所成角为， 则在上有零点．而函数图象的对称轴， 又，只需满足，即，解得， 所以的取值范围是． 19. 已知曲线的左右焦点为为其左支上的一个动点．当时，有，且曲线的离心率为． （1）求曲线的方程； （2）以点为切点作曲线的切线，过点、作切线的垂线，垂足为、． （ⅰ）试用表示与，并证明和面积相等； （ⅱ）求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ），，证明如下： 首先是表示经过点的直线， 下面证明其恰是以点为切点曲线的切线． 联立与可得，所以有， 这说明是以点为切点曲线的切线． 其次，由于，则有， 同理有， 注意到，且， 则有， 同理有． 所以，这说明与相等或互补（舍去）． 所以有，记．则有， ，因此有． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由题意写出焦半径，利用勾股定理以及离心率的计算，建立方程组，可得答案； （2）（i）设出切线方程，联立双曲线方程，由判别式为零，可证切线方程的表示，利用点到直线距离以及两点距离，根据锐角三角函数，可得正弦值，根据三角形的面积公式，可得答案；（ii）根据中位线定理，结合双曲线定义，可得轨迹方程，根据线段长度的取值范围，求得方程中变量的范围，可得答案. 【小问1详解】 由于点在左支，则有， 由，有，又，联立解得（舍负）． 则，，曲线的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）延长与交于点，易知，则， 则三角形为等腰三角形．连接，由于分别是的中点， 则有， 所以点的轨迹为以圆心，以为半径的圆，其轨迹方程为， 注意到， 其中，所以有， 设，则有，联立，解得， 所以点的轨迹方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $