福建省泉州市2025届高三毕业班考前模拟练习卷（一）数学试题

泉州市2025届高三毕业班考前模拟练习卷（一）保密★使用前 2025.05 高 三 数 学 本试卷共19题，满分150分，共8页。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则 A． B． C． D． 2．设，，若是的充分条件，则 A． B． C． D． 3．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为 A．5 B．4 C．3 D．2 4．已知为等比数列，，，则 A． B． C． D． 5．已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为 A． B． C． D． 6．已知分别为三个内角的对边，，且，则 A. B. C. D. 7．四棱锥中，，，，，，若均在同一球面上，则该球的表面积等于 A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足，且，则 A． B．方程有解 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．已知函数的部分图象如图，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则 A． B．的图象的对称中心为 C． D．的递增区间为， 10．已知为抛物线的焦点，点在上，过作的切线交轴于点，则下列说法正确的是 A．的斜率为定值 B．若圆被截得弦长为，则 C． D．若平行的直线与相切于点，则 11．在平面直角坐标系中，若对于上任意一点，图形上总存在唯一点与之对应，记为或， 且对于图形上的任意一点，图形总存在唯一点，使得． 则称图形与图形线性同胚，记为，则 A．若线段与线段线性同胚，则 B．等边三角形与等腰直角三角形线性同胚 C．曲线与曲线线性同胚 D．若，则的面积与面积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数与的图象关于直线对称，则______． 13．已知，函数，若关于的方程在区间上有解，则的取值范围为___________． 14．摩尔斯电码常用0和1组成的有序数组（,,）表示信息，被称为一个长为的字．设, 令表示使的的个数，例如，，则．若，则满足，字长为6的字中至少有3个1相邻的概率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 泉州少年郎团队从2024年10月份以来，通过深度整合AI算法、大数据分析和自动化技术，不断优化产品与服务，显著提升了运营效率和市场竞争力，推动团队收入持续攀升.该团队在近7个月的经济收入（单位：百万元）的数据如下表： 月份编号 1 2 3 4 5 6 7 收入（百万元） 6 11 21 34 66 101 196 （1）根据以上数据绘制散点图，并根据散点图判断，与（均为大于零的常数）哪一个适宜作为该团队经济收入y关于月份x的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）并根据你的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程； （2）请你根据所求的回归方程，预测该团队下一个月的经济收入； （3）试从统计学角度分析，如果用所求的回归方程预测该团队接下来1年的经济收入情况是否合理？ 参考数据： 462 10.78 2711 50.12 2.82 3.47 其中设， 参考公式：，. 16．（15分） 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）若，求的取值范围． 17．（15分） 在直角坐标系中，直线过点，直线过点，且的斜率之积为，记与的交点的轨迹为． （1）求的方程； （2）点为的中点，过的直线与交于两点，设，若，求的取值的集合． 18．（17分） 已知数列的前项和为，，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 笛卡尔通过解析几何，将代数的精确性与几何的直观性结合，不仅推动了数学的变革，还为科学提供了强大的分析工具，其坐标系思想至今仍是科学与工程中不可或缺的基础．在直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．类似地，在空间直角坐标系中，我们也定义曲面的方程和方程的曲面． 已知在空间直角坐标系中，曲面，是轴与的公共点，且是的四等分点，点在上，,． （1）证明：在上，且平面； （2）当的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设与平面所成的角分别为，当在上运动时，求的取值范围． 高三数学试题　第1页（共21页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泉州市2025届高三毕业班考前模拟练习卷（一）保密★使用前 2025.05 高 三 数 学 本试卷共19题，满分150分，共8页。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则 A． B． C． D． 【答案】D. 【解析】因为，则 ，故正确答案为D. 2．设，，若是的充分条件，则 A． B． C． D． 【答案】D. 【解析】由题意，得，因为是的充分条件， 所以即，由图象易得，解得， 故正确答案为D． 3．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B. 【解析】因为三点共线，所以存在实数，使，即， 又向量不共线，所以，整理，得， 由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故正确答案为B． 4．已知为等比数列，，，则 A． B． C． D． 【答案】A. 【解析】设的公比为，则，显然， 则，因为，则，则. 故正确答案为A． 5．已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为 A． B． C． D． 【答案】A. 【解析】由，即，可得． 设，，，根据上述条件及双曲线的定义，可知 ，，． 又因为，所以， 故，，，． 在中，由， 得，得，即， 得，故的两条渐近线方程为． 故正确答案为A． 6．已知分别为三个内角的对边，，且，则 A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】解法一：因为为锐角，所以， 又在中，，所以，则 所以，解得，，所以． 故正确答案为B． 解法二：又在中，， 因为，所以 所以，，所以， 又因为， 所以． 故正确答案为B． 7．四棱锥中，，，，，，若均在同一球面上，则该球的表面积等于 A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】因为，，所以四边形为平行四边形，分别取的中点，连结，则，，，从而，又平面，，所以平面，又平面，故，从而，所以四边形为矩形，从而，又，取的中点，则，故为球心，从而所求的球的表面积为，故答案为C． 　　 8．已知定义在上的函数满足，且，则 A． B．方程有解 C． D． 【答案】C. 【解析】令，则，即，得到所以A错误； 令，则得到， 令，当时，则，即，，， 累加得：， 即，其中也符合， 令，则， 得到，即知时，，则B错误； 由，则C正确 故正确答案为C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．已知函数的部分图象如图，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则 A． B．的图象的对称中心为 C． D．的递增区间为， 【答案】AD． 【解析】由已知函数的部分图象如图所示，则函数周期为， 由图，，所以A正确，C错误； 函数关于对称，所以函数的对称中心为，，B错误； 函数的递增区间为，，D正确； 故正确答案为AD． 10．已知为抛物线的焦点，点在上，过作的切线交轴于点，则下列说法正确的是 A．的斜率为定值 B．若圆被截得弦长为，则 C． D．若平行的直线与相切于点，则 【答案】AC． 【解析】对于A选项，当，则过作的切线的方程为； 当，则过作的切线的方程为，故A正确； 对于B选项，圆心到的距离为（根据对称性，另一条切线同理结果一样），可求得，故B错误； 对于C选项，根据对称性，不妨取，则，又， ，故C正确； 对于D选项，根据对称性，不妨取，则，又， 设，则过的切线为，依题意， ，又，求得，故，故D错误． 故正确答案为AC． 11．在平面直角坐标系中，若对于上任意一点，图形上总存在唯一点与之对应，记为或， 且对于图形上的任意一点，图形总存在唯一点，使得． 则称图形与图形线性同胚，记为，则 A．若线段与线段线性同胚，则 B．等边三角形与等腰直角三角形线性同胚 C．曲线与曲线线性同胚 D．若，则的面积与面积之比为 【答案】AC． 【解析】对于选项A，对于线段，，则线段，所以，故A错误； 对于选项B：显然对于任意三点和另外三点 ， 因为方程组，为六元一次方程组必有解， 存在，使得， 所以，任意三角形都是线性同胚的，B正确； 对于选项C：可取映射，则C正确； 对于选项D:不妨取，，则的面积， ，， 所以面积 ，故D正确 综上，选BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数与的图象关于直线对称，则______． 【答案】 【解析】设在图象上，则点关于直线对称点在图象上，则，即，. 故答案为． 13．已知，函数，若关于的方程在区间上有解，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】函数的图象的对称中心为，且单调递增，所以由可得，，其中为锐角，且，所以，所以函数在单调递减，所以，即， 故答案为． 14．摩尔斯电码常用0和1组成的有序数组（,,）表示信息，被称为一个长为的字．设, 令表示使的的个数，例如，，则．若，则满足，字长为6的字中至少有3个1相邻的概率为_________． 【答案】 【解析】若，则满足，字长为6的字的个数为，其中至少有3个1相邻的字分别为：有且仅有3个1相邻；有且仅有4个1相邻；有且仅有5个1相邻；有且仅有6个1相邻； 有且仅有3个1相邻：， 有且仅有4个1相邻：， 有且仅有5个1相邻：不可能， 有且仅有6个1相邻：，共有7种情况， 故所求概率. 故答案为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 泉州少年郎团队从2024年10月份以来，通过深度整合AI算法、大数据分析和自动化技术，不断优化产品与服务，显著提升了运营效率和市场竞争力，推动团队收入持续攀升.该团队在近7个月的经济收入（单位：百万元）的数据如下表： 月份编号 1 2 3 4 5 6 7 收入（百万元） 6 11 21 34 66 101 196 （1）根据以上数据绘制散点图，并根据散点图判断，与（均为大于零的常数）哪一个适宜作为该团队经济收入y关于月份x的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）并根据你的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程； （2）请你根据所求的回归方程，预测该团队下一个月的经济收入； （3）试从统计学角度分析，如果用所求的回归方程预测该团队接下来1年的经济收入情况是否合理？ 参考数据： 462 10.78 2711 50.12 2.82 3.47 其中设， 参考公式：，. 【解析】（1）散点图如图所示， 2分 根据散点图判断， 适宜作为5G经济收入y关于月代码x的回归方程类型， 3分 ，两边同时取常用对数得：， 4分 设，， ， ， 5分 ， ， 7分 把样本中心点代入，得：， 8分 ，， ， y关于x的回归方程：. 9分 （2）当时，， 10分 所以预测该公司2025年5月份的经济收入估计为347百万元. 11分 （3）不合理 12分 经验回归方程一般具有时效性,解释变量越接近样本数据，预测值比较可信, 否则会有显著误差. 13分 16．（15分） 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）若，求的取值范围． 【解析】解法一：（1）若,，， , 1分 令， 2分 ，即在单调递增，因为， 4分 所以当时，，即； 当时，，， 5分 的增区间为，的减区间为. 6分 （2），即 ， ①若，则不等式显然成立； 7分 ②若，则当时，不合题意； 8分 ③若，则等价于， 9分 令，则， 当时，，当时， 当时，， 11分 令，则， 当时，，当时， 当时，， 13分 所以成立，也即，则； 14分 综上可得，. 15分 解法二：（1）同解法一； 6分 （2）①若，不等式显然成立； 7分 ②若，当时，不合题意； 8分 ③若，则，当时，单调递增， 且当时，；当时，， 使 ，即, 10分 当时，，当时， 当时， 12分 令，时，单调递减，且， 所以，则； 14分 综上可得，. 15分 17．（15分） 在直角坐标系中，直线过点，直线过点，且的斜率之积为，记与的交点的轨迹为． （1）求的方程； （2）点为的中点，过的直线与交于两点，设，若，求的取值的集合． 【解析】解法一：（1）设点，则，， 2分 依题意，， 4分 整理得． 5分 因为，，故，所以的方程为（）． 6分 （2）由，可得． 7分 记直线的斜率分别为，则． 8分 设直线的斜率为，由（1）可知． 则． 9分 依题意可知， 直线与（）交于两点，可设直线． 10分 由，可得． 11分 设，则，（※）． 12分 13分 将（※）代入上式，可得． 所以的取值的集合．（没有写成集合形式不扣分） 15分 解法二：（1）联立两直线的方程 可得 2分 由，可得即 故 4分 由，整理得． 5分 因为，，故，所以的方程为（）． 6分 （2）由，可得， 7分 记直线的斜率分别为，则． 8分 依题意，． 直线与（）交于两点，可设直线． 9分 由，可得． 10分 设，则，（※）． 11分 其中，（※） 12分 ． 13分 将（※）代入上式，可得． 所以的取值的集合．（没有写成集合形式不扣分） 15分 18．（17分） 已知数列的前项和为，，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由已知， 1分 ， 2分 所以数列为首项，公差的等差数列． 3分 （2）由（1），且时，， 4分 ，也符合，所以 5分 所以 所以， 6分 因为， 所以 ，所以 8分 记数列的前项和为， 则 所以 ． 所以. 10分 （3）不存在，显然数列为递增数列， 若存在正整数，使得成等差数列，不妨设 12分 则， 即 14分 因为，所以，显然不成立， 所以数列中不存在不同的三项构成等差数列． 17分 19．（17分） 笛卡尔通过解析几何，将代数的精确性与几何的直观性结合，不仅推动了数学的变革，还为科学提供了强大的分析工具，其坐标系思想至今仍是科学与工程中不可或缺的基础．在直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．类似地，在空间直角坐标系中，我们也定义曲面的方程和方程的曲面． 已知在空间直角坐标系中，曲面，是轴与的公共点，且是的四等分点，点在上，,． （1）证明：在上，且平面； （2）当的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设与平面所成的角分别为，当在上运动时，求的取值范围． 【解析】（1）因为点在上，所以， 从而，所以点在上， 1分 又，且不重合， 所以，且， 2分 故四边形为平行四边形，所以， 3分 又平面，平面， 所以平面. 4分 （2）取点，连结，则平面， 因为平面，所以，从而， 故取最小值当且仅当取最小值， 5分 在平面直角坐标系中，点在椭圆， 从而可得的最小值为， 6分 平面的一个法向量， 7分 ，， 设平面的法向量， 则即整理，得 令，得， 8分 所以， 9分 设平面与平面的夹角为，则． 10分 　　　 （3）由（2）可知，分别是在平面内的射影， 故分别是直线与平面所成角， 即， 11分 设，则，， 13分 所以， 14分 易得在平面直角坐标系中，为椭圆的焦点， 所以，即，从而， 15分 ， 又当时，， 16分 所以， 所以的取值范围为．　 17分 高三数学试题　第1页（共21页） 学科网（北京）股份有限公司 $$