第9章 轴对称、平移与旋转（优质类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

第9章 轴对称、平移与旋转思维导图 【类型覆盖】 类型一、作垂线 【解惑】如图，在直角三角形中，，； (1)作出的边边上的高，并求的长； (2)作出的边上的中线，并求出的面积． 【融会贯通】 1．如图，已知点为外一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，作一条直线，使得点关于的对称点为． (2)如图2，连接，作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 2．如图，在中，． (1)利用直尺和圆规作直线l，使点B、C关于直线l对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设直线l交于点D，连接，则的周长是 ． 3．已知：如图．求作： (1)线段，D在上，将分成两个面积相等的和； (2)作出中边上的高． 类型二、作垂直平分线 【解惑】如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．    (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为 ． 【融会贯通】 1．如图，，，三点均为方格中的格点（方格的边长是），按要求画图并填空． (1)过点画出线段的垂线交于点； (2)画出线段的垂直平分线交于点； (3)点到直线的距离是线段_____的长度 (4)点到直线的距离是线段_____的长度，点到直线的距离是_____ ． 2．如图，已知，点在上，请利用尺规在下方作一点，连接，使得垂直平分线段．（不写作法，保留作图痕迹） 3．如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修在什么位置？请用尺规作图在图上标出它的位置．（要求：画图留下痕迹，但不要求写作法） 类型三、作角平分线 【解惑】如图，在四边形中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)画线段，交于点，若，求． 【融会贯通】 1．如图， (1)请用直尺和圆规在直线上求作一点，使点到射线和的距离相等．（不用写作法，保留作图痕迹） (2)若，且，则的度数为 ． 2．如图，直线，被直线所截，． (1)作的平分线和的平分线； (2)探究与的位置关系，并证明你的结论． 3．已知：如图，，在内部求作，作法如下： （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线、于点、； （2）分别以点、为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； （3）作射线． 证明：． 类型四、平移、旋转、中心对称网格作图 【解惑】如图①，图②是的正方形网格，每个小正方形的顶点均称为格点，且每个小正方形的边长均为1．的三个顶点和线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按如下要求作图． (1)在图①中，将平移至，使点和点对应，点和点对应，点和点对应． (2)在图②中，找一个格点，连接，使，并写出点到的距离． 【融会贯通】 1．如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点A对应点D，点B对应点E． (1)过点B作，且与成内错角； (2)画出平移后的； (3)求的面积． 2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)①在图1中，画出线段关于直线对称的线段．连接，线段和直线的关系为______； ②在图1中，将线段AB向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段．连接、，线段和线段的关系为______； (2)在图2中，线段与线段存在旋转变换关系．画出旋转中心O． 3．如图，在一个的正方形网格中有一个，的顶点都在格点上． (1)在网格中画出向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的； (2)在网格中画出关于点P成中心对称得到的； (3)若可将绕点O旋转得到，请在正方形网格中标出点O； 类型五、全等图形分割 【解惑】把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 【融会贯通】 1．如图，请沿图中的虚线，用三种不同的方法将下列图形分割为两个全等图形． 2．沿虚线，画出四种方案，分别将下面的正方形划分成两个全等的图形． 3．在下列3个的网格中，画有正方形，沿网格线把正方形分分割成两个全等图形，请用三种不同的方法分割，画出分割线．    类型六、平移的实际应用 【解惑】某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），升旗台的台阶和地毯的宽都为3米，台阶侧面如图所示． (1)问地毯至少需要多少米？ (2)若这种地毯的批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要花费多少元？ 【融会贯通】 1．某酒店在重新装修后，准备在门口的阶梯上铺设某种红色地毯．已知这种地毯每平方米的售价为元，阶梯道宽为米，其侧面如图所示，铺设阶梯的红地毯至少需要多长？至少花费多少元？    2．某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯(含台阶的最上层)，已知这种地毯的批发价为每平方米20元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示，请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？ 3．图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度） 在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）． 问题解决： (1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分： (2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为、，则= 平方单位；并比较大小： （填“＞”“＝”或“＜”）； (3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示） 类型七、折叠问题 【解惑】如图，将一张上、下两边平行的纸带沿直线折叠，为折痕． (1)试说明． (2)已知，求的度数． 【融会贯通】 1．（1）如图1，在四边形中，平分交的延长线于点，． 求证：． （2）在四边形中，点为边上的一点，连接，沿折叠三角形，得到三角形． ①如图2，当点落在的延长线上时，且，，若，求的度数； ②如图3，当点落在射线的下方时，求证：． 2．数学兴趣小组在对一张长方形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索． (1)如图1，将一张长方形纸张按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后，在同一直线上，已知，求的度数； (2)如图2，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图3，将折痕折到处，点落在处． ①如图3，若，则_____； ②如图3，判断和有怎样的位置关系，并说明理由． 3．【动手操作】在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下：①②③④． 【问题初探】 （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为平行． 【问题二探】 （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，射灯P发出的射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，射灯Q发出的射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转．两灯不停旋转交叉照射，射灯P、射灯Q转动的速度分别是秒、秒，若射线转动20秒后，射线开始转动，在射线第一次到达之前．当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置． ①________（用含t的式子表示）； ②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出时的图形，并求出此时的大小； 【问题三探】 （3）在（2）的条件下，在射线第一次到达之前，射灯Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．        类型八、三角形旋转求t 【解惑】【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． （1）若，，求的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值． 【融会贯通】 1．数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”进行了系列探究，过程如下： 【论证】如图1，延长至点D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为． 【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作在射线上，且的延长线与的延长线交于点D．设，则___________（用含的代数式表示）；的度数为___________． 【拓展】如图3，在中，，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点．绕点A以每秒的速度逆时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点P以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止．设运动时间为t秒．在旋转过程中，当t的值为多少时，与的一边垂直？请直接写出t的值． 2．已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线上，连接平分，平分． (1)如图1，当时，请求出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好与的其中一条边所在直线平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 3．在中，，，点P在边上． (1)如图1，用直尺和圆规作出点P的关于的对称点、，（不写作法，保留作图痕迹）．连接，若，则点与点之间的距离为______； (2)如图2，当点P是的中点时，用直尺和圆规作出关于点P的对称的三角形（不写作法，保留作图痕迹）．连接，，，且，则的取值范围______； (3)如图3，已知，将绕着点P按每秒的速度逆时针旋转一周．同时，射线绕着点P按每秒的速度顺时针旋转（随旋转停止而停止），旋转过程中射线的位置不变．设旋转时间为t秒，当t为______秒时，射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线． 类型九、新定义问题 【解惑】新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)初步尝试：如图1：已知等腰直角，，请用直尺和圆规将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形，请保留作图痕迹． (2)理解运用：请在图2的方格纸中，画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形． 【融会贯通】 1．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的伴随角．如图1，若，则是的伴随角． (1)如图1，已知，，是的伴随角，求的度数； (2)如图2，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（）至，当旋转的角度α为何值时，是的伴随角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O以5度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，当射线，，，构成伴随角时，直接写出旋转的时间． 2．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，若是的内余角，则______； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线构成内余角时，请求出的值． 3．新定义：如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 (1)角的平分线_________这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） 【初步应用】 (2)如图①，，射线OC为的“幸运线”，则的度数为_________；（直接写出答案） 【解决问题】 (3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕О点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕О点顺时针旋转，设运动的时间为秒．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t的值． 类型十、全等三角形动点求t 【解惑】如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若． (1)求的度数； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒， ①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围； ②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值． 2．如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当t为何值时，能使． 3．如图1，在中，，，，.动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，.在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止.当时，求点的运动速度． 【一览众山小】 1．如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将四边形折叠，折痕为，连接并延长交延长线于点，若，，平分．则下列结论：①．②；③平分；④．其中错误的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图，在中，，、，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（   ） A．4.2 B．4.8 C．5 D．4.5 4．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ． 5．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 6．如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为，当与全等时，的值是 ． 7．如图，已知． 【初步认识】 （1）尺规作图：求作直线，使和关于直线对称；（不写作法，保留痕迹） 【理解应用】 （2）如图，若在内部，和关于对称，和关于对称，求的度数； （3）如图，若在外部，且，和关于对称，和关于对称，求的度数； 【拓展提升】 （4）若和关于的边对称，且，则的度数是_____． 8．如图，将放在每个小正方形的边长为1的的正方形网格中． (1)的面积是______； (2)画出以点B为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的． (3)画出关于点C成中心对称的； 9．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点O成中心对称的，再把 向上平移4个单位长度得到． (1)画出和； (2)与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是_______； (3)已知点P在格点上，若，请问这样的点P有______个．（点P异于点C） 10．已知，点在上． (1)如图，点在上，且，在内部作一点，使四边形是轴对称图形； (2)如图，点在的内部，作出两种不同的四边形，使四边形为轴对称图形，且点在上、点在内部、点在四边形的一边上． 要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 轴对称、平移与旋转思维导图 【类型覆盖】 类型一、作垂线 【解惑】如图，在直角三角形中，，； (1)作出的边边上的高，并求的长； (2)作出的边上的中线，并求出的面积． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； 【分析】本题考查了画三角形的高与中线，三角形中线平分三角形面积的性质； （1）利用直规作图即可；利用面积相等即可求解； （2）作出线段的垂直平分线即可；由三角形中线平分三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：作图如下： 由于， 则； （2）解：作图如下： ∵点E是的中点， ∴． 【融会贯通】 1．如图，已知点为外一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，作一条直线，使得点关于的对称点为． (2)如图2，连接，作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法；掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． （1）连接，作出的垂直平分线，即可求解； （2）以为圆心，长为半径画弧交于，连接，作出的垂直平分线，即可求解； 【详解】（1）解：如图，直线为所求作； （2）解：如图，直线为所求作． 2．如图，在中，． (1)利用直尺和圆规作直线l，使点B、C关于直线l对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设直线l交于点D，连接，则的周长是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，轴对称的性质，正确作出直线l是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线即可； （2）根据轴对称图形的性质可得，再根据三角形轴对称计算公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为直线l； （2）解：∵点B、C关于直线l对称， ∴， ∴的周长； 3．已知：如图．求作： (1)线段，D在上，将分成两个面积相等的和； (2)作出中边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高和中线，熟知线段垂直平分线的尺规作图方法是解题的关键． （1）三角形中线平分三角形面积，据此可得是的中线，据此作图即可； （2）根据垂线的作法作于E即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 类型二、作垂直平分线 【解惑】如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．    (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，角平分线和线段，熟练掌握基本作图方法，是解题的关键： （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，作出的中垂线，得到中点即可； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两个点，以这两个点为圆心，大于这两个点所连线段的长为半径画弧，画出的角平分线即可； （3）根据对称的性质，得到，故以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可； （4）根据线段中点的定义，线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求；    （4）由作图可知：， ∴． 故答案为：3． 【融会贯通】 1．如图，，，三点均为方格中的格点（方格的边长是），按要求画图并填空． (1)过点画出线段的垂线交于点； (2)画出线段的垂直平分线交于点； (3)点到直线的距离是线段_____的长度 (4)点到直线的距离是线段_____的长度，点到直线的距离是_____ ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) (4)，4 【分析】本题考查了点到直线的距离，线段垂直平分线的性质，画垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征，过点作线段的垂线，即可作答． （2）结合网格特征，过线段的中点，作线段的垂线，即可作答． （3）结合网格特征，因为，且点在线段上，据此即可作答． （4）结合网格特征以及垂线段的长度即为该点到线段的距离，据此即可作答． 【详解】（1）解：线段的垂线，如图所示： （2）解：线段的垂直平分线，如图所示； （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：点到直线的距离是线段的长度，点到直线的距离是, 故答案为：，4． 2．如图，已知，点在上，请利用尺规在下方作一点，连接，使得垂直平分线段．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法，准确画出图形是解决本题的关键． 以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧交前弧于点，连接则垂直平分线段，点即是所要求的点． 【详解】证明：以为圆心，为半径画弧， 以为圆心，为半径画弧交前弧于点， 连接则垂直平分线段，如图所示， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分线段． 3．如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修在什么位置？请用尺规作图在图上标出它的位置．（要求：画图留下痕迹，但不要求写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段的中垂线的性质及其尺规作图． 分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点． 类型三、作角平分线 【解惑】如图，在四边形中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)画线段，交于点，若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作角平分线，角平分线的定义，平行线的性质和三角形的内角和，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）利用角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理求解． 【详解】（1）证明：如图所示： 即为求作的角平分线； （2）解：如图， ∵平分，， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 【融会贯通】 1．如图， (1)请用直尺和圆规在直线上求作一点，使点到射线和的距离相等．（不用写作法，保留作图痕迹） (2)若，且，则的度数为 ． 【答案】(1)图见解析 (2)． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的应用，角平分线尺规作图，平行线的性质及角平分线的定义． （1）作出的角平分线，与相交于点，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，即可获得答案； （2）首先邻补角的性质求得，再根据平行线的性质求得，根据角平分线的定义即可获得答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴． 2．如图，直线，被直线所截，． (1)作的平分线和的平分线； (2)探究与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)作图见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查的是作角平分线，平行线的判定与性质； （1）根据作角平分线的步骤画图即可； （2）先证明，结合角平分线的定义可得，，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）解：作的平分线和的平分线如下图： （2）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∴． 3．已知：如图，，在内部求作，作法如下： （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线、于点、； （2）分别以点、为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； （3）作射线． 证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，角平分线的定义．由作图可知是的角平分线，根据角平分线的定义即可证明． 【详解】证明：由作图可知是的角平分线， ∴． 类型四、平移、旋转、中心对称网格作图 【解惑】如图①，图②是的正方形网格，每个小正方形的顶点均称为格点，且每个小正方形的边长均为1．的三个顶点和线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按如下要求作图． (1)在图①中，将平移至，使点和点对应，点和点对应，点和点对应． (2)在图②中，找一个格点，连接，使，并写出点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，点到的距离为3 【分析】本题考查三角形的平移，平行线的性质，正确理解概念是解题的关键。 （1）根据平移的定义，即可解答； （2）根据”两直线平行，内错角相等”，即可解答. 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）如图所示，点Q即为所求 ∴点到的距离为3． 【融会贯通】 1．如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点A对应点D，点B对应点E． (1)过点B作，且与成内错角； (2)画出平移后的； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图−平移变换、同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在的左侧过点B作即可． （2）由题意得，向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度得到，根据平移的性质作图即可． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由题意得，向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度得到，如图，即为所求． （3）解：的面积为． 2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)①在图1中，画出线段关于直线对称的线段．连接，线段和直线的关系为______； ②在图1中，将线段AB向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段．连接、，线段和线段的关系为______； (2)在图2中，线段与线段存在旋转变换关系．画出旋转中心O． 【答案】(1)①见解析；直线垂直平分线段；②见解析；，； (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称作图，平移作图，找旋转中心，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据轴对称图形的性质即可得出结果；②根据图形的平移作图，然后由平移的性质即可求解； （2）分别作对应点连线的垂直平分线，其交点即为旋转中心． 【详解】（1）①解：如图1，线段即为所求的线段． 直线垂直平分线段； ②解：如图1，线段即为所求的线段． ，； （2）解：如图2，点和点即为所求的旋转中心． 3．如图，在一个的正方形网格中有一个，的顶点都在格点上． (1)在网格中画出向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的； (2)在网格中画出关于点P成中心对称得到的； (3)若可将绕点O旋转得到，请在正方形网格中标出点O； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，熟练掌握平移与旋转的性质是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接和，交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图：点即为所求， 类型五、全等图形分割 【解惑】把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，结合图形的对称性和互补性，利用面积相等以及图形全等分别分割即可． 【详解】解：分割线如图所示： 【融会贯通】 1．如图，请沿图中的虚线，用三种不同的方法将下列图形分割为两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的定义是解题关键．直接利用图形形状分成全等的两部分即可． 【详解】如图所示： 2．沿虚线，画出四种方案，分别将下面的正方形划分成两个全等的图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图，以及全等图形的定义．可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【详解】解：如图所示： 3．在下列3个的网格中，画有正方形，沿网格线把正方形分分割成两个全等图形，请用三种不同的方法分割，画出分割线．    【答案】见解析 【分析】根据全等图形的性质，按照题意作图即可． 【详解】．   【点睛】本题考查作图-全等图形，熟练掌握全等图形的性质是解答本题的关键． 类型六、平移的实际应用 【解惑】某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），升旗台的台阶和地毯的宽都为3米，台阶侧面如图所示． (1)问地毯至少需要多少米？ (2)若这种地毯的批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要花费多少元？ 【答案】(1)地毯至少需要11.6米 (2)买地毯需要1044元 【分析】本题考查了平移的性质及有理数四则运算的实际应用． （1）利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.8米，2.4米， 即可求解； （2）用地毯的长度乘以宽度3米，得到面积，再用面积乘以30，即可求解． 【详解】（1）解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.8米，2.4米， ∴地毯的长度为（米）， 答：地毯至少需要11.6米； （2）解：地毯的面积为（平方米）， ∴买地毯至少需要（元）， 答：买地毯需要1044元． 【融会贯通】 1．某酒店在重新装修后，准备在门口的阶梯上铺设某种红色地毯．已知这种地毯每平方米的售价为元，阶梯道宽为米，其侧面如图所示，铺设阶梯的红地毯至少需要多长？至少花费多少元？    【答案】铺设阶梯的红地毯至少需要米，花费至少元 【分析】根据平移的性质可得地毯的长度至少为，根据题意，长度乘以宽度，再乘以价格，列出算式，即可求解． 【详解】解：依题意，地毯的长度至少为（米）， （元）． 答：铺设阶梯的红地毯至少需要米，花费至少元． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 2．某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯(含台阶的最上层)，已知这种地毯的批发价为每平方米20元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示，请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？ 【答案】840元 【分析】利用线段平移的性质结合地毯面积的计算公式求解． 【详解】解： (元) 【点睛】此题考查了学生对线段平移的应用，掌握平移线段的性质是解题的关键． 3．图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度） 在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）． 问题解决： (1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分： (2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为、，则= 平方单位；并比较大小： （填“＞”“＝”或“＜”）； (3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示） 【答案】(1)见解析过程； (2)40，=； (3)（ab-a） 【分析】（1）画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形AA'B'C'D'DCB； （2）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10个单位，宽为4个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为（b-1）个单位的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）如图3所示，封闭图形AA'B'C'D'DCB即为所求； （2）图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2， 则S1=10×（5-1）=10×4=40平方单位； S2=10×（5-1）=10×4=40平方单位； ∴S1=S2， 故答案为：40，=； （3）如图4，长方形的长为a，宽为b，小路的宽度是1个单位长度， ∴空白部分表示的草地的面积是a（b-1）=（ab-a）平方单位． 故答案为：（ab-a）． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了平移变换以及矩形面积的计算公式的运用，解决问题的关键是利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形来计算面积． 类型七、折叠问题 【解惑】如图，将一张上、下两边平行的纸带沿直线折叠，为折痕． (1)试说明． (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟知平行线的性质和折叠的性质是解题的关键． （1）由两直线平行，同旁内角互补可得，，据此可证明结论； （2）由（1）可得，则由平角的定义和折叠的性质可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．（1）如图1，在四边形中，平分交的延长线于点，． 求证：． （2）在四边形中，点为边上的一点，连接，沿折叠三角形，得到三角形． ①如图2，当点落在的延长线上时，且，，若，求的度数； ②如图3，当点落在射线的下方时，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①20°；②见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，折叠的性质，过拐点作平行线是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定证明即可； （2）①利用折叠的性质，结合平行线的性质求解即可； ②过点作，过点作，利用折叠的性质先证，再根据平行线的判定和性质证，最后根据邻补角的性质即可得证． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ． （2）①解：沿折叠三角形，得到三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ②证明：过点作，过点作， ∴， ∴，，， ∵沿折叠三角形，得到三角形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ． 2．数学兴趣小组在对一张长方形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索． (1)如图1，将一张长方形纸张按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后，在同一直线上，已知，求的度数； (2)如图2，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图3，将折痕折到处，点落在处． ①如图3，若，则_____； ②如图3，判断和有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，熟知平行线的性质与判定定理和折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质和平角的定义可得，据此可得答案； （2）①由折叠的性质和平角的定义可求出的度数，再由平行线的性质即可得到答案；②根据折叠的性质和平行线的性质可证明，，再证明，推出，则可证明． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； ②．理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．【动手操作】在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下：①②③④． 【问题初探】 （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为平行． 【问题二探】 （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，射灯P发出的射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，射灯Q发出的射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转．两灯不停旋转交叉照射，射灯P、射灯Q转动的速度分别是秒、秒，若射线转动20秒后，射线开始转动，在射线第一次到达之前．当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置． ①________（用含t的式子表示）； ②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出时的图形，并求出此时的大小； 【问题三探】 （3）在（2）的条件下，在射线第一次到达之前，射灯Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．        【答案】（1）垂直；；（2）①；②画图见解析，；（3）当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行 【分析】本题考查垂直判定，一元一次方程的实际应用，平行线判定及性质，折叠性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点． （1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案； （2）①先求出灯转动20秒后度数为，继而得出本题答案；②算出当时，，，再根据，得出，即可求出． （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分情况讨论即可得到本题答案． 【详解】解：（1）如图， ∵折叠， ∴直线折叠重合为两个角，平角为， ∴，即， ∴与直线的位置关系是：垂直， 如图： ∵如图④所示：， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直；； （2）①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动， ∴灯转动20秒后度数为， 又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置， ∴此时灯再次转动了， ， 故答案为：； ②如图为大致图形： 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行，理由如下： 设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图， ， ， ， ， ∴， 解得：； ②当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得：； ③当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴ ∴， 解得：， 综上所述：当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行． 类型八、三角形旋转求t 【解惑】【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． （1）若，，求的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或或 【分析】本题考查平行线的性质，三角尺中的角度计算，角的和差定义等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）求出，再利用平行线的性质求解即可； （2）如图②中，设，利用平行线的性质用表示出，可得结论； （3）根据（1）可得，，，进而分类讨论，分别表示出旋转秒后和的角度，根据平行线的性质，建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）如图①中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）结论：． 理由：如图②中，设． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（1）可得，，， 当时，，当时， ①当时，如图，设直线分别交于点，过点作 ∵ ∴ ∴ 又∵，则 ∵ ∴ ∴ 解得： ②当时，如图， ∵， ∴ 当时，， ∴ 解得： ③当时，如图， 当时，， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： 综上所述，或或 【融会贯通】 1．数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”进行了系列探究，过程如下： 【论证】如图1，延长至点D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为． 【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点P，过点A作在射线上，且的延长线与的延长线交于点D．设，则___________（用含的代数式表示）；的度数为___________． 【拓展】如图3，在中，，，过点A作，直线与相交于A点右侧的点．绕点A以每秒的速度逆时针方向旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点P以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止．设运动时间为t秒．在旋转过程中，当t的值为多少时，与的一边垂直？请直接写出t的值． 【答案】[论证]见解析；[应用] ①；②；[拓展] 的值为或或15 【分析】[论证]利用平行线的性质以及平角的性质即可证明； [应用]①由角平分线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再由平行线的性质并结合三角形外角的定义及性质得出，推出，即可得解；②由平行线的性质结合角平分线的定义得出，求出即可得出答案； [拓展]总时间（秒），再分三种情况：当第一次与重合前，时，延长交于；当第一次与重合前，时，垂足为点I，记与交于点H；当第一次与重合后，时，记垂足为，分别利用平行线的性质和三角形内角和定理建立一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】[论证] 证明：延长至点，过点作， ∴，， ∵， ∴； [应用] 解①如图： ∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； [拓展] 解：∵绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止． ∴总时间（秒）， ∴的运动角度为， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当第一次与重合前，时，延长交于， 由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当第一次与重合前，时，垂足为点I，记与交于点H， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当第一次与重合后，时，记垂足为， 此时，， ∵， ∴， ∴， 解得： 综上所述，的值为或或15． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、外角性质，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2．已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线上，连接平分，平分． (1)如图1，当时，请求出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好与的其中一条边所在直线平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2) (3)或5.5或11.5 【分析】本题考查了平行线判定，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程． （1）过点作，过点作，利用平行线的性质和角平分线的性质计算角度即可； （2）按照（1）的思路即可解答； （3）分为的三边分别与平行，当时，与同的夹角（锐角）相等，从而列出方程求得结果，同样的方法求得当和，当时的结果． 【详解】（1）解：如图，过点作， ，， ， 设， ， ， ， 平分，平分， ，， 如图，过点作， ，， ， ， ， ; （2）解：如图，过点作，过点作， ， 则可得，， 设，， 根据上述原理可得，， ，， ， 即； （3）解：如图，当时， 设交于， ， ，， ， 由题意可得， ， ， ，即， ， 如图，当时， 同理可得：， ， 如图，当时， 设的延长线交于， ，， ， ， ， 由，得， ， 综上所述：或5.5或11.5． 3．在中，，，点P在边上． (1)如图1，用直尺和圆规作出点P的关于的对称点、，（不写作法，保留作图痕迹）．连接，若，则点与点之间的距离为______； (2)如图2，当点P是的中点时，用直尺和圆规作出关于点P的对称的三角形（不写作法，保留作图痕迹）．连接，，，且，则的取值范围______； (3)如图3，已知，将绕着点P按每秒的速度逆时针旋转一周．同时，射线绕着点P按每秒的速度顺时针旋转（随旋转停止而停止），旋转过程中射线的位置不变．设旋转时间为t秒，当t为______秒时，射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线． 【答案】(1)6，见解析 (2) (3)，2，11， 【分析】本题考查基本尺规作图、三角形三边关系、一元一次方程的应用等，理解题意，熟练掌握基本作图方法步骤是解答的关键． （1）根据尺规作图-作垂线及线段的方法步骤画图即可；结合图形及各角之间的关系得出点，与点A在同一条直线上，即可求解； （2）连接并延长，然后截取相等线段即可；然后利用三角形三边关系即可得出结果； （3）根据题意分四种情况，作出图形，列出方程依次求解即可． 【详解】（1）解：点、即为所求的点． ∵、是点P关于的对称点， ∴，，，， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴点，与点A在同一条直线上， ∵， ∴． 故答案为：6． （2）解：即为所求的三角形． ∵，关于点P中心对称， ∴，，， ∵， ∴，即． 故答案为：． （3）解：如图①：平分，则， 解得：； 如图②：平分，则， 解得：； 如图③：平分，则， 解得：； 如图④：平分，则， 解得：； 答：t的值为，2，11，． 故答案为：，2，11，． 类型九、新定义问题 【解惑】新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)初步尝试：如图1：已知等腰直角，，请用直尺和圆规将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形，请保留作图痕迹． (2)理解运用：请在图2的方格纸中，画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，网格中求三角形面积，正确理解偏等积三角形的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线平分三角形面积，只需要作线段的垂直平分线交于D，连接，则和即为偏等积三角形； （2）根据网格的特点画出两个面积为2但不全等的三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于D，连接，则和即为偏等积三角形． （2）解：如图所示，和即为所求． 【融会贯通】 1．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的伴随角．如图1，若，则是的伴随角． (1)如图1，已知，，是的伴随角，求的度数； (2)如图2，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（）至，当旋转的角度α为何值时，是的伴随角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O以5度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，当射线，，，构成伴随角时，直接写出旋转的时间． 【答案】(1) (2)旋转的角度为时，是的伴随角 (3)当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成伴随角 【分析】（1）根据伴随角的定义可求得，进一步解答即可； （2）首先求得，然后根据伴随角的定义进一步解答即可； （3）根据伴随角的定义列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：已知，，是的伴随角， ， ； （2）解：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至， ， ， 是的伴随角， ， ， 旋转的角度为时，是的伴随角； （3）解：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为， 如图1， 是的伴随角，， ， ， 解得：， ； 如图2， 是的伴随角，， ， ， ， ； 如图3， 是的伴随角，， ， ， ， ， 如图4， 是的伴随角，， ， ， 解得：， ， 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成伴随角． 【点睛】本题考查了角的计算，角的和差及一元一次方程的应用，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 2．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，若是的内余角，则______； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线构成内余角时，请求出的值． 【答案】(1) (2)的值为 (3)当射线构成内余角时，的值为秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． （1）根据内余角可求出的度数，再根据即可求解； （2）根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； （3）根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，列表求解即可． 【详解】（1）解：∵是的内余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：； （2）解：已知，绕点顺时针方向旋转一个角度得到，绕点顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，， ∴，， ∵是的内余角， ∴， ∴， 解得， ∴的值为； （3）解：根据题意可得，，三角板绕顶点以度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒， 当在内部时，如图所示， ∴，， ∴，， 若是的内余角时，得， ∴，无解， ∴当在内部时，射线不能构成内余角； 当在射线下方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； 当在上方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； 当在内部时，如图所示， ∴，，， ∴， 若是的内余角， ∴，无解， ∴当在内部时，射线不能构成内余角； 综上所述，当射线构成内余角时，的值为秒或秒． 3．新定义：如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 (1)角的平分线_________这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） 【初步应用】 (2)如图①，，射线OC为的“幸运线”，则的度数为_________；（直接写出答案） 【解决问题】 (3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕О点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕О点顺时针旋转，设运动的时间为秒．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t的值． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)的值是2或或 【分析】（1）根据“幸运线”定义即可求解； （2）分3种情况，根据“幸运线”定义得到方程求解即可； （3）分4种情况，根据“幸运线”定义得到方程求解即可． 【详解】（1）设是的平分线， 则， ∴一个角的平分线是这个角的“幸运线”； 故答案为：是； （2）①若， 设，则， 由题意得，，解得， ②若， 设，则， 由题意得，，解得， ③若， 设，则， 由题意得，，解得， 故答案为：或或； （3）当时，射线OB在内部，此时，， 当时，则，即，解得； 当时，则，即，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 故的值是2或或； 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，新定义类问题，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．也考查了钟面角，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 类型十、全等三角形动点求t 【解惑】如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴． 故答案为：； （2）解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 【融会贯通】 1．如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若． (1)求的度数； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒， ①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围； ②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，得出，进而等量代换，即可得证； （2）①当时，由三角形面积公式得；当时，即可； ②两种情况，点在线段延长线上，当时，，得，解得 ；点在线段上，当时，，得，解得即可． 【详解】（1）解：∵在中，为高， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ （2）解：①∵ ∴， ∵，， ∴ 当点Q运动到点E时，，当点运动到点时，， 当时， 如图，； 当时，如图， ． 综上所述，； ②∵， ∴， 当点F在线段BC延长线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 解得：； 当点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴当时，， ∴， 解得：． 综上所述，当与全等时，t的值为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 2．如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当t为何值时，能使． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．分当点F在点C上方时，当点F在点C下方时，两种情况利用全等三角形的性质求出的长，进而利用线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， 当在上方时， ，， 当时，． ， ； 当在下方时， ，， 当时，， ， ， 当或时，能使． 综上所述，或． 3．如图1，在中，，，，.动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，.在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止.当时，求点的运动速度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据路程等于速度乘上时间，即可作答． （2）当时，点在上，利用速度乘时间即可求解，根据面积以及三角形中线的性质，即可作答． （3）设点的运动速度为，然后分点在上，点在上；点在上，点在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，代数式，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． 【详解】（1）解：依题意，在中，，，，，动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为， ∴在时，则． 故答案为：； （2）解：如图： 当时，， ∵的面积等于面积一半 ∴此时’ ∴ 解得 （3）解：设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时，，， ， 解得； ②当点在上，点在上，时，，， 点的路程为，点的路程为， ， 解得； 运动的速度为或， 故答案为：或． 【一览众山小】 1．如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠问题，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质及三角形外角的性质是解题的关键．设与交于点，由折叠的性质可得，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：如图，设与交于点，    由折叠的性质可得：， 由三角形外角的性质可得： ， ， 故选：B． 2．如图，将四边形折叠，折痕为，连接并延长交延长线于点，若，，平分．则下列结论：①．②；③平分；④．其中错误的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，翻折的性质等知识，利用平行线的性质可得，从而得出，即可得出①正确，由平行线的性质和翻折的性质可知②正确；根据平行线的性质可得，若平分，则可证明，根据现有条件无法说明，从而得不到平分，故③错误；设，则，再利用翻折和平行线的性质表示出的度数，从而判断④正确． 【详解】解：， ， ， ， ，故①正确； ， 四边形折叠， ，故②正确； 平分， ， ， ， 若平分，则， ∴，即， 根据现有条件无法说明，即不能说明，故得不到平分，故③错误； 设， 则， ， ，， ，故④正确， 综上所述，错误的有③， 故选：D． 3．如图，在中，，、，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（   ） A．4.2 B．4.8 C．5 D．4.5 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，延长到点，使，则是线段的垂直平分线，连接，过点作交，连接，根据线段垂直平分线的性质可得：，根据垂线段最短，可知当时，的值最小，利用三角形的面积公式求出的长度即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，延长到点，使，连接，过点作交，连接，点 即为使得取最小值的点， ，， 是的垂直平分线，， ， ， ， ， 解得：． 故选：B ． 4．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此可以求出的度数即可得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得， ，， ， ， ． 故答案为：． 5．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题的关键是利用翻折的性质得到角之间的等量关系，再结合平行线的性质建立关于的等式． 先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解． 【详解】沿翻折到的位置， ． 将沿翻折到的位置， ， ． ， ． 故答案为：． 6．如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为，当与全等时，的值是 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查全等三角形性质，代数式表示．根据题意利用与全等分两种情况讨论，①当，时，再分别表示出线段的代数式列式计算即可；②当，时，再分别表示出线段的代数式列式计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵与全等， ①当，时， ∵点在线段上以的速度由点A向点B运动， ∴， ∵点Q在线段上以的速度由点B向点D运动， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：； ②当，时， ∵点在线段上以的速度由点A向点B运动， ∴， ∵，， ∴， ∵点Q在线段上以的速度由点B向点D运动， ∴， ∴，解得：， 综上所述：的值是2或3， 故答案为：2或3． 7．如图，已知． 【初步认识】 （1）尺规作图：求作直线，使和关于直线对称；（不写作法，保留痕迹） 【理解应用】 （2）如图，若在内部，和关于对称，和关于对称，求的度数； （3）如图，若在外部，且，和关于对称，和关于对称，求的度数； 【拓展提升】 （4）若和关于的边对称，且，则的度数是_____． 【答案】（）作图见解析；（）；（）；（）或． 【分析】本题考查了尺规作图——角平分线，轴对称的性质，角度和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （）作平分，直线即为所求； （）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，得到，根据角的和差即可得到结论； （）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （）在内部，当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：（）如图中，直线即为所求； （）如图中， ∵和关于对称， ∴， 又∵和关于对称， ∴， ∵， ∴； （）如图中， ∵和关于对称， ∴， 又∵和关于对称， ∴， ∵， ∴； （）在内部，如图， ∵，关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在外部， ∵， ∴射线在射线的上面，如图， ∵，关于的边对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 8．如图，将放在每个小正方形的边长为1的的正方形网格中． (1)的面积是______； (2)画出以点B为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的． (3)画出关于点C成中心对称的； 【答案】(1)3.5 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查作图-旋转、中心对称变换，熟练掌握旋转、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）利用三角形的面积等于边长为3的正方形的面积减去三个角上的三角形的面积计算即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）根据中心对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：三角形的面积是：， 故答案为：3.5． （2）解：先找到以点B为旋转中心，将按顺时针方向旋转后点、的对应点，再顺次连接得到即为所求． （3）解：画出的顶点、关于点C中心对称的点、，顺次连接点，得即为所求． 9．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点O成中心对称的，再把 向上平移4个单位长度得到． (1)画出和； (2)与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是_______； (3)已知点P在格点上，若，请问这样的点P有______个．（点P异于点C） 【答案】(1)图见解析 (2) (3)6 【分析】本题考查坐标与图形变换—中心对称和平移，熟练掌握中心对称和平移的性质，是解题的关键： （1）根据中心对称的性质，平移的性质，画出图形即可； （2）根据成中心对称对称的特点，连接，交点即为对称中心； （3）利用平移思想，画出满足题意的点，判断即可． 【详解】（1）解：如图，和即为所求； （2）由图可知：对称中心的坐标是； （3）如图，由图可知，符合条件的点共有6个； 10．已知，点在上． (1)如图，点在上，且，在内部作一点，使四边形是轴对称图形； (2)如图，点在的内部，作出两种不同的四边形，使四边形为轴对称图形，且点在上、点在内部、点在四边形的一边上． 要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形、用尺规作图作一个角的平分线、用尺规作图作线段的垂直平分线． 用尺规作图作的平分线，在角平分线上任意选取一点作四边形，则四边形是轴对称图形； 作的平分线，连接交角平分线于点，连接，四边形即为所求； 以点为圆心，长为半径画弧，连接并延长与弧交于点，连接，作的垂直平分线，交于点，连接，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 分别以点、为圆心，相同的长度为半径画弧， 两弧交于点，作射线， 在射线上选取一点， 作四边形， 四边形是轴对称图形； （2）解：如下图所示， 以点为圆心，以的长度为半径画弧，分别交、于点、， 分别以点、为圆心，相同的长度为半径画弧，两弧交于一点， 过点和两弧的交点作射线， 连接并延长交射线于点， 连接， 四边形即为所求； 如下图所示， 以点为圆心，长为半径画弧， 连接并延长与弧交于点， 连接， 作的垂直平分线，交于点， 连接， 四边形即为所求． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$