9.1—9.2 轴对称 平移 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

9.1—9.2 轴对称 平移 一、轴对称 1 轴对称图形的定义：如果一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。 2 轴对称图形的性质： （1） 轴对称图形沿对称轴对折后的两部分是完全相同的，所以它的对应线段相等，对应角相等。 （2） 不在对称轴上的对称点的连接被对称轴垂直平分。 3 轴对称图形的判断方法： （1） 观察法：观察图形是否可以沿某条直线折叠后重合。 （2） 对称轴法：找出图形的对称轴，看图形是否关于这条轴对称。 （3） 对应点法：找出图形上对称的点，看它们是否关于对称轴对称。 二、平移 1 平移的定义：平移是指在同一平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 2 平移的特征： （1） 平移后的图形与原来图形的对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小不变。 （2） 平移后对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。 3 平移的要素：平移的方向和平移的距离。 4 平移的应用：可以利用平移设计图案，需要弄清平移的方向和距离。 巩固课内例1:轴对称图形 1．春节于2024年12月4日被列入世界非物质文化遗产名录，这标志着春节不仅是中国的重要传统节日，也是全球文化多样性的重要组成部分．下面与春节相关的剪纸图案中，是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：A、是轴对称图形，故A选项符合题意； B、不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．汉字“中”“天”“日”“因”都可看作是轴对称图形．请你再写出一个这样的汉字： ． 【答案】关（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可． 【详解】解：由轴对称图形的定义可得：关、甲、出、本、王、平都是轴对称图形． 故答案为：关（答案不唯一）． 3．如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 【答案】(1)三角形①分别与三角形②④成轴对称 (2)整个图形是轴对称图形，有两条对称轴 【分析】本题考查了轴对称和轴对称图形，解决本题的关键是能根据定义识别轴对称和轴对称图形； （1）根据轴对称图形的定义即可解答； （2）根据轴对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：根据图形可得：三角形①分别与三角形②④成轴对称． （2）解：根据图形可得：整个图形是轴对称图形，有横竖两条对称轴． 巩固课内例2:成轴对称 1．下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称；显然只有B选项的其中一个图形可以沿一条直线折叠后与另一个图形重合．本题考查了成轴对称的两个图形的识别，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意； B、两个图形成轴对称，故该选项符合题意； C、两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意； D、两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．下列关于轴对称的说法：①一个轴对称图形可以有多条对称轴；②成轴对称的两个图形一定全等；③若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧；④若点A，B关于直线对称，则且平分．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】根据轴对称图形的性质逐项判断即可． 【详解】解：①一个轴对称图形可以有多条对称轴，正确； ②成轴对称的两个图形一定全等，正确； ③若两个图形关于某直线对称，它们的对应点可能都在对称轴上，原说法错误； ④若点A，B关于直线对称，则且平分，原说法错误； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键． 3．下列各图中的两个三角形成轴对称吗？如果成轴对称，请画出对称轴；如果不成轴对称，请说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义逐个分析即可，一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：②③④均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的图形能够完全重合，所以不是成轴对称图形， ①能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的图形能够完全重合，所以是成轴对称图形． 如图， 巩固课内例3:对称轴 1．下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴，掌握轴对称图形定义，确定对称轴是关键． 轴对称图形是在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此确定对称轴即可求解． 【详解】解：A、，有3条对称轴，不符合题意； B、，有4条对称轴，不符合题意； C、，有2条对称轴，符合题意； D、，有6条对称轴，不符合题意； 故选：C ． 2．如图，将一张彩色正方形纸沿对角线对折，再沿等腰三角形底边上的高对折．用剪刀在折好的纸上剪一个漂亮的图案，并将纸打开，该图案有 条对称轴． 【答案】2/两 【分析】此题考查了有关轴对称的相关知识，其中要明确题中每次的对折都是完全重合的，即就是轴对称图形，那么题中有两次折叠，这样对称轴的个数也就出来了． 根据每次的折叠都是完全重合的图形，由此可得到对称轴的条数． 【详解】解：根据图中的每次的折叠，都是完全重合，故两次折叠得到了2个对称轴，且之后的裁剪对对称轴没有影响． 故该图案有2条对称轴， 故答案为：2． 3．分别画出下列各个图形的对称轴（不写画法）． 由两个底边相同的等腰三角形组成： 由两个相同且底边重合的等腰三角形组成： 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称图形及对称轴的概念，解题的关键是理解对称轴是使图形沿此直线对折后两边完全重合的直线． 根据对称轴的定义，分别找出两个组合图形中能使图形对折后完全重合的直线． 【详解】如图所示： 由两个底边相同的等腰三角形组成的图形对称轴是：沿两个等腰三角形顶点的连线对折，图形两边可以完全重合，形成的对称轴； 由两个相同且底边重合的等腰三角形图形对称轴是：一条对称轴是连接两个不重合顶点的线段的垂直平分线，另一条对称轴是两个等腰三角形重合底边所在的直线． 巩固课内例4:作垂直平分线 1．某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区提供牛奶，要使两小区到送奶站的距离相等，则送奶站的位置应该在（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，要使两小区到送奶站的距离相等，只需设在线段的垂直平分线与街道的交点处即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，要使两小区到送奶站的距离相等，只需设在线段的垂直平分线与街道的交点处即可． 故选：B． 2．已知线段，利用尺规，按照以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线，则直线就是线段的 ． 【答案】垂直平分线 【分析】此题考查了垂直平分线的作图，根据垂直平分线的作图进行解答即可． 【详解】解：由垂直平分线的作图可知，直线就是线段的垂直平分线， 故答案为：垂直平分线 3．如图，已知，用尺规在上确定一点，使．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了尺规作图——线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的作法． 作线段的垂直平分线交于一点，即为点． 【详解】解：如图，点即为所求． 巩固课内例5:作角平分线 1．如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、三角形内角和定理等知识点，掌握角平分线的尺规作图法成为解题的关键． 由三角形内角和可得，再根据作图过程可得平分，即，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图过程可得：平分， ∴， ∴． 故选D． 2．如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M．若，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和角平分线的尺规作图， 根据平行线的性质可知，再利用角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵根据作法可知：是的平分线， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，三角形内角和定理．先求得，再作出的平分线，再利用三角形的外角性质即可得解． 【详解】解：如图，点D即为所作， ∵， ∴， ∴， 由作图知， ∴． 巩固课内例6:作轴对称图形 1．如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形最多能画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称图形的概念，画出图形即可． 【详解】解：在网格中与△成轴对称的格点三角形最多能画出3个． 故选：B． 2．请在下面的这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处，填上适当的图形 ． 【答案】 【分析】根据已知可以得出此图形是连续的数字，得出空白处是6并且是轴对称图形，据此即可解答． 【详解】解：根据已知可以得出此图形是连续的数字并且是轴对称图形，则横线上的空白处的图形是：． 故答案为：． 3．如图，画出关于直线l对称的，并写出对应边与对应角． 【答案】图见解析，对应边为：与与与；对应角为：与与与 【分析】本题考查作轴对称图形，熟练掌握作轴对称的方法是解题的关键． 根据轴对称的性质作出图形，再写出对应边和对应角即可． 【详解】解：如图，即为所求， 对应边为：与与与；对应角为：与与与． 巩固课内例7:设计轴对称图案 1．如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在的方格纸中，再补出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则有（    ）种不同补法． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义画出图形即可解答． 【详解】解：如图所示，一共有4种画法， 故选：A． 2．如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 【答案】8 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．将五块空白的正六边形变号，逐个判断即可作答． 【详解】如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形， 即共计有8种； 故答案为：8． 3．在图分别补充个小方块，在图中分别补充个小方块，分别使它们成为轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义解答即可，解题的关键是掌握轴对称图形的定义，轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：如图，（答案不唯一） 巩固课内例8:图形的平移 1．小刚读了“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了如图所示的几幅鱼的图案，则下列四个选项中可以通过左图平移后得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是生活中的平移现象，熟知图形平移变换的性质是解答此题的关键．根据平移的特征分析各图特点，只要符合“图形的形状、大小和方向都不改变”即为答案． 【详解】解：观察选项，可以通过左图平移后得到的是选项C，其它三项皆改变了方向，故不合题意． 故选：C． 2．如图，将沿边向右平移得到，交于点G．已知，，，则图中阴影部分面积为 cm2．      【答案】 【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质，的对应边是，求出的长度，，则是直角三角形，是直角，则是梯形的高，根据的长度求出的长度，利用梯形的面积公式求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵是梯形高 ． 故答案为：． 3．观察图中五个“五角星”组成的图案，它们可以看作是由自身的一部分平移得到的吗？试说明理由． 【答案】可以看作是由自身的一部分平移得到的，理由见解析 【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．此题主要考查了图形的平移，判断图形是否由平移得到，要把握两个“不变”，图形的形状和大小不变；一个“变”，位置改变． 【详解】解：可以看作是由自身的一部分平移得到的， 结合图形和平移性质，得出可以看作是由中间的一个小五角星分别向左上方、左下方、右上方、右下方平移得到的． 巩固课内例9:平移的性质 1．如图，三角形沿所在的直线向右平移得到三角形，当，时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，线段的和差关系等知识．首先根据平移的性质得到，然后结合得到，进而求解即可． 【详解】解：由平移可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为4． 故选：C． 2．如图，将三角形沿边向右平移得到三角形，已知四边形的周长为，那么三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，由题意可得，，再根据四边形的周长为，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∵四边形的周长为， ∴，即， ∴，即， ∴三角形的周长为， 故答案为：． 3．如图，直线，直线与直线、分别交于点、，点是直线上一点，连接，将三角形沿着方向平移得到三角形，平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，平移的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，由平移性质得到，即可证明． 【详解】证明：， ， 平分， ， 由平移性质得：， ． 巩固课内例10:平移(作图) 1．如图，正方形网格中，能由平移得到的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移变换的性质判断即可． 【详解】如图，线段c是由线段a平移得到的， 故选： B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化－平移，解题的关键是理解平移的定义，属于中考常考题型． 2．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出画法），并回答问题． (1)先画出向下平移6个单位长度得到的；再画出关于直线的轴对称图形； (2)在上画出点，使得最小； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平移作图，作轴对称图形，根据轴对称求线段和最小，求三角形的面积， 对于（1），将三个顶点向下平移6，再依次连接可得然后作三个顶点关于直线的对称点，再依次连接可得； 对于（2），根据点A与点关于直线点对称，可知，，根据“两点之间线段最短”可知连接与直线的交点即为点P； 对于（3），根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的图形； （2）解：如图所示，点P为所求作的点； （3）解：． 类型一、生活中的平移现象 1．下列现象中，属于平移的是（    ） A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动 C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键． 根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A．足球在草坪上滚动，属于旋转，故该选项不符合题意； B．货物在传送带上移动，属于平移，故该选项符合题意； C．小朋友在荡秋千，属于旋转，故该选项不符合题意； D．汽车雨刮器的摆动，属于旋转，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．中华文化，博大精深．在中国的一些文字里，可以看作是平移变换而得到的．如：“日”“朋”“森”等，请你额外再写一个具有平移变换现象的汉字 ． 【答案】林（答案不唯一） 【分析】根据平移的基本性质，写出的汉字只需由两或三个完全相同的部分组成即可． 【详解】根据题意，由两或三个完全相同的部分组成的汉字即可： 则可以有：林，晶等，答案不唯一． 故答案为：林，晶等，答案不唯一． 【点睛】本题考查平移的基本性质的运用：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 3．让我们先做一个简单的游戏． 如图表示一个乒乓球放在由四根木棒搭成的“杯子”里．你能只移动其中的两根木棒，使乒乓球跑到“杯子”外面吗？试一试． 【答案】见详解 【分析】将③号棒左移，②号棒移动到③号棒另一头，即可使乒乓球跑到“杯子”外面． 【详解】解：如图，即可使乒乓球跑到“杯子”外面． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，培养学生的观察能力和动手能力，具有较强的空间想象能力是解题关键． 类型二、平移的性质求长度 1．如图，将沿方向平移得到．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质、线段的和差等知识点，掌握平移的性质成为解题的关键． 由平移的性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质可得，，根据题意求出，即可求出． 【详解】解：∵向右平移得到， ∴点A、B、C的对应点分别为D、E、F， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：3 3．动手操作： （1）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接． ①线段平移的距离是___________； ②四边形的面积是___________； （2）如图2，在的网格中，将向右平移3个单位长度得到． ③画出平移后的； ④连接，多边形的面积是___________ 拓展延伸：（3）如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是___________． 【答案】（1）①；②（2）③见解析，④（3）平方米 【分析】本题考查平移性质的应用、列代数式，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键． （1）①根据平移性质和网格特点求解即可；②根据网格特点和平行四边形的面积公式求解即可； （2）③根据平移性质和网格特点可画出图形；④根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积公式求解即可； （3）根据平移性质，可将小路两边的草坪平移，拼凑成一个长米，宽为b米的长方形，再利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：①根据平移性质，线段平移的距离是； ②根据图形，四边形的面积为：； 故答案为：①；②； （2）解：③如图所示，即为所求作； ④由图形知， ∴多边形的面积为： ， 故答案为：； （3）解：由题意得，将小径右侧平移与左侧拼接成一个长方形， 长方形的长米，宽为b米， 则剩下的草坪面积是：， 故答案为：平方米． 类型三、平移的性质求角度 1．如图，点B，C在直线l上，点A是直线l外一点，连接，是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，已知点在线段上，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质．根据平移的性质可得，从而得到，再结合，即可求解． 【详解】解：如图， 由平移的性质得：， ∴， ∵，， ∴， 2．如图，中，平分，将沿射线平移，当点D与点C重合时．交于点E，已知，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查平移性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．根据平移后对应边平行得到，进而得到，然后利用角平分线的定义求解即可． 【详解】解：由平移性质得， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 3．如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． (1)若，，求的度数和的长． (2)若的面积是，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平移的性质以及平移的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移性质，得，则，结合条件，即可作答； （2）作平行交于点D．根据平移性质，得、与平行四边形相等，可求解． 【详解】（1）解：沿着方向平移至， ． ， ． 平移的距离是边的1.5倍， ． ． （2）解：作平行交于点D． 沿着方向平移至， ，． 、与平行四边形等高，． ． 平移的距离是边的倍， ． 设的高为h， ， 平行四边形  的面积三角形的面积， 四边形的面积为． 类型一、平移的性质求面积 1．如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的矩长方形，然后根据长方形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：， 绿化区的面积是， 故选：C． 2．如图（1），在长为，宽为的一块草坪上修了一条宽的笔直小路，现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为的弯曲小路如图（2），草地部分的面积 （填“变大”或“不变”或“变小”）． 【答案】不变 【分析】本题考查了平移的知识，注意运用平移的知识可以把几个图形拼成一个整体进行计算，后边的面积计算的时候注意以直代曲的一种思想，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题把第一个图形中的两块草坪上下平移，则为一个长方形；同理可将曲路两旁的部分进行整合，也可整合为一个长方形，然后即可求解； 【详解】解：可以把小路看作贯穿整个草坪、宽始终为的带状区域，无论它是笔直还是弯曲，只要仍然在同一矩形草坪中贯通两边，每条与小路垂直的横截线在小路内的长度都固定为 ，因此小路占据的面积不变，对应的草地面积也就不变； 故答案为：不变； 3．如图，在中，，将沿着方向平移得到．已知，，，，交于点． (1)求线段的长和的大小． (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，则，根据平移可得，进而根据平行线的性质可得，根据，即可求解； （2）根据，得到，再根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：沿着方向平移得到， ，，，， ，， ， ， ， ， ． （2）平移， ， ， 　， ， ，， ． 类型二、轴对称的性质——光线问题 1．如图，镜面与水平桌面的夹角，光线经平面镜反射到水平天花板，与反射光线的夹角，则光线与天花板所形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角度的计算，理解反射原理，掌握角度的计算方法是关键． 如图所示，过点作，作，可得，，根据反射原理，可得，根据垂直的定义得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，作， ∵水平桌面与天花板平行， ∴， ∴，， 根据反射原理，可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 2．根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得． 【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为， ∵是两面互相平行的平面镜， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为， 又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 3．茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【答案】见解析 【分析】本题意思是在上找一点D，在上找一点E，使的周长最小．如果设点C关于的对称点是M，关于的对称点是N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小． 【详解】.解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E． 则C→D→E→C为所求的行走路线． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，灵活运用对称性的基本性质是解题关键． 类型三、轴对称的性质——台球问题 1．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】本题考查轴对称的知识，根据题意画出图形，然后即可作出判断．难度不大，注意画出图形会使问题比较简单直观． 【分析】解：根据图形可得总共反射了7次． 故选：B． 2．如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有 个． 【答案】2 【分析】根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解． 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点． 3．如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 【答案】见解析 【分析】本题是日常生活中常见的台球问题，通过感知并描述台球的运动规律，想象出小球被撞击后的运动路线，可利用轴对称的性质作出图形，培养了空间观念和应用意识．要使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N，可画点M关于的对称点，连接交于点O，则沿方向撞击白球可满足要求． 【详解】解：如图所示，画点M关于的对称点；连接交于点O，则白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 理由：由轴对称性质得． 又∵， ∴． ∴白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 类型一、折叠问题 1．把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，轴对称的性质．由折叠可得，再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得， ∵在长方形纸片中，， ∴． 故选：B 2．如图所示，矩形纸片，点为边上一点，连接．将沿对折，点落在点处；将沿对折，点落在点处．若．下列结论：①若，则；②；③若，则；④若平分，则．其中一定正确的有 （填序号即可）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了折叠的性质，角的和差，角平分线的定义，由平角定义可得，即可判断①；由折叠的性质可得，，进而可判断②；由，得，即得，得到，即可判断③；由角平分线的定义得，即得，可得，进而得，得到，即可判断④，综上即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：若，则，故①错误； 由折叠可得，，， ∵， ∴，故②正确； 若，则， ∴， ∴， 解得， ∴，故③正确； 若平分，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上，正确的结论有②③， 故答案为：②③． 3．学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含α的式子表示）． (2)如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，，由平行线的性质得，推出，即可得出． （3）根据，，得出，根据平行线的性质得出，根据，可以得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型二、平移的解决应用 1．某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地．如图，若将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这条小路的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平移解决实际问题，理解题意，草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，利用原长方形面积减去草坪面积，得出小路的面积． 【详解】解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴这条小路的面积为， 故选：C． 2．如图，在长，宽的长方形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分．若每条小路的宽度为，则草坪的面积为 ． 【答案】540 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，由长方形的面积得，即可求解；能根据题意列出算式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 （）， 故答案为：． 3．如图，粗线和细线是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线． (1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）； (2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程千米之间的关系； (3)如果这段路程长千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由． 【答案】(1)一样长，画图见解析 (2) (3)够，理由见解析 【分析】（1）利用平移的性质得出两条线路的长相等； （2）利用出租车收费标准进而得出答案； （3）利用（2）中所求即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：两条线路一样长； （2）由题意可得：； （3）小丽坐出租车由体育馆到少年宫，钱够， 理由：由（2）得：（元）． ∵， ∴小丽坐出租车由体育馆到少年宫10元够． 【点睛】此题主要考查了代数式求值以及生活中的平移现象，正确得出m与s的函数关系式是解题关键． 1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A．惜 B．时 C．如 D．金 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，在解决此类问题时，将图形逐一进行翻折，看是否可以找到这样的直线，使翻折前后的图形完全重合，若能找到，则是轴对称图形，若不能找到，则不是轴对称图形． 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；结合上述知识，将图形逐一进行翻折，判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可得金是轴对称图形． 故选D． 2．如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称的性质．根据轴对称的定义和性质解答：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）；轴对称图形的对应线段、对应角相等． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴，所以，故③说法正确； ∴直线m是线段的垂直平分线，故①说法正确； ∴直线m也是线段的垂直平分线，不会被线段垂直平分，故②说法错误； 故选：C． 3．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，梯形面积公式等，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，，然后根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图形平移的性质可得，，， ， ， 故选：A． 4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕．，则 度． 【答案】56 【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：56． 5．如图，点在内，点、分别是点关于，的对称点，分别交，于点，．若的周长是，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，根据轴对称的性质可得，，推出的长等于的周长．解题的关键是掌握轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：∵点、分别是点关于，的对称点， ∴，， ∴， ∵的周长是，即， ∴，即的长是． 故答案为：． 6．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移可得空白部分长方形的长为，宽为，即得空白部分长方形的面积为，进而可求出阴影部分的面积，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移可得，空白部分长方形的长为，宽为， ∴空白部分长方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 7．如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画两个阴影的小正方形，使补画后的四个阴影图形为轴对称图形，请给出两种画法． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查了轴对称图形的画法，理解相关知识是解答关键． 根据轴对称图形的相关知识画出图形即可求解． 【详解】解：根据题意画图如下 8．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，已知的顶点都在格点上． (1)若和关于直线l对称，请画出； (2)将向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请画出，并画出平移方向． 【答案】(1)作图见详解； (2)作图见详解． 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、作图—平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质． （1）利用网格作出各顶点关于直线l对称的点，再顺次连接即可； （2）利用平移的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，作出各顶点关于直线l对称的点，再顺次连接，即为所作， （2）解：如图，找出将各顶点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度的对应点，再顺次连接各点，即为所作；平移方向如图所示． 9．如图，这是由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，请以为端点作一条线段，使线段与线段平行且相等． (2)在图2中，请在格点上找一点，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意意，正确定作出图形． （1）根据平行线的判定和性质不就出点，连接即可； （2）取格点，连接即可． 【详解】（1）解：对于线段，从点到点，横向移动了3个单位长度，纵向移动了1个单位长度．以为端点，按照相同的横向和纵向移动距离确定点．因为在平面几何中，经过平移得到的线段与原线段平行且相等，所以这样作出的与平行且相等． （2）解：要使，我们在网格中通过格点构造与平行的直线． 过点作这条平行线，这条平行线与格点的交点就是点．此时与相关直线形成的和是同位角，根据同位角的性质，当两直线平行时同位角相等，所以． 10．如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移可得，，进而可得根据阴影部分周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）根据，设，则，根据平行线的性质以及平移的性质得出，进而列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵的周长为， ∴ ∴阴影部分的周长为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 依题意，， ∴， （3）解： ∵，设，则 如图，连接， ∵， ∴ ∴ 解得： 即 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.1—9.2 轴对称 平移 一、轴对称 1 轴对称图形的定义：如果一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。 2 轴对称图形的性质： （1） 轴对称图形沿对称轴对折后的两部分是完全相同的，所以它的对应线段相等，对应角相等。 （2） 不在对称轴上的对称点的连接被对称轴垂直平分。 3 轴对称图形的判断方法： （1） 观察法：观察图形是否可以沿某条直线折叠后重合。 （2） 对称轴法：找出图形的对称轴，看图形是否关于这条轴对称。 （3） 对应点法：找出图形上对称的点，看它们是否关于对称轴对称。 二、平移 1 平移的定义：平移是指在同一平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 2 平移的特征： （1） 平移后的图形与原来图形的对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小不变。 （2） 平移后对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。 3 平移的要素：平移的方向和平移的距离。 4 平移的应用：可以利用平移设计图案，需要弄清平移的方向和距离。 巩固课内例1:轴对称图形 1．春节于2024年12月4日被列入世界非物质文化遗产名录，这标志着春节不仅是中国的重要传统节日，也是全球文化多样性的重要组成部分．下面与春节相关的剪纸图案中，是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 2．汉字“中”“天”“日”“因”都可看作是轴对称图形．请你再写出一个这样的汉字： ． 3．如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 巩固课内例2:成轴对称 1．下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（　　） A．   B．   C．   D．   2．下列关于轴对称的说法：①一个轴对称图形可以有多条对称轴；②成轴对称的两个图形一定全等；③若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧；④若点A，B关于直线对称，则且平分．其中正确的是 ．（填序号） 3．下列各图中的两个三角形成轴对称吗？如果成轴对称，请画出对称轴；如果不成轴对称，请说明理由． 巩固课内例3:对称轴 1．下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将一张彩色正方形纸沿对角线对折，再沿等腰三角形底边上的高对折．用剪刀在折好的纸上剪一个漂亮的图案，并将纸打开，该图案有 条对称轴． 3．分别画出下列各个图形的对称轴（不写画法）． 由两个底边相同的等腰三角形组成： 由两个相同且底边重合的等腰三角形组成： 巩固课内例4:作垂直平分线 1．某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区提供牛奶，要使两小区到送奶站的距离相等，则送奶站的位置应该在（　　） A． B． C． D． 2．已知线段，利用尺规，按照以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线，则直线就是线段的 ． 3．如图，已知，用尺规在上确定一点，使．（保留作图痕迹，不必写作法） 巩固课内例5:作角平分线 1．如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M．若，则 ． 3．如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 巩固课内例6:作轴对称图形 1．如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形最多能画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．请在下面的这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处，填上适当的图形 ． 3．如图，画出关于直线l对称的，并写出对应边与对应角． 巩固课内例7:设计轴对称图案 1．如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在的方格纸中，再补出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则有（    ）种不同补法． A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 3．在图分别补充个小方块，在图中分别补充个小方块，分别使它们成为轴对称图形． 巩固课内例8:图形的平移 1．小刚读了“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了如图所示的几幅鱼的图案，则下列四个选项中可以通过左图平移后得到的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将沿边向右平移得到，交于点G．已知，，，则图中阴影部分面积为 cm2．      3．观察图中五个“五角星”组成的图案，它们可以看作是由自身的一部分平移得到的吗？试说明理由． 巩固课内例9:平移的性质 1．如图，三角形沿所在的直线向右平移得到三角形，当，时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，将三角形沿边向右平移得到三角形，已知四边形的周长为，那么三角形的周长为 ． 3．如图，直线，直线与直线、分别交于点、，点是直线上一点，连接，将三角形沿着方向平移得到三角形，平分．求证：． 巩固课内例10:平移(作图) 1．如图，正方形网格中，能由平移得到的线段是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    3．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出画法），并回答问题． (1)先画出向下平移6个单位长度得到的；再画出关于直线的轴对称图形； (2)在上画出点，使得最小； (3)求的面积． 类型一、生活中的平移现象 1．下列现象中，属于平移的是（    ） A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动 C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动 2．中华文化，博大精深．在中国的一些文字里，可以看作是平移变换而得到的．如：“日”“朋”“森”等，请你额外再写一个具有平移变换现象的汉字 ． 3．让我们先做一个简单的游戏． 如图表示一个乒乓球放在由四根木棒搭成的“杯子”里．你能只移动其中的两根木棒，使乒乓球跑到“杯子”外面吗？试一试． 类型二、平移的性质求长度 1．如图，将沿方向平移得到．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长为 ． 3．动手操作： （1）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接． ①线段平移的距离是___________； ②四边形的面积是___________； （2）如图2，在的网格中，将向右平移3个单位长度得到． ③画出平移后的； ④连接，多边形的面积是___________ 拓展延伸：（3）如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是___________． 类型三、平移的性质求角度 1．如图，点B，C在直线l上，点A是直线l外一点，连接，是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，已知点在线段上，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，平分，将沿射线平移，当点D与点C重合时．交于点E，已知，则的度数为 ． 3．如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． (1)若，，求的度数和的长． (2)若的面积是，求四边形的面积． 类型一、平移的性质求面积 1．如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．如图（1），在长为，宽为的一块草坪上修了一条宽的笔直小路，现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为的弯曲小路如图（2），草地部分的面积 （填“变大”或“不变”或“变小”）． 3．如图，在中，，将沿着方向平移得到．已知，，，，交于点． (1)求线段的长和的大小． (2)求图中阴影部分的面积． 类型二、轴对称的性质——光线问题 1．如图，镜面与水平桌面的夹角，光线经平面镜反射到水平天花板，与反射光线的夹角，则光线与天花板所形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 3．茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 类型三、轴对称的性质——台球问题 1．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有 个． 3．如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 类型一、折叠问题 1．把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，矩形纸片，点为边上一点，连接．将沿对折，点落在点处；将沿对折，点落在点处．若．下列结论：①若，则；②；③若，则；④若平分，则．其中一定正确的有 （填序号即可）． 3．学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含α的式子表示）． (2)如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 类型二、平移的解决应用 1．某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地．如图，若将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这条小路的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在长，宽的长方形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分．若每条小路的宽度为，则草坪的面积为 ． 3．如图，粗线和细线是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线． (1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）； (2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程千米之间的关系； (3)如果这段路程长千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由． 1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A．惜 B．时 C．如 D．金 2．如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕．，则 度． 5．如图，点在内，点、分别是点关于，的对称点，分别交，于点，．若的周长是，则的长是 ． 6．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 7．如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画两个阴影的小正方形，使补画后的四个阴影图形为轴对称图形，请给出两种画法． 8．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，已知的顶点都在格点上． (1)若和关于直线l对称，请画出； (2)将向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请画出，并画出平移方向． 9．如图，这是由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，请以为端点作一条线段，使线段与线段平行且相等． (2)在图2中，请在格点上找一点，连接，使得． 10．如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$