2025届上海市宝山区上海市行知中学高考三模数学试卷

宝山区高三三模数学试卷 2025.05 一，填空题 1.设a∈R,集合A=[L,3],B=[a,4],若A∩B=[2,3],则a= 2.首项为2，公比为的无穷等比数列{a,}的各项和为 3.大圆面积为9π的球的体积是 4已知co写-)=}则sina+ 5.已知a=(3,1),b=(1,2),则a在b上的数量投影是 6.在(1+x)”的展开式中，第2项和第4项的系数相同，则n= 7.已知幂函数f(x)过点(9,3)，若f(2a-1)<f(3-2a),则实数a的取值范围是 8.随机变量X~N105,19),Y~N100,92),若P(X≤a)=P(Y≤a),则实数a的值为 9.已知复数zo仁4，集合{z|z-zo=2,z∈C}所构成区域的面积是 10.从1、2、3、4、5、6、7、8、9中依次取出4个不同的数，分别记作a、b、c、d, 若a+b和c+d的奇偶性相同，则a、b、c、d的取法共有 种 11.(教材)如图，要在A和D两地之间修一条笔直的隧道， 现从B地和C地测量得到：∠DBC=24.2°，∠DCB=35.4, ∠DBA=31.6°，∠DCA=17.5°，为确定隧道AD的方向， 可求得∠DAB= 一（精确到0.1°） 12.已知a>0,函数y=f(x)的定义域是[0，+o),且满足f(x)=f(). 记函数 y=f(x)的值域为A,若存在b>a,使得对于任意符合要求的函数y=f(x),均满足： {y|y=f(x),xe[0,a]Ub}=Ar,则实数a的取值范围是 二.选择题 13.成对数据（化，y)(i=1,2,,n)的回归方程为y=àx+b,则它们在x处的离差是(） Ay-c+)B.1y-(c+1CD-(@+8D.2-(c+6刎 4“x>0”是“2+>2”的（)条佣 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 15.如图，长方体ABCD-ABCD中，AB=1,AD=2, 0 AA=3,P是线段AC上的动点，则下列直线中，始终与 直线BP异面的是() A.DD B.BC C.DC D.AC 16.己知曲线C:sin(x+2y)=2x-y,P(x,yo)为曲线C 上任一点，以下4个命题： ①曲线C与直线y=x+1恰有四个公共点；②曲线C与直线y=2x-1相切； ③是x,的函数；④x是的函数.正确的个数是（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 三.解答题 I7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面PAD,底面ABCD为矩形，E为线段PD的 中点，AB=1,PA=AD=2. (1)求证：PB∥平面ACE; (2)求直线AP与平面ACE的夹角的正弦值. 18.已知a∈R,函数fx+1)=log,(+1+马. x+1 (1)若a=2,求函数f(x)的表达式及定义域： (2)若关于x的方程f()-log2[(a-2)x+3a-5]=0的解集中恰好只有一个元素， 求实数a的取值范围。 19.2025世界人工智能大会将在上海举办，为普及人工智能相关知识，滨江中学组织学生 参加“人工智能”知识竞赛，竞赛分为理论知识和实践能力两个部分，每部分的成绩分为三 档，分别为基础、中等、优异.现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩， 成绩统计人数如表： 理论 基础 中等 优异 实践 基础 0 2 1 中等 3 b 优异 2 3 a (1)若从这20位参加竞赛的学生中随机抽取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为优异 的学生概率为号.求a、b的值： (2)在（1)的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取2人， 求至少有一人实践能力的成绩为优异的概率： (3)若基础、中等和优异对应得分为1分、2分和3分，当参赛学生理论成绩的方差最小时， 求b的值. 20.如图，P是抛物线「：y2=2x上一点，过点P的直线1与x、y轴分别交于A、B两点， 且B是线段PA的中点，Q是抛物线Γ上异于点P的动点. (1)证明：直线1是抛物线T的切线； (2) 11 已知T令，且△POT的重心是r的熊点，求PO所在的直线方程： (3)若B、F分别在线段4Q、PQ上，且4E+PE=1,EF交BQ于点G, EOI IFOI 求证：点G是△APQ的重心. D B 21.把一列函数(x)、f(x)、、fn(x)、…按一定次序排列称为函数列，记为{f(x)} (n是正整数)，f(x)为f(x)的导函数.记Mn(a)={t川t=fn(x)-fn(a),x≥a}, L(a)=tt=f(x)-f(a),xsa. ()若)=二，求证：2025y是等比数列： (2)若(x)=lnx,fn(x)=fm-1(x)-x(n22,n∈N),是否存在正数a,使得 0生M3(a): (3)已知f,(x)在R上有最小值，求证“f(x)是偶函数”的充要条件是“对于任意正实 数c,均有M(-c)=L,(c)”. 参考答案 一.填空题 1.2 2.6 3.36π 5.5 6.4 8.95.5 9.32π 10.1584 11.52.5° 二.选择题 13.A 14.A 15.D 16.B 三.解答题 17.(1)连接BD交AC于点F,,E是PD的中点，F是BD中点.∴EF/IPB, 又.EFC平面ACE,PB文平面ACE,.PB//平面ACE. (2)建立如图所示的空间直角坐标系A-xz.则A(0,0,0,),C(1,2,0),E(01,1), .A正=(0,1,1)，AC=1,2,0) AC=0 设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则 i·AE=0. x+2y=0令x=2,则y=-山z=1. y+z=0. ∴i=（2,-1,1)是平面ACE的一个法向量.AP=(0,0,2), B 设直线AP与平面ACE所成角为B,则直线AP与平面ACE所成角的正弦值为 ∴.sin0= A亚，元月0×0+0×(-1)+2×1-V6 AP2×V22+(-1)2+126 18.(1)/(x+-log))-log() x+1 因为a=2,所以)=1og,2+马，又2+>0得，定义域为(-0，U(0,+o) 1 (2)由(1)得f(x)=log2(仁+a) 方程f-1og[(a-2)x+3a-5]=0,即1og,2+a)-1og[(a-2)x+3a-5]=0 可转化为(a-2)x2+(2a-5)x-2=0,且2+a>0 ①当a-2=0即a=2时，x=-2,符合题意；②当a-2≠0即a≠2时，x=-2,x2= a-2 0当-2=1时，a=3符合题意 a-2 2 的当-2≠1时，4≠名且a≠2时，要满足题意，则有 a-2 2 -1+a>0 。-1+a≤0 3a-4s0→1<a≤或 →无解 3a-4>0 综上可得， a的取值范国Q争U2孕。 [12+a+b=20 19.(1)由题意， 7+a1 ,得a=3,b=5. 20-2 (2)记事件A:理论成绩为优异的学生，事件B:实践成绩为优异，由(1)知，P(B|A)= 3-5 设X表示从全市理论成绩为优异的学生中抽取到实践能力成绩为优异的成功次数， 则X服从B2, 所X≥-1PX-0-1-Q-3- 故至少有一个人实践能力的成绩为优异的概率 5 (3)由题意，a=8-b(0≤b≤8)， 设理论成绩为X,则X取值为1,2,3}，对应的人数分别为{5，b+5,10-b}(0≤b≤8) 1 2 3 所以理论成绩X的分布是 b+5 10-b 20 20 20 所以参赛学生理论竞赛的平均成绩为E(X)=1×,5十 ,b+5,210-b45-b +2× +3× 20 20 2020 所以参赛学生理论成绩的方差为D(X)=E(X2)-[E(X] =1× +4×+5+9x10b-45=--+=-b+5+3 20 20 20 20 4004016400 因为0≤b≤8，所以当b=8时，方差最小. 20.(1)设P %0,因为B是线段PA的中点所以0 则kPA Yo-0 1, 2 2 联立 x=y- 2,整理得y2-2y%y+y=0,所以△=(-2%)-4=0， y2=2x 因此，直线l是抛物线「的切线. (2)设P(x,),2(x2,y2)，P中点为M, x++ 11 3 2 x1+x2= 由已知得 解得 8 1 y+h-2=0 从面M哈 +h=2 3 若瑞0幸不充，周n告吗Q唱哈停.与6写到面，幸特在 16 联立T:y2=2x得： 111k=0, 44 2 因为%+为=是方所以k=4 所以PQ所在直线方程是8x-2y-5=0 (3)因为E,G,F三点共线，所以QG=QE+(1-元)2F. AE PF 又因为 =1,设 AE =4,则 PF 'F2 EO FO =1-μ 所以0死+@2n乎，所以-0+4-00+2亚， 1+4 1+4 2-4 因为B是线段PA的中点，所以元=- 即μ=32-1，所以QG=01+oP, 1+42-4 3 所以G是△APQ的重心. 21.(1)'=e =e“，因为2025) e2025n n n'(2025) e202n--e2025 所以{fn'(2025)}是以e2025为公比的等比数列 (2)f(x)=f(x)-x=f(x)-2x,所以f5(x)=nx-2x 且M3={t|t=f(x)-f(a),x≥a}={t|t=lhx-2x-(lna-2a),x≥a} 令t(x)=lnx-2x-(na-2a),x≥a 则r=-2=1-2x得：（在(0，严格增，在（写+∞）严格减 ①当a≥2时，t()≤(@=0，所以M,=(-o,0]与0EM,(@矛盾 ②当0<a<时，网s,所以M=(s1-h2+2a-d 8(@)=-1-ln2+2a-lna(0<a<) 期go)-2c0.所以g回在0宁上省藏所以g@>s吃-0. 从而0∈M,矛盾，综上，不存在正数a,使得0生M3(a). (3)必要性：若n(x)为偶函数，则 M(-c)=tlt=f (x)-f (-c)x2-c,L(c)=fit=f(x)-f (c)x<c, 当x≥-c,t=n(x)-fn(-c)=fn(-x)-n(c),因为-x≤c,故Mn(-c)=L(c) 充分性：若对于任意正实数c,均有Mn(-c)=Ln(c),其中 Mn（-c)={dt=fn(x)-fn(-c)x≥-c以，L(c)={dt=fn(x)-fn(c)x≤c, 因为f(x)有最小值，不妨设n(a)=fn(x)m=m, 由于c任意，令c≥l4l,则a∈[-c,c], 故Mn(-c)最小元素为fn(a)-f(-c)=m-fn(-c),L(c)中最小元素为m-fn(c), 又Mn(-c)=Ln(c),则m-fn(c)=m-fn(-c)对任意c≥la成立，则 f (a)=f (-a)=m, 若a=0,则fn(c)=fn(-c)对任意c≥0成立→fn(x)是偶函数， 若a≠0，此后取c∈(-al,la), 周}ae 综上，任意c≥0，fn(c)=fn(-c),即f(x)是偶函数. 故"fn(x)是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数c,均有Mn（-c)=Ln(c)”,