精品解析：四川省天立教育集团2024-2025学年高一下学期期中联测数学试题

2025年春期天立教育集团高一年级期中联测 数学试题 （考试时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简：（    ） A. B. C. D. 2. 在△中，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 4. 若为第三象限角，且，则（　　） A. B. C. 2 D. 5. 已知向量，，若在上的投影向量的模为，则k的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知，，则（    ） A. 1 B. C. D. 7. 已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A. 垂心，外心，内心 B. 重心，外心，内心 C. 重心，垂心，外心 D. 重心，垂心，内心 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分.每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对得分，部分选对得部分分，不选或有选错得分. 9. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（ ） A. 与夹角为 B. C. D. 与夹角为 10. 已知函数的部分图象如图所示，其中，则（    ） A. B. C. 在上单调递减 D. 在上有4050个零点 11. 如图，正方形的边长为1，分别为边上的点．则以下选项正确的有（ ） A. 存在使是正三角形 B. 若的周长为，则 C. 若为中点，则的周长的最小值为 D. 若，则的面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，已知是边上一点，若，，则实数的值是________. 13. 如图，在使用无人机测量某塔高度的过程中，发现在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上.则塔的高度MN与无人机距地面的高度AB之比为______. 14. 若存在使满足，则正数的取值范围是_____________________. 四、解答题：本题共小题，共分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值． 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若锐角满足，求. 17. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）若的外接圆的面积为，求的面积. 18. 如图，在等腰梯形中，，，，. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）设点为线段上的一动点，求的取值范围. 19. 已知函数，且为偶函数. （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象. ①求不等式的解集； ②若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期天立教育集团高一年级期中联测 数学试题 （考试时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简：（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算可得计算结果. 【详解】. 故选：D. 2. 在△中，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C. 考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断. 3. 将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据，然后判断出平移的过程即可. 【详解】因为， 所以将的图象向左平移个单位可得到的图象， 而把的图象向左平移后的图象对应的函数为，不合题意； 把的图象向右平移后的图象对应的函数为，不合题意； 故选：B. 4. 若为第三象限角，且，则（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系求出，再由半角公式求. 【详解】为第三象限角，且，则， 得， 故选：A 5. 已知向量，，若在上的投影向量的模为，则k的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的模长公式求解即可. 【详解】向量，，所以， 在上的投影向量的模为：，解得. 故选：B. 6. 已知，，则（    ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知式子平方结合两角和的余弦公式与二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】由两边平方，得①， 由两边平方，得②， 由①②得， 所以. 故选：C. 7. 已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理和三角形解的个数可得答案. 【详解】由正弦定理可得， 若满足条件的三角形有且只有一个，则或， 所以或， 可得或. 故选：D. 8. 已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A. 垂心，外心，内心 B. 重心，外心，内心 C. 重心，垂心，外心 D. 重心，垂心，内心 【答案】D 【解析】 【分析】根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 利用数量积的定义可判断为内心. 【详解】 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心， 故选：D 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分.每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对得分，部分选对得部分分，不选或有选错得分. 9. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（ ） A. 与夹角为 B. C. D. 与夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用向量模的平方等于向量自身的平方，结合已知条件求出，再根据向量点积的定义求与的夹角，接着计算，最后用向量夹角公式计算与的夹角，逐一判断各选项. 【详解】由两边平方，，因，，故，B正确； 对于A，由得，因，故，A错误； 对于C，由，即，C正确； 对于D，由，得，，D错误． 10. 已知函数的部分图象如图所示，其中，则（    ） A. B. C. 在上单调递减 D. 在上有4050个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】坐标可得周期；由图象可知，可求得解析式；将图象向后延拓即可判断C D选项. 【详解】依题意得，，则，所以，解得，故A正确； 由图可知，所以，又，所以，故B正确； 延长的图象如图所示，观察可知，在上先减后增，故C错误； 因为在上有2个零点，所以在上有4050个零点，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，正方形的边长为1，分别为边上的点．则以下选项正确的有（ ） A. 存在使是正三角形 B. 若的周长为，则 C. 若为中点，则的周长的最小值为 D. 若，则的面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等边三角形性质建立方程，求解出的长度判断A，利用勾股定理得到，结合两角和的正切公式求出判断B，将线段长度合理转化，利用三角形性质得到，再求解周长最小值判断C，利用两角和的正切公式结合基本不等式得到，进而求解面积最值判断D即可. 【详解】对于A，设，则， 由勾股定理得， 由得，，解得（负根舍去），故A正确. 对于B，设，，由勾股定理得， 由题意得，即， ， ，故B正确. 对于C，因为，所以只需求的最小值即可. 如图，延长至点，使得，连接，此时可得， 则， 当仅当共线时等号成立，则的周长的最小值为．故C错误. 对于D，设，， ，， 则，即， 因为，当且仅当等号成立， 解得或，因为， 所以，则当时，的最大值为．故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，已知是边上一点，若，，则实数的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合，得到，即可求解. 【详解】因为， 又，所以， 故答案为： 13. 如图，在使用无人机测量某塔高度的过程中，发现在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上.则塔的高度MN与无人机距地面的高度AB之比为______. 【答案】2 【解析】 【分析】由图形确定，再结合正弦定理即可求解. 【详解】中，，则， 由图可知，， 则， 中，由正弦定理， 得， 中，， 即. 故答案为：2 14. 若存在使满足，则正数的取值范围是_____________________. 【答案】 【解析】 【分析】通过正弦函数最值，确定，，从而得到进而求解可解决问题. 【详解】， 所以， 又 所以必有，，， 因为， 当时，， 所以 得，所以，解得． 当时，；当时，； 因此的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共小题，共分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标运算即可求出，再用求模公式即可； （2）利用得到，再利用数量积的坐标形式求解. 【小问1详解】 若，则，即， 则，. 【小问2详解】 ，则，则， ，得. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若锐角满足，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可根据周期公式求解， （2）根据同角正余弦的平方关系以及和差角公式即可求解. 【小问1详解】 . ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 因为，得， 又因为是锐角，所以， 因为是锐角，所以，且，所以， 则 ， 故. 17. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）若的外接圆的面积为，求的面积. 【答案】（1）或 （2） 当时，的面积为； 当时，的面积为. 【解析】 【分析】（1）由二倍角的余弦公式可求得，可求； （2）利用圆的面积，可求得，进而利用正弦定理可求得，确定，进而利用余弦定理可求得，可求面积. 【小问1详解】 由，得， 因为，所以，所以，所以或. 【小问2详解】 设的外接圆的半径为，由，解得. 由正弦定理，，得. 因为，所以，由（1）可得. 由余弦定理，， 得，解得或. 故当时，的面积为； 当时，的面积为. 18. 如图，在等腰梯形中，，，，. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）设点为线段上的一动点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的夹角公式求解即可. （2）由向量的线性运算法则计算. （3）设，，可得关于的表达式，然后根据二次函数的单调性求出最值即可. 【小问1详解】 ，且， ； 【小问2详解】 过点作交的延长线于点， 因为， 且， 是正三角形，， 在中，， . 【小问3详解】 设，， 则， ， ， 令， 在上递减，在上递增， 且， 所以的取值范围是. 19. 已知函数，且为偶函数. （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象. ①求不等式的解集； ②若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用是偶函数推出，结合求出参数值，最后确定解析式即可. （2）①先依据三角函数平移的规则求出，再利用正弦函数的性质求解不等式的解集即可. ②利用诱导公式结合三角函数对称性得到，进而得到，进而将目标式化为一元函数，利用函数的性质判断其单调性，再得到取值范围即可. 【小问1详解】 因为为偶函数，所以的图象关于对称， 即，则， 又，得到， 故的解析式为； 【小问2详解】 ①由题意得将的图象向右平移个单位长度， 再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象 则， 令，则， 解得， 即不等式的解集为； ②令， 则， 即， 其中辅助角的终边过点，即，，， 因为，则， 则由图可知，即， 由得， 得到，则， 即， ， 由反比例函数性质得在上单调递减， 由正比例函数性质得在上单调递减， 则在上递减，且，， 故的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $