河南省周口市2024-2025学年下学期九年级数学竞赛试题

九年级数学测试卷 (时间：100分钟，满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 计算的结果是（　　） A．2m+3n B．m2+3n C．2m+3n D．2m+n3 2．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　） x的取值 ﹣2 2 a 0 分式的值 无意义 0 1 b A．m＝2 B．n＝6 C．a＝﹣4 D．b＝﹣3 3．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣2x＝﹣1 B．x2+3x＝0 C．（x﹣2）2+1＝0 D．（x+1）（x﹣3）＝0 4．将一副直角三角板（∠B＝45°，∠E＝30°）按如图所示的方式摆放，点D在BC上且点F在AC的延长线上．若AB∥DE，则∠CDF的度数为（　　） A．80° B．75° C．70° D．650 （4题图） （6题图） （7题图） 5. 甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为3，众数为5；②中位数为3，最大值与最小值差为3；③中位数为1，平均数为2；④平均数为3，方差为2；可以判断一定没有出现6点的描述共有（　　） A．1人 B．2人 C．3人 D．4人 6．数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 7. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β ，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：3，则下列结论正确的是（　　） A. tanα＝3tanβ B. 3 tanα＝tanβ C. tanα＝tan2β D. tan2α＝tanβ 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC为平行四边形，其中点A（3，0），C（1，4），M为对角线OB的中点．现将平行四边形OABC绕原点O顺时针旋转，每次转45°，则第2025次旋转结束时，点M的坐标为（　　） A． B．（，0） C．（2，﹣2） D．（﹣2，2） （8题图） （9题图） （10题图） （12题图） 9．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从20℃加热到100℃，需要4min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水 D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min 10．数学家研究发现：当弦一定时，圆越小，该弦所对的优弧上的圆周角就越大，劣弧上的圆周角就越小．已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，4），点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标是（　　） A．（4，0） B． C． D．（2，0） 二．填空题（每题3分，共15分） 11．一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过（0，1）点；②当x＞0时，y随x的增大而减小．这个函数解析式为　 　．（写出一个即可） 12．在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最小的值等于 　 　． 13．已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为﹣1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是　 　． 14．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均为格点，过A，B，C作，连接DE交于点F，则弧的长是　 　． (14题图) (15题图) 15．在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝120°，点D是AB上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转120°得到线DE．点M在CD上，且CM：MD＝3：2，以点C为中心，将线CM逆时针转120°得到线段CN，连接EN，则线段EN长度的取值范围为　 　． 三．解答题（共8题，满分75分） 16．计算（10分） （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 17． （9分）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0）， A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题： （1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD，并写出点D的坐标； （2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）； 18．（9分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，此时太阳光线AD与地面CE的夹角为45°． （1）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中A）到地面的距离小于2.3m时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断人进出此遮阳棚时 　 　 （填“有”或“没有”）安全感； （2）求阴影CD的长．（结果精确到0.1米：参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 19．（9分）已知函数y＝x﹣ （1）若点P（a，b）是函数图象上一点，则点P关于原点的对称点Q是否在该函数图象上？请说明理由． （2）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该函数图象上任意两点，且x2＞x1＞0，求证：y2＞y1． （3）若（2）中P、Q是该图象上关于原点对称的任意两点，当y1＞y2时， 　总有x1＞x2 .（填是或不是） 20．（9分）如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE． （1）求证：AC＝BC； （2）若tanB＝2，CD＝3，则DE=　 　． 21．（9分）端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五．民间有“赛龙舟”、“吃粽子”等习俗．某商场在端午节来临之际准备购进A、B两种粽子进行销售，据了解，用3000元购买A种粽子的数量（个）比用3360元购买B种粽子的数量（个）多40个，且B种粽子的单价（元/个）是A种粽子单价（元/个）的1.2倍． （1）求A、B两种粽子的单价各是多少？ （2）若商场计划购进这两种粽子共2200个销售，且购买A种粽子的费用不多于购买B种粽子的费用，写出总费用y（元）与购买A种粽子数量a（个）之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少元？ 22．（10分）在平面直角坐标系中，点（1，m）和（3，n）都在二次函数y＝ax2+bx（a≠0，a，b是常数）的图象上． （1）若m＝n＝﹣6，求该二次函数的表达式和函数图象的对称轴． （2）若a＝﹣1，m＜n，求b的取值范围． （3）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）也都在该二次函数图象上，若mn＜0且a＜0， 试比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 23．（10分）动手操作： 如图1，将纸片△ABC沿中位线GH折叠，点A落在BC边上的点D处，再将纸片分别沿GE，HF折叠，使点B和点C都与点D重合，得到四边形EFHG，连接AD． 【初探】 （1）四边形EFHG的形状是　 　 ； 【延伸】 （2）若AD＝BC，AB＝13，CF＝3.5． ①试判断此时四边形EFHG的形状，并说明理由； ②求此时四边形EFHG的面积； 【拓展】 （3） 如图2，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB＝48，CD＝52．把该纸片折叠，得到了一个无缝隙、无重合的正方形，使所得正方形四个顶点和至少有一条边都在原图边上， 直接写出此时AD的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案与试题解析 一．选择题（每题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B B D C B D D 二．填空题（每题3分，共15分） 11．y＝﹣x+1　或 y＝﹣x2+1　 （写出一个即可） 12．　 　 13． 3＜x＜5 14． 15． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．计算（每题5分，共10分）： （1）原式＝ ＝ ＝ （2）原式＝ ＝ ＝ ＝． 当时， 原式＝． 17．（9分）解：（1）如图，线段CD即为所求，D（1，3）；---------5分 （2）如图，点E即为所求．（答案不唯一，画出一种情况即可） ---------9分 （图1） 18.（9分） 解：（1）有；--------2分 （2）如图，过点A作AF⊥CE于点F，AG⊥BC于点G， 则四边形GCFA为矩形， ∴GA＝CF，GC＝AF， 在Rt△AGB中，AB＝5米，∠BAG＝16°， ∵sin∠BAG＝，cos∠BAG＝， ∴BG＝AB•sin∠BAG≈5×0.28＝1.4（米），AG＝AB•cos∠BAG≈5×0.96＝4.8（米）， ∴GC＝BC﹣BG＝4﹣1.4＝2.6（米），-------6分 在Rt△1ADF中，∠ADF＝45°， ∴DF＝AF＝2.6米， ∴CD＝CF﹣DF＝4.8﹣2.6＝2.2（米）， 答：阴影CD的长约为2.2米．-------9分 19.（9分） 解：（1）点P关于原点的对称点Q在该函数图象上，理由如下： ∵P（a，b）， ∴b＝a﹣， ∴点P关于原点的对称点Q（﹣a，﹣a+）， 当x＝﹣a时，y＝﹣a﹣＝， ∴点P关于原点的对称点Q在该函数图象上； --------------------3分 （2）证明：∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）在数y＝x﹣的图象上， ∴，， ∴y1﹣y2＝＝＝＝， ∵x2＞x1＞0， ∴y1﹣y2＜0， 即y2＞y1． --------------------7分 （3）是 --------------------9分 20.（9分） （1）证明： ∵∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B， ∴∠B＝∠ACE， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE， ∴∠B＝∠BAC， ∴AC＝BC；--------------------6分 （2）DE＝2．--------------------9分 21．（9分） 解：（1）设A种粽子单价为x元/个，则B种粽子单价为1.2x元/个， 根据题意，得：＝40， 解得：x＝5，--------------------4分 经检验，x＝5是原方程的解， ∴1.2x＝6； 答：A种粽子单价为5元/个，则B种粽子单价为6元/个；--------------------5分 （2）设购进A种粽子a个，则购进B种粽子（2200﹣a）个， 依题意，得：5a≤6（2200﹣a）， 解得：a≤1200， -------------------6分 由题意得：y＝5a+6（2200﹣a）＝﹣a+13200， 当a＝1200时，y最小＝12000， 2200﹣1200＝1000， 答：购进A种粽子1200个，购进B种粽子1000个，总费用最低，最低是12000元．------------------9分 22.（10分） 解：（1）当m＝n＝﹣6时，把（1，﹣6）和（3，﹣6）代入y＝ax2+bx得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x； ∵y＝2x2﹣8x＝2（x﹣2）2﹣8， ∴函数图象的对称轴为直线x＝2；----------------3分 （2）当a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx， 把（1，m）和（3，n）代入得： ， ∵m＜n， ∴﹣1+b＜﹣9+3b， 解得b＞4， ∴b的取值范围是b＞4；--------------------6分 （3）把（1，m）和（3，n）代入y＝ax2+bx得： ， ∵mn＜0， ∴（a+b）（9a+3b）＜0， ∴或， ∵a＜0， ∴，即无解； ∴a+b＞0且3a+b＜0；--------------------8分 把（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）代入y＝ax2+bx得： y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b， ∴y1﹣y2＝a﹣b﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＜0，y1﹣y3＝a﹣b﹣（16a+4b）＝﹣5（3a+b）＞0， ∴y1＜y2，y1＞y3， ∴y3＜y1＜y2．--------------------10分 23．（10分）动手操作： 解：（1）矩形； -----------------2分 （2）①四边形EFHG为正方形， 理由：由折叠的性质可得∠AGH＝∠HGD，∠BGE＝∠DGE， ∵∠AGH+∠HGD+∠BGE+∠DGE＝180°， ∴∠HGD+∠DGE＝90°， ∴∠HGE＝90°， 同理可得∠GHF＝∠GED＝90°， ∴四边形EFHG是矩形， ∵AH＝DH＝CH，CF＝DF， ∴HF＝， 同理HG＝， ∴GH＝FH， ∴四边形EFHG为正方形； -----------------5分 ②由折叠的性质得，BE＝DE，DF＝CF＝3.5， 设DE＝BE＝x， ∴BC＝2x+7， ∴AD＝BC＝2x+7， ∵AD2+BD2＝AB2， ∴（2x+7）2+（2x）2＝132， ∴x＝2.5， ∴EF＝DE+DF＝2.5+3.5＝6， ∴四边形EFHG的面积＝EF2＝62＝36； -----------------8分 （3）AD＝14或． -----------------10分 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$