精品解析：2025年安徽省安庆市中考二模数学试卷

2025年安徽中考第二次模拟考试数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是．将数21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的形式，满足，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】∵ ， ∴ 将用科学记数法表示为． 3. 下图是由一个大长方体挖去一个小长方体的立体图形，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看到得到的图形即可得解，也考查了空间想象能力． 【详解】解：由题意可得，它的左视图一个长方形，且横着有一条看不到的线，用虚线表示，如图： 故选：D． 4. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单形式乘以单项式，幂的运算，完全平方公式．根据单项式的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式计算即可判定． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B． 5. 一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解；如图所示，设交于H， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标之和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则m的值为（ ） A. 9 B. 4 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设二次函数图象上的“零和点”坐标为，则有，根据二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，可知，计算求解即可． 【详解】解：设二次函数图象上的“零和点”坐标为， 将代入得，，即， ∵二次函数的图象上有且只有一个“零和点”， ∴， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式．解题的关键掌握二次函数与二次方程之间的关系． 7. 在中，是边上的中线，于点，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，设，则，勾股定理求出，解直角三角形求出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出，即可解答． 【详解】解：设，则， 则， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：D． 8. 已知实数满足，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，不等式的性质，根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 解得：， ， ，故A不符合题意； ， ， ， ， ， ， ，故B不符合题意； ， ， ， ， ， ，故C符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， ，故D不符合题意； 故选：C． 9. 如图（1），中，，，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动到点．图（2）是点运动时，的面积随时间变化的图像，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，，则，利用勾股定理求出，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由图可知，，， 则， 由，可得是直角三角形， 由勾股定理可得 ， 即， 解得，即， 所以， 所以． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点函数的图像以及勾股定理等知识，解决本题的关键是读懂函数图像，获得所需信息． 10. 如图，动点在等边的边上，，连接，于点，以为边在其右侧作等边，的延长线交于点，连接，则下列结论错误的是（　　） A. 的最小值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是1 D. 的最大值是2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，由垂线段最短可得，当时，最小，此时，再由勾股定理计算即可判断A；作于，连接、，由，可得当、、在同一直线上时，的值最小，即可判断B；证明、、、四点共圆，得出当取最大值时，等于直径，即可判断D；再由垂线最短结合解直角三角形即可判断C；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵动点在等边的边上， ∴当时，最小，此时， ∴的最小值为，故A正确，不符合题意； 如图：作于，连接、， 则，， ∵， ∴当、、在同一直线上时，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为，故B正确； 如图，连接、，作，交的延长线于， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴当取最大值时，等于直径，为，故D正确，不符合题意； 由垂线最短可得，当时，最小，此时，故C说法错误，符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式及公式法分解因式．先提取公因式再运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 某校九年级共有1，2，3，4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和3班比赛的概率是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，根据树状图解答即可． 【详解】解：画树状图为： ∵共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1班和3班的结果数为2， ∴恰好抽到1班和3班的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了树状图的问题，掌握树状图的性质是解题的关键． 13. 如图，是直径，点、、在半圆上，若，则___________． 【答案】##150度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 连接，根据直径所对的圆周角为90度可得，进而可得，再根据圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径，点在半圆上， ， ， ∵四边形是的内接四边形， ， ， 故答案为：． 14. 如图，点为反比例函数与正比例函数图象的交点，是直线上的两点，且点均在点右侧，分别过作轴的平行线，交反比例函数的图象于两点． （1）当点，是线段的三等分点时，的值为___________． （2）连接，，若，则的值为___________． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）先联立直线和反比例函数解析式求出点A的坐标，再根据中点坐标公式求出点B和点C的坐标，进而求出点D和点E的坐标，据此求出的长即可得到答案； （2）设，则，，则， ∵，据此可得，则可推出，再利用两点距离计算公式得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）联立，解得或（舍去）， ∴， ∵点，是线段的三等分点， ∴点A和点B分别是的中点， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴ ， 故答案为：6． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行去绝对值，零指数幂和开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 16. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点，，，为格点． （1）以点为对称中心，作关于点的对称图形，作出； （2）用无刻度的直尺作，其中在线段上． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】此题考查了作关于已知点中心对称的图形，利用网格作垂线． （1）连接，延长使，连接，延长使，连接，延长使，即可得； （2）根据网格的特点作出交于点H即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’问客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？” 【答案】72个 【解析】 【分析】设共有客人x人，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗”列出方程即可． 【详解】解：设有x个客人，则 ， 解得，， 答；有72个客人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． 18. 【观察思考】 下列图案是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“★”或“▲”．第1个图案中“★”有4个，“▲”有4个；第2个图案中“★”有8个，“▲”有7个；第3个图案中“★”有12个， “▲”有10个；第4个图案中“★”有16个，“▲”有13个． 【规律发现】 （1）请求出第n个图案中“★”和“▲”各有多少个；（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）在第30个图案中，分别求“★”的数量和“▲”的数量． 【答案】（1）第n个图案中“★”有个，“▲”有个；（2）在第30个图案中， “★”有120个， “▲”有91个． 【解析】 【分析】此题考查了图形个数规律题，发现正确的规律是解题的关键． （1）根据题中的规律进行解答即可； （2）利用（1）中的规律分别求出“★”的数量和“▲”的数量即可得到答案． 【详解】（1）第1个图案中“★”有个；“▲”有个； 第2个图案中“★”有个；“▲”有个； 第3个图案中“★”有个；“▲”有个； 第4个图案中“★”有个；“▲”有个； …… 第n个图案中“★”有个，“▲”有个； （2）第30个图案中，“★”的数量为；（个）， “▲”的数量为：（个）， ∴在第30个图案中， “★”有120个， “▲”有91个． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 2025年春节，《哪吒》系列电影上映，是传统文化的传承与创新，也加大了文化的输出与交流，更让我国影视业的综合实力迈向一个更高台阶．根据相关协会公布的准则，为了保证观影效果，观众视线与银幕水平线之间的仰角不宜超过．如图，某电影院的观众席成阶梯状，每一级台阶的水平宽度都为，垂直高度都为．已知在点和点两个位置看屏幕顶端的仰角分别和，请根据已有数据，计算大银幕高度．（结果保留整数；参考数据：， 【答案】大银幕高度大约为6米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过点作于点，过点作于点．设米，则米．分别求解，，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． 设米，则米． 在中，，， ∴（米） 在中，， （米） 由题意得：， 即， 解得． 所以（米）． 答：大银幕高度大约为6米． 20. 如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线相交于点，弦平分，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求弦的长． 【答案】（1） 证明：为的直径， ， ， 又切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】根据圆周角定理可知，根据切线的性质可知，所以可得，，根据同角的余角相等可得，从而可证，根据角平分线的性质可证，根据三角形外角的性质可知，又因为，所以可得，根据等角对等边可证结论成立； 连接，过点作于点，根据角平分线的性质可证是等腰直角三角形，因为，可得，所以，利用勾股定理可以求出，从而可知，利用勾股定理可以求出，从而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示，连接，过点作于点， 平分， ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， ， 解得， 则， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合、勾股定理、等腰直角三角形的性质、切线的性质、解决本题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形． 六、（满分12分） 21. 某校开展“书香校园”课外读书周活动，活动结束后，经初步统计，所有学生这一周的课外阅读时长都不低于6小时，但不足12小时．从七、八年级中各随机抽取了20名学生，对他们在活动期间课外阅读时长（单位：小时）进行整理、描述和分析（．记为6小时；，记为7小时：，记为8小时．．．以此类推），如图分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息． 七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 8 众数 9 根据以上信息回答下列问题： （1）计算统计表中的值； （2）填空：___________，___________； （3）根据以上数据，你认为该校七年级学生共600人，八年级学生共480人，试估计两个年级的学生在活动期间课外阅读时长不低于8小时的共有多少人？ 【答案】（1） （2）； （3）共有762人 【解析】 【分析】题目主要考查平均数、中位数、众数的计算方法，理解题意，根据图表得出相关信息是解题关键． （1）根据平均数的计算方法求解即可； （2）由中位数及众数的定义求解即可； （3）用样本估计总体的方法解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ∴第、名学生的阅读时长分别为8小时，9小时， ， 七年级阅读时长中， 8 小时人数最多， ， 故答案为：，8； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级的学生在活动期间课外阅读时长不低于8小时的共有762人． 七、（满分12分） 22. 如图，正方形中，点是线段的中点，点是线段上的动点，连接与交于点，连接并延长交于点． （1）①如图1，当点与点重合时，求证：． ②如图2，当点是线段的中点时，的值： （2）如图3，若，求证：． 【答案】（1） ①如图1，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； ② （2） 证明：如图3， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，又， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】①证明，得出，再证出，即可得出； ②如图2，连接．交于点．证明四边形是平行四边形，得出，证明，得出，证明，得出，即可求解． （2）证明，得出，再证明，得出，证明，即可证明． 【小问1详解】 解：①略 ②如图2，连接．交于点． 四边形是正方形， ， 点、分别是、的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定等知识，用到的知识点较多，难度较大，属于中考压轴题． 八、（满分14分） 23. 已知二次函数（为常数，且）． （1）若二次图象经过坐标原点，请求出此时函数图象的顶点坐标； （2）二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，当点的纵坐标取到最大值时，求出此时的面积： （3）当时，函数在处取得最大值，请直接写出的范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）将代入函数解析式求得函数解析式，然后配方成顶点式即可求解； （）令，则，则，，故，当时，，当时，有最大值，然后利用面积公式即可求解； （）分当时，当时两种情况，然后根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：将代入可得， 解得（舍去）， ∴函数解析式为 ∴此时函数图象的顶点坐标； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：，， ∴， 当时，， ∴当时，有最大值 ∴， ∴此时的面积为； 【小问3详解】 解：由得，则与轴交点为，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，开口向上，且， ∴抛物线的对称轴直线必在点的左侧， 当离对称轴越远，的值越大，即时，函数在处取得最大值， ∴，解得， 当时，开口向下，且，当离对称轴越远，的值越小， ∴抛物线的对称轴直线必在点的右侧，而当对称轴直线位于之间时，函数不可能在处取得最大值， ∴当时，函数在处取得最大值， 解得：， ∴的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年安徽中考第二次模拟考试数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是．将数21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下图是由一个大长方体挖去一个小长方体的立体图形，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标之和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则m的值为（ ） A. 9 B. 4 C. 6 D. 7. 在中，是边上的中线，于点，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 8 9. 如图（1），中，，，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动到点．图（2）是点运动时，的面积随时间变化的图像，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，动点在等边的边上，，连接，于点，以为边在其右侧作等边，的延长线交于点，连接，则下列结论错误的是（　　） A. 的最小值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是1 D. 的最大值是2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：__________． 12. 某校九年级共有1，2，3，4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和3班比赛的概率是_____． 13. 如图，是直径，点、、在半圆上，若，则___________． 14. 如图，点为反比例函数与正比例函数图象的交点，是直线上的两点，且点均在点右侧，分别过作轴的平行线，交反比例函数的图象于两点． （1）当点，是线段的三等分点时，的值为___________． （2）连接，，若，则的值为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算． 16. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点，，，为格点． （1）以点为对称中心，作关于点的对称图形，作出； （2）用无刻度的直尺作，其中在线段上． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’问客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？” 18. 【观察思考】 下列图案是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“★”或“▲”．第1个图案中“★”有4个，“▲”有4个；第2个图案中“★”有8个，“▲”有7个；第3个图案中“★”有12个， “▲”有10个；第4个图案中“★”有16个，“▲”有13个． 【规律发现】 （1）请求出第n个图案中“★”和“▲”各有多少个；（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）在第30个图案中，分别求“★”的数量和“▲”的数量． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 2025年春节，《哪吒》系列电影上映，是传统文化的传承与创新，也加大了文化的输出与交流，更让我国影视业的综合实力迈向一个更高台阶．根据相关协会公布的准则，为了保证观影效果，观众视线与银幕水平线之间的仰角不宜超过．如图，某电影院的观众席成阶梯状，每一级台阶的水平宽度都为，垂直高度都为．已知在点和点两个位置看屏幕顶端的仰角分别和，请根据已有数据，计算大银幕高度．（结果保留整数；参考数据：， 20. 如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线相交于点，弦平分，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求弦的长． 六、（满分12分） 21. 某校开展“书香校园”课外读书周活动，活动结束后，经初步统计，所有学生这一周的课外阅读时长都不低于6小时，但不足12小时．从七、八年级中各随机抽取了20名学生，对他们在活动期间课外阅读时长（单位：小时）进行整理、描述和分析（．记为6小时；，记为7小时：，记为8小时．．．以此类推），如图分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息． 七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 8 众数 9 根据以上信息回答下列问题： （1）计算统计表中的值； （2）填空：___________，___________； （3）根据以上数据，你认为该校七年级学生共600人，八年级学生共480人，试估计两个年级的学生在活动期间课外阅读时长不低于8小时的共有多少人？ 七、（满分12分） 22. 如图，正方形中，点是线段的中点，点是线段上的动点，连接与交于点，连接并延长交于点． （1）①如图1，当点与点重合时，求证：． ②如图2，当点是线段的中点时，的值： （2）如图3，若，求证：． 八、（满分14分） 23. 已知二次函数（为常数，且）． （1）若二次图象经过坐标原点，请求出此时函数图象的顶点坐标； （2）二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，当点的纵坐标取到最大值时，求出此时的面积： （3）当时，函数在处取得最大值，请直接写出的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $