辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度下学期期中考试高二年级数学科试卷 命题人：商广东 校对人：王辉 一，选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.在等比数列a,2a+2,3a+3中，a等于() A.4 B.4 C.-1 D.2 2.已知离散型随机变量X的方差为2，则D(2X-1)=() A.2 B.3 C.7 D.8 3,下列说法中错误的是() A.回归直线=x+à恒过样本点的中心(，习列 B.两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1 C.在线性回归方程)=2-0.5x中，当变量x每增加一个单位时，夕平均减少0.5个单 位 D.某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不 变 4.已知数列{an}的首项为a=1,且满足a=2a,+2”，则此数列的第4项是() A.32 B.24 C.12 D.4 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S,=4,S2=9,则S=() A.20 B.16 C.7 D.2 6.设随机变量5-N(4,1),函数f(x)=x2+2x-5没有零点的概率是0.5，则P(0<5<1)≈ () 附：若5-N(4,o2)则P(μ-o<5<4+σ)≈0.6827，P(μ-2o<5<4+2o)≈0.9545. A.0.1587 B.0.1359 C.0.2718 D.0.3413 高二年级数学科试卷共6页第1页 7.甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为16， 两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之 差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次 或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P(X=4)=() A B. 5 32 C. D.品 8.设数列{an}满足a=1,a2n=a24+2,a1=am-1，n∈N°，则满足a。-川≤4的n 的最大值是() A.7 B.9 C.12 D.14 二.选择题：共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球 (球除颜色外，大小质地均相同)：先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A,A和 A表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件：再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐中取出的球是红球的事件，下列结论正确的是() A.事件A与A相互独立： B.(l4) C.P(B) 9 D.A,A,A是两两互斥的事件 10.设等比数列{an}的公比为9，其前n项和为Sn,前n项积为T,并满足条件： 4>14m4m>1,2二<0，下列结论正确的是（) a2025-1 A.S2024 2S2025 B.a2024a2026<1 C.To24是数列{Tn}中的最大值 D.数列{T}无最大值 高二年级数学科试卷共6页第2页 11.已知数列{a,}的首项为4，且满足2(n+1)a,=na(neN),则() A.{an}为递增数列 B 为等差数列 C.{an}的前n项和S。=(n-1)2+2+4D. 的前”项和工，=+” 2 三.填空题：本题共3小题，每小题5分， 12.某校高三某班第一小组有男生5人，女生3人，现需从中抽取2人参加校秋季运动 会助理裁判工作，恰有一名女生参加校运会助理裁判的概率为 13.已知数列{a,}前n项和Sn满足g(心，-1)=m,则a,= 14.如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个 台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局 时两人都上一个台阶.如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除 非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好 划拳3次的概率为 平地 高二年级数学科试卷共6页第3页 四.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， (本小题满分13分) 15.数列{an}中，a1=2,am1=an+n+1 (1)求数列{an}的通项公式： ②设么=上，数列，}的前”项和为7，证明T<2. a. 16.(本小题满分15分) 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病.某医学研究小组 为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该 年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如2×2列联表 健康状况 性别 感冒 不感冒 男 8 14 女 24 (1)在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选 取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X,求X的分布和期望E(X): (2)依据表中数据，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20-30岁年轻人的体质健康与 性别是否有关？若把表中所有数据都扩大到原来的10倍，此时结论还一样吗？请解释其中 原因，并简要说明应如何调整调查可使此研究更具有严谨性 参考数据： 高二年级数学科试卷共6页第4页 P(K2>) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 n(ad-bc) 参考公式：K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 其中n=a+b+c+d. 17.(本小题满分15分) 记Sn为数列{a}的前n项和，已知a,>0,4S,=a+2a-3,数列{b}满足 6=8-8, n为奇数 an+an,n为偶数 (1)求数列{an}的通项公式： (2)记数列{亿，}的前n项和为T,若对任意n∈N',T,210n+1,求实数1的取值范围， 18.(本小题满分17分) 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为 200,每局比赛，棋手胜加100分：平局不得分；棋手负减100分.当棋手总分为0时， 挑战失败，比赛终止；当棋手总分为300时，挑战成功，比赛终止：否则比赛继续.已知 每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为}、}、分，且各局比赛相互独立 (1)求两局后比赛终止的概率： (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记n(n210)局后比赛终止且棋手奖1万 元的概率为P(),求P()的最大值. 高二年级数学科试卷共6页第5页 19.(本小题满分17分) 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天 气预测等方面都有着极其广泛的应用其数学定义为：假设我们的序列状态是 ,X-2”XX,X,…,那么X时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X,即 P(X4,X-2XX,)=P(XX)已知甲盒子中装有2个黄球和1个黑球，乙盒子 中装有1个黄球和2个黑球(6个球的大小形状完全相同)记操作t:从甲、乙两个盒子中各 任取一个球交换放入另一个盒子中在重复n次T操作后，记甲盒子中黄球个数为X,恰 有3个黄球的概率为P,恰有2个黄球的概率为2，并记X,的数学期望为E(X,) (1)求Q; (2)求E(X2): 证名geN). 高二年级数学科试卷共6页第6页 2024-2025学年度下学期高二年级期中考试 数学试卷参考答案及评分标准 一.单选题：BDDA CBDC 二.多选题：BCD BC ACD 三.填空题：12. 13. 14. 四.解答题： 15. 解：（1）因为，即， 所以当时，， 将以上各式相加，得，则， 当时也符合上式，故.…………7分 （2）由题意. 所以………13分 16. 解：（1）样本中感冒的男性有8人，女性有 4人，比例为， 按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，则抽取男性4人，女性 2人， 随机变量的所有取值为. ， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 所以. …………7分 （2）提出统计假设：20-30岁年轻人的体质健康与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到， 因为，假设成立， 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别无关. 如果把所有数据都扩大10倍后， ，， 即在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别有关. 所以扩大10倍后，数据改变，结论也会发生变化， 为使此研究更具有严谨性，可以扩大调查的样本容量. …………15分 17.解：（1）时，，解得或，因为，所以， 时，，得， 因为，所以，又， 故数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为； …………5分 （2）由，所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以， 因为对任意的，成立， 所以，当为奇数时，即，所以， 不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为， 因为为奇数，所以时，，则 当为偶数时，，所以， 同理可得，因为为偶数，所以时，，则， 综上，. …………15分 18. 解：（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． …………5分 （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为．…………11分 （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为．…………17分 19. 解：（1）分别表示操作一次后，甲盒子中恰有3个、2个黄球的概率， 由题可知:. …………3分 （2）记重复次操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为， 易得. 由题易得的所有可能得取值为3，2，1，0， 且， ， ， ， 所以的分布列为： 3 2 1 0 数学期望为.…………8分 （3）记重复次操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为， 由题，可得， 而， ， ， 于是，， 也即， 因此是等比数列，公比为， 首项为， 所以. 因此:， ， . …………17分 数学参考答案 共6页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$