天津经济技术开发区第二中学（滨海泰达中学）2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

试卷第 1 页，共 3 页 泰达中学 2024-2025 学年度第二学期高二年级数学学科期中考试试卷 考试时间：100 分钟；满分：150 分 一、单选题（共 60 分） 1．函数 2( )f x x= 在[ ]1,2 上的平均变化率为（ ） A．1 B． 9 4 C．3 D．4 2．（本题 5 分）如图，已知函数 ( )f x 的图象在点 ( )( )2, 2P f 处的切线为 l，则 ( ) ( )2 2f f+ ′ =（ ） A． 3− B． 2− C．1 D．2 3．下列各式正确的是（ ） A． π πsin cos 8 8 ′  =    B． (cos ) sinx x′ = C． ( )5 615x x − −′ = D． 1(ln 2 )x x ′ = 4．（本题 5 分）要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（ ） A．10 B．8 C．6 D．5 5．（本题 5 分）某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共 4种奶制品，无花 果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共6 种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共7 种 新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同的选购方法种数 为（ ） A．94 B．168 C． 276 D． 279 6．（本题 5 分）永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国 古建筑的一朵奇葩 .2008年7 月，成功列入世界遗产名录 .它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧 .土楼具体有 圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型 .现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型 的土楼依次进行调查研究 .要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻 .则共有（）种不同的 排法． 试卷第 2 页，共 3 页 A． 480 B． 240 C．384 D．1440 7．（本题 5 分）方程 2 5 5 16 16C C x x x− −= 的解集是（ ） A．{ }1,3 B．{ }1,5 C．{ }1,3,5 D．{ }1,3,5,7 8．已知 ( ) ( ) ( ) ( )2 70 1 2 7 71 3 3 3a a x a x a xx + + + + + ++ +=  ，则 0 1 7a a a+ + + = A． 2− B． 1− C．1 D．2 9．已知 ( )3 1 nx − 展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则 ( )3 1 nx − 展开式中 2x 的系数为（ ） A． 252− B．252 C． 28− D．28 10．（本题 5 分）某测试需测试者先后抽取三道题目回答，一旦某次答对抽到的题目，则测试通过，否则就一直抽 题到第三次为止，已知甲答对该测试中每道题目的概率都是 2 3 ，若甲最终通过测试，则甲回答两次的概率为（ ） A． 2 27 B． 3 13 C． 2 13 D． 2 9 11．（本题 5 分）若函数 ( ) 1 2lnf x ax x x = + + 在 1 ,2 2       上有极值，则 a的取值可能是（ ） A． 1− B． 1 2 − C．0 D．1 12．（本题 5 分）定义在 ( )0, ∞+ 上的函数 ( )f x 满足 ( ) 1xf x x′ > + ，且 ( ) ( )55 ln 5ef = ，则不等式 ( )e ex xf x> + 的解集 为（ ） A． ( )10,+∞ B． ( )ln5, ∞+ C． ( )ln10, ∞+ D． ( )5,+∞ 二、填空题（共 40 分） 13．已知离散型随机变量 X 的分布列如下表，则m = . X 0 1 2 3 P 1 3 1 12 m 1 2m− 14．（本题 5 分）函数 ( ) 3 21 3 2 3 f x x x x= − − + 在[ ]2,0− 上的最小值为 ． 15．（本题 5 分） 3 35 8A C− = 10 8 7 10 8 7A 89A 8A− − =， 16．（本题 5 分）在 92x x  −    的二项展开式中，常数项为 ．（用数字作答） 试卷第 3 页，共 3 页 17．（本题 5 分）石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水 文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4 处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件A 为“4 个人去的景点各不 相同”，事件 B 为“只有甲去了锦水文风”，则 ( )P A = ， ( )P A B = . 18．（本题 5 分）设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产 1 2 ，乙､丙两厂各生产 1 4 ，而且各厂的次 品率依次为 2%,2%,4% ，现从中任取一件，则取到次品的概率为 ． 19．（本题 5 分）现有含甲在内的 6 名志愿者到 , ,A B C ，3 个村庄开展防电信诈骗宣传活动，向村民普及防诈骗、 反诈骗的知识. 要求每名志愿者只能选择一个村庄，且每个村庄均有人选择，若甲不单独选择一个村庄，则不同选 择方案的种数为 .（用数字作答） 20．（本题 5 分）已知函数 ( ) 3 , 0 e 3 , 0 x x x f x x x x  ≥=   − < ，若关于 x的方程 ( ) 0f x a+ = 有3个不同实根，则实数 a取值范围 为 . 三、解答题（共 50 分） 21．（本题 10 分）已知 2 1 n x x       + 的展开式中的所有二项式系数之和为 32． (1)求n的值； (2)求展开式中 4x 的系数． 22．（本题 12 分）某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得 10 分，回答不正确得 0 分，第三个问题回答正确得 20 分，回答不正确得 10− 分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是 2 3 ，回答 第三个问题正确的概率为 1 2 ，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于 10 分就算 闯关成功． (1)求至少回答正确一个问题的概率； (2)求这位同学回答这三个问题的总得分 X 的分布列． 23．（本题 14 分）已知函数 ( ) lnf x x x= ， ( ) ( )2 Rg x ax x a= − ∈ ， (1)求 ( )f x 的单调区间和极值点； (2)求使 ( ) ( )f x g x≤ 恒成立的实数 a的取值范围. 24．（本题 14 分）已知函数 ( )2( ) 2 ln 2 0f x x bx x b= + − > ． (1)讨论函数 ( ) ( ) 2g x f x bx= − 的单调性； (2)设 ( )1 2 1 2,x x x x< 是函数 ( )f x 的两个极值点，证明： ( ) ( ) ( )1 2 1 2(2 1)f x f x b x x− < − − ． 试卷第 1 页，共 12 页 泰达中学 2024-2025 学年度第二学期高二年级数学学科期中考试试卷 考试时间：100 分钟；满分：150 分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分 一、单选题（共 60 分） 1．函数 2( )f x x= 在[ ]1,2 上的平均变化率为（ ） A．1 B． 9 4 C．3 D．4 【答案】C 【分析】直接利用平均变化率公式进行求值. 【详解】函数 2( )f x x= 在[ ]1,2 上的增量 2 22 1 3y∆ = − = ， 所以函数 2( )f x x= 在[ ]1,2 上的平均变化率为 3 32 1 y x ∆ = = ∆ − . 故选：C. 2．（本题 5 分）如图，已知函数 ( )f x 的图象在点 ( )( )2, 2P f 处的切线为 l，则 ( ) ( )2 2f f+ ′ =（ ） A． 3− B． 2− C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据图像算出函数 ( )f x 在 P 点处的切线，即可求出其在 2x = 处的函数值与导数取值。 【详解】由图象可得，切线过点 ( )0,4 和 ( )4,0 ，切线斜率为 4 0 1 0 4 k −= = − − ，所以 ( )2 1f ′ = − ， 又因为切线方程为 1 4 4 x y + = ，则切点坐标为 ( )2,2 ，有 ( )2 2f = ， 所以 ( ) ( )2 2 2 1 1f f+ = − =′ . 故选：C 3．下列各式正确的是（ ） 试卷第 2 页，共 12 页 A． π πsin cos 8 8 ′  =    B． (cos ) sinx x′ = C． ( )5 615x x − −′ = D． 1(ln 2 )x x ′ = 【答案】D 【分析】利用初等函数求导公式判断A ，B，C ，用复合函数求导公式判断D . 【详解】对于A 项：常值函数求导， πsin 0 8 ′  =    ，所以A 错； 对于B项：余弦函数求导， (cos ) sinx x′ = − ，所以B错； 对于C 项：幂函数求导， ( )5 65x x− −′ = − ，所以C 错； 对于D 项：复合函数求导， ( ) ln 2f x x= ，令 2t x= ， ( ) lng t t= ， 2t′ = ， 1( )g t t ′ = ， 所以 1 1( ) 2 2 f x x x ′ = ⋅ = ，所以D 正确； 故选：D . 4．（本题 5 分）要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（ ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算得解. 【详解】依题意，在左边并联的两个开关中任取 1 个合上，再在右边并联的三个开关中任取 1 个合上，电路正常工 作， 所以不同方法种数为2 3 6× = . 故选：C 5．（本题 5 分）某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共 4种奶制品，无花 果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共6 种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共7 种 新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同的选购方法种数 为（ ） A．94 B．168 C． 276 D． 279 【答案】D 【分析】结合条件可将张先生不同的选购方法分为三类，选购一种，选购两种，选购三种，根据分类加法计数原理 求结论. 【详解】由条件张先生不同的选购方法分为三类，选购一种，选购两种，选购三种， 试卷第 3 页，共 12 页 选购一种商品的方法有4 6 7 17+ + = 种， 选购两种商品的方法有 4 6 4 7 6 7 94× + × + × = 种， 选购三种商品的方法有 4 6 7 168× × = 种， 由分类加法计数原理可得张先生不同的选购方法种数共有17 94 168 279+ + = 种， 故选：D. 6．（本题 5 分）永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国 古建筑的一朵奇葩 .2008年7 月，成功列入世界遗产名录 .它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧 .土楼具体有 圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型 .现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型 的土楼依次进行调查研究 .要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻 .则共有（）种不同的 排法． A． 480 B． 240 C．384 D．1440 【答案】A 【分析】利用捆绑法求解即可. 【详解】将方形、五角形看成一个整体，与除圆之外的 4 个图形全排列， 再将圆形安排在第一个或最后一个，因此共有 2 5 2 5A A 2 480⋅ = 种不同的排法． 故选：A. 7．（本题 5 分）方程 2 5 5 16 16C C x x x− −= 的解集是（ ） A．{ }1,3 B．{ }1,5 C．{ }1,3,5 D．{ }1,3,5,7 【答案】A 【分析】根据组合数的性质化简方程，即可得解. 【详解】因为 2 5 5 16 16C C x x x− −= ， 2 Nx x− ∈ ，5 5 Nx − ∈ ， 则 2 2 5 5 0 16 0 5 5 16 x x x x x x  − = −  ≤ − ≤  ≤ − ≤ ，或 2 2 5 5 16 0 16 0 5 5 16 x x x x x x  − + − =  ≤ − ≤  ≤ − ≤ ， 解得 1x = 或 3x = ， 即方程的解集为{ }1,3 ， 故选：A. 8．已知 ( ) ( ) ( ) ( )2 70 1 2 7 71 3 3 3a a x a x a xx + + + + + ++ +=  ，则 0 1 7a a a+ + + = 试卷第 4 页，共 12 页 A． 2− B． 1− C．1 D．2 【答案】B 【分析】令 2x = − ，即可求解 70 1 7 ( 2 1)a a a+ + + = − + 的值，得到答案． 【详解】由题意，二项式 ( ) ( ) ( ) ( )2 70 1 2 7 71 3 3 3a a x a x a xx + + + + + ++ +=  ， 令 2x = − ，可得 70 1 7 ( 2 1) 1a a a+ + + = − + = − ，故选 B． 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数和的计算，其中解答中根据二项展开式的形式，合理复数，准确计算是 解答的关键，着重考查了赋值思想，以及计算与求解能力，属于基础题． 9．已知 ( )3 1 nx − 展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则 ( )3 1 nx − 展开式中 2x 的系数为（ ） A． 252− B．252 C． 28− D．28 【答案】B 【分析】根据组合数的性质可得 4Cn 最大，进而得 8n = ，即可根据通项公式求解. 【详解】由于 ( )3 1 nx − 展开式的第 5 项的二项式系数为 4Cn 最大，故 8n = ， ( )83 1x − 展开式中 2x 的系数为 ( )66 28C 1 3 9 28 252− = × = ， 故选：B 10．（本题 5 分）某测试需测试者先后抽取三道题目回答，一旦某次答对抽到的题目，则测试通过，否则就一直抽 题到第三次为止，已知甲答对该测试中每道题目的概率都是 2 3 ，若甲最终通过测试，则甲回答两次的概率为（ ） A． 2 27 B． 3 13 C． 2 13 D． 2 9 【答案】B 【分析】记事件 :A 甲最终通过测试，事件 :B 甲回答两次，计算出 ( )P AB 、 ( )P A ，利用条件概率公式可求得 ( )P B A 的值. 【详解】由题意甲最终通过测试包括，第一次答对，其概率为 2 3 ，第二次答对，其概率为 1 2 2 3 3 9 × = ， 第三次答对，概率为 1 1 2 2 3 3 3 27 × × = ， 记事件 :A 甲最终通过测试，事件 :B 甲回答两次，则 ( ) 2 9 P AB = ， ( ) 2 2 2 26 3 9 27 27 P A = + + = ， 由条件概率公式可得 ( ) ( )( ) 2 27 3 9 26 13 P AB P B A P A = = × = . 故选：B． 11．（本题 5 分）若函数 ( ) 1 2lnf x ax x x = + + 在 1 ,2 2       上有极值，则 a的取值可能是（ ） A． 1− B． 1 2 − C．0 D．1 试卷第 5 页，共 12 页 【答案】B 【分析】将函数求导，将函数有极值问题转化为方程 21 1 1a x  = − −    在 1 ,2 2       上有两不等实根，通过求二次函数的值 域即得 a的取值范围. 【详解】函数 ( ) 1 2lnf x ax x x = + + 在 1 ,2 2       上有极值， 即 ( ) 2 2 1 2 1 1 1f x a a x x x  = − + = − − + +   ′  在 1 ,2 2       上有变号零点， 也即方程 21 1 1a x  = − −    在 1 ,2 2       上有两不等实根， 由 1 ,2 2 x  ∈    可得 211 1 1 0 x  − ≤ − − <    ，当且仅当 1x = 时，等号成立， 故需使 ( )1,0a∈ − . 故选：B. 12．（本题 5 分）定义在 ( )0, ∞+ 上的函数 ( )f x 满足 ( ) 1xf x x′ > + ，且 ( ) ( )55 ln 5ef = ，则不等式 ( )e ex xf x> + 的解集 为（ ） A． ( )10,+∞ B． ( )ln5, ∞+ C． ( )ln10, ∞+ D． ( )5,+∞ 【答案】B 【分析】根据题意，构造函数 ( ) ( ) lng x f x x x= − − ，可得 ( )g x 在 ( )0, ∞+ 上单调递增，然后结合其单调性即可求解 不等式. 【详解】由 ( ) 1xf x x′ > + 可得 ( ) 1 0xf x x− − >′ ， 设 ( ) ( ) lng x f x x x= − − ， ( )0,x ∞∈ + ， 则 ( ) ( ) ( ) 11 1 0xf x xg x f x x x − − = − − = ′ ′ >′ ， 即函数 ( )g x 在 ( )0, ∞+ 上单调递增， 且 ( ) ( ) ( )55 5 ln 5 5 ln 5e ln 5 5 0g f= − − = − − = ， 由 ( )e ex xf x> + 可得 ( ) ( )e ln e e 0x x xf − − > ， 即 ( ) ( )e 0 5xg g> = ，即 e 5x > ，解得 ln 5x > ， 所以不等式的解集为 ( )ln5, ∞+ . 故选：B. 试卷第 6 页，共 12 页 评卷人 得分 二、填空题（共 40 分） 13．已知离散型随机变量 X 的分布列如下表，则m = . X 0 1 2 3 P 1 3 1 12 m 1 2m− 【答案】 5 12 【分析】根据分布列性质利用概率之和为 1 得解. 【详解】由分布列性质可知， 1 1 1 2 1 3 12 m m+ + + − = ， 解得 5 12 m = ， 故答案为： 5 12 14．（本题 5 分）函数 ( ) 3 21 3 2 3 f x x x x= − − + 在[ ]2,0− 上的最小值为 ． 【答案】 4 3 / 11 3 【分析】利用导数与函数单调性间的关系，直接求出 ( )f x 在[ ]2,0− 上单调性，即可求解. 【详解】因为 ( ) ( )( )2 2 3 1 3f x x x x x′ = − − = + − ， 又 [ ]2,0x∈ − ，由 ( ) 0f x′ > ，得到 2 < 1x− ≤ − ，由 ( ) 0f x′ < ，得到 1 0− < ≤x ， 即 ( )f x 在区间[ )2, 1− − 上单调递增，在区间 ( ]1,0− 上单调递减， 又 ( ) 8 42 4 6 2 3 3 f − = − − + + = ， ( )0 2f = ，所以 ( )f x 在[ ]2,0− 上的最小值为 4 3 . 故答案为： 4 3 . 15．（本题 5 分） 3 35 8A C− = 10 8 7 10 8 7A 89A 8A− − =， 【答案】 4 0 【分析】本题主要涉及排列数公式和组合数公式，通过代入公式计算出排列数和组合数的值，再进行相应的减法运 算. 【详解】根据排列数公式可得 3 5A 5 4 3 60= × × = . 根据组合数公式，可得 3 8 8 7 6 5!C 8 7 56. 3 2 1 5! × × × = = × = × × × 试卷第 7 页，共 12 页 可得 3 3 5 8A C 60 56 4− = − = . 10 8 7 10 8 7A 89A 8A 10 9 8 7! 89 8 7! 8 7!− − = × × × − × × − × . 即 ( )10 9 8 7! 89 8 7! 8 7! 7! 10 9 8 89 8 8 0× × × − × × − × = × × − × − = . 所以 10 8 7 10 8 7A 89A 8A 0− − = . 故答案为： 4；0 . 16．（本题 5 分）在 92x x  −    的二项展开式中，常数项为 ．（用数字作答） 【答案】 672− 【分析】利用二项式定理求其通项，即可计算其常数项. 【详解】通项为 ( ) ( ) 9 39 2 1 9 9 2C C 2 ,0 9, Z r rr rr r rT x x r rx −− +  = − = − ≤ ≤ ∈    ， 故当 3r = 时，常数项为 ( )333 9C 2 672T = − = − . 故答案为： 672− 17．（本题 5 分）石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水 文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4 处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件A 为“4 个人去的景点各不 相同”，事件 B 为“只有甲去了锦水文风”，则 ( )P A = ， ( )P A B = . 【答案】 3 32 2 9 【分析】根据古典概型结合排列数计算，再应用条件概率公式计算求解即可. 【详解】由题意可知，4 人去 4 个不同的景点，事件数有 44A 24= ，总事件数为 44 256= ， 故 ( ) 24 3 256 32 P A = = ， 又事件 B 的总数为 33 27= ，所以 27( ) 256 P B = ， 事件A 和事件 B 同时发生，即“只有甲去了锦水文风，另外 3 人去了另外 3 个不同的景点”，则事件 AB 的总数为 33A 6= ， 所以 6( ) 256 P AB = ，所以 ( ) 6 ( ) 2256 27( ) 9 256 P ABP A B P B = = = . 故答案为： 3 2; 32 9 . 18．（本题 5 分）设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产 1 2 ，乙､丙两厂各生产 1 4 ，而且各厂的次 品率依次为 2%,2%,4% ，现从中任取一件，则取到次品的概率为 ． 试卷第 8 页，共 12 页 【答案】0.025/ 1 40 【分析】利用条件概率和全概率公式进行求解即可. 【详解】设 1 2 3, ,A A A 分别表示甲，乙，丙工厂的产品， B 表示次品， 则 ( ) ( ) ( )1 2 30.5, 0.25P A P A P A= = = ， ( ) ( ) ( )1 2 30.02, 0.02, 0.04P B A P B A P B A= = =∣ ∣ ∣ ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3P B P A P B A P A P B A P A P B A∴ = + +∣ ∣ ∣ 0.5 0.02 0.25 0.02 0.25 0.04 0.025= × + × + × = . 故答案为：0.025. 19．（本题 5 分）现有含甲在内的 6 名志愿者到 , ,A B C ，3 个村庄开展防电信诈骗宣传活动，向村民普及防诈骗、 反诈骗的知识. 要求每名志愿者只能选择一个村庄，且每个村庄均有人选择，若甲不单独选择一个村庄，则不同选 择方案的种数为 .（用数字作答） 【答案】 450 【分析】先将除甲外的5个人进行安排，分1 1 3+ + 和1 2 2+ + 两种情况分堆后分配，然后再将甲选一个村庄安排下 去即可. 【详解】先将除甲外的5个人进行安排， 当按照1 1 3+ + 进行分配安排时，有 3 35 3C A 种方案； 当按照1 2 2+ + 进行分配安排时，有 2 2 33 3 5 2 2 C C A A 种方案； 再将甲安排下去共有 2 2 3 3 3 15 3 5 3 3 32 2 C CC A A C 450 A   + =    种方案. 故答案为： 450 20．（本题 5 分）已知函数 ( ) 3 , 0 e 3 , 0 x x x f x x x x  ≥=   − < ，若关于 x的方程 ( ) 0f x a+ = 有3个不同实根，则实数 a取值范围 为 . 【答案】 1 ,0 e  −    【分析】利用导函数研究出函数 ( )y f x= 的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数 交点个数问题，数形结合求出实数 a的取值范围. 【详解】当 0x ≥ 时， ( ) ex xf x = ， ( ) 1 ex xf x =′ − ， 当 [ )0,1x∈ 时， ( ) 1 0 ex xf x −′ = > ，当 ( )1,x ∞∈ + 时， ( ) 1 0 ex xf x −′ = < ， 试卷第 9 页，共 12 页 故 ( )f x 在[ )0,1 上单调递增，在 ( )1, ∞+ 上单调递减， 且 ( ) 11 e f = ，当 0x > 时， ( ) 0 ex xf x = > ， 当 0x < 时， ( ) 33f x x x= − ， ( ) ( )( )23 3 3 1 1f x x x x= − = + −′ ， 当 ( ), 1x ∞∈ − − 时， ( ) 23 3 0f x x= − <′ ，当 ( )1,0x∈ − 时， ( ) 23 3 0f x x= − >′ ， 故 ( )f x 在 ( ), 1∞− − 上单调递减，在 ( )1,0− 上单调递增，且 ( )1 3 1 2f − = − + = − ， 画出 ( ) 3 , 0 e 3 , 0 x x x f x x x x  ≥=   − < 的图象如下： 要想关于 x的方程 ( ) 0f x a+ = 有3个不同实根，则要函数 ( )y f x= 与 y a= − 有3个不同的交点即可， 显然当 10, e a  − ∈    时，符合题意，解得 1 0 e a− < < ，即实数 a的取值范围是 1 ,0 e  −    . 故答案为： 1 ,0 e  −    . 评卷人 得分 三、解答题（共 50 分） 21．（本题 10 分）已知 2 1 n x x       + 的展开式中的所有二项式系数之和为 32． (1)求n的值； (2)求展开式中 4x 的系数． 【答案】(1) 5n = (2)10 【分析】（1）（2）由二项式定理求解． 【详解】（1）由题意可得， 2 32n = ，解得 5n = ； （2） 5 2 21 1 n x x x x    + = +        ， 二项展开式的通项为 ( )52 10 31 5 51C C − − +  = =    r rr r r rT x xx 试卷第 10 页，共 12 页 由10 3 4r− = ，得 2r = ． ∴展开式中 4x 的系数为 25C 10= ． 22．（本题 12 分）某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得 10 分，回答不正确得 0 分，第三个问题回答正确得 20 分，回答不正确得 10− 分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是 2 3 ，回答 第三个问题正确的概率为 1 2 ，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于 10 分就算 闯关成功． (1)求至少回答正确一个问题的概率； (2)求这位同学回答这三个问题的总得分 X 的分布列． 【答案】(1) 1718 (2)分布列见解析 【分析】（1）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意随机变量 X 的所有可能取值为 10− ，0 ，10， 20，30， 40，求出对应概率，即可得分布列. 【详解】（1）设至少回答正确一个问题为事件A ，则 1 1 1 17( ) 1 3 3 2 18 P A = − × × = ； （2）这位同学回答这三个问题的总得分 X 的所有可能取值为 10− ，0 ，10， 20，30， 40， 所以 1 1 1 1( 10) 3 3 2 18 P X = − = × × = ， 2 1 1 2( 0) 2 3 3 2 9 P X = = × × × = ， 2 2 1 2( 10) 3 3 2 9 P X = = × × = ， 1 1 1 1( 20) 3 3 2 18 P X = = × × = ， 2 1 1 2( 30) 2 3 3 2 9 P X = = × × × = ， 2 2 1 2( 40) 3 3 2 9 P X = = × × = ， 随机变量 X 的分布列是 X 10− 0 10 20 30 40 P 1 18 2 9 2 9 1 18 2 9 2 9 23．（本题 14 分）已知函数 ( ) lnf x x x= ， ( ) ( )2 Rg x ax x a= − ∈ ， (1)求 ( )f x 的单调区间和极值点； (2)求使 ( ) ( )f x g x≤ 恒成立的实数 a的取值范围. 【答案】(1) ( )f x 在 10, e       上单调递减，在 1 , e  +∞    上单调递增. 函数 ( )f x 有极小值点： 1 e x = . (2)[ )1,+∞ 【分析】（1）求导，利用导函数的符号，求函数的单调区间和极值点. 试卷第 11 页，共 12 页 （2）把问题转化成 1 ln xa x + ≥ 在 ( )0, ∞+ 上恒成立，设 ( ) 1 ln xg x x + = ，利用导数分析函数单调性，求函数的最大值 即可. 【详解】（1）因为 ( ) lnf x x x= （ 0x > ），所以 ( ) ln 1f x x=′ + . 由 ( ) 0f x′ > ⇒ 1 e x > ；由 ( ) 0f x′ < ⇒ 10 e x< < . 所以函数 ( )f x 在 10, e       上单调递减，在 1 , e ∞ +    上单调递增. 所以函数 ( )f x 有极小值点： 1 e x = .没有极大值点. （2）由 ( ) ( )f x g x≤ 恒成立⇒ 2lnx x ax x≤ − （ 0x > ）恒成立. 即 1 ln xa x + ≥ （ 0x > ）恒成立. 设 ( ) 1 ln xg x x + = （ 0x > ），则 ( ) 2 ln xg x x = −′ . 由 ( ) 0g x′ > ⇒ 0 1x< < ；由 ( ) 0g x′ < ⇒ 1x > . 所以 ( )g x 在 ( )0,1 上单调递增，在 ( )1, ∞+ 上单调递减. 所以 ( )g x 的最大值为： ( )1 1g = . 所以 1a ≥ . 所以实数 a的取值范围是：[ )1,+∞ . 24．（本题 14 分）已知函数 ( )2( ) 2 ln 2 0f x x bx x b= + − > ． (1)讨论函数 ( ) ( ) 2g x f x bx= − 的单调性； (2)设 ( )1 2 1 2,x x x x< 是函数 ( )f x 的两个极值点，证明： ( ) ( ) ( )1 2 1 2(2 1)f x f x b x x− < − − ． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）明确函数 ( )g x 的解析式，求导，结合分类讨论思想的应用，利用导函数的符号确定函数的单调区间. （2）先根据 ( )1 2 1 2,x x x x< 是函数 ( )f x 的两个极值点，得到 1 2,x x 的关系，再把 ( ) ( ) ( )1 2 1 2(2 1)f x f x b x x− < − − 转化 成 1 1 2 12 2 1 ln 1 x x x xx x − < + ，在利用换元法，设 1 2 xt x = ，0 1t< < ，则 1ln 1 tt t − < + ，0 1t< < .设函数， 1( ) ln 1 th t t t − = − + ，只需证 ( ) 0h t < 即可. 【详解】（1）由题知： ( ) ( )2( ) 2 ln 2 1 0g x x bx b x b= + − + > . ( )( ) ( )2 1 12( ) 2 2 2 0bx xg x bx b x x x − − ′ = + − − = > ， 试卷第 12 页，共 12 页 令 ( ) 0g x′ = 得 1x b = 或 1x = ， 当0 1b< < 时，0 1x< < 或 1x b > ， ( ) 0g x′ > ， ( )g x 单调递增； 11 x b < < ， ( ) 0g x′ < ， ( )g x 单调递减 ； 当 1b = 时， ( ) 0g x′ ≥ ， ( )g x 单调递增 ； 当 1b > 时， 10 x b < < 或 1x > ， ( ) 0g x′ > ， ( )g x 单调递增. 1 1x b < < ， ( ) 0g x′ < ， ( )g x 单调递减 . 综上，当0 1b< < 时， ( )g x 在区间 ( )0,1 和 1 , b   +∞    上单调递增，在 11, b       上单调递减； 当 1b = 时， ( )g x 在区间 ( )0, ∞+ 上单调递增； 当 1b > 时， ( )g x 在区间 10, b       和 ( )1,+∞ 上单调递增，在 1 ,1 b       上单调递减. （2）由题意可知， 22 2 2 2( ) 2 2 bx xf x bx x x − +′ = + − = ， ( )f x 有两个极值点 ( )1 2 1 2,x x x x< ， 1 2,x x∴ 是 22 2 2 0bx x− + = 的两正根， 则 4 16 0b∆ = − > ， 且 1 2 1 2 1 2 1 10,x x x x b b x x + = > ∴ = + = . ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2ln 2 ln 2f x f x x bx x x bx x∴ − = + − − + − ( ) ( )2 21 1 2 1 2 2 2 ln 2x b x x x x x = + − − − . ( ) 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 ln 2x x x x x x x x − = + − − + ( )1 1 2 2 2 ln x x x x = − − ， ∴要证 ( ) ( ) ( )1 2 1 2(2 1)f x f x b x x− < − − ， 即证 ( ) ( )1 1 2 1 2 2 2 ln (2 1)x x x b x x x − − < − − ， 即证 ( )1 1 2 2 ln x b x x x < − ， 即证 1 1 2 2 1 2 ln x x x x x x − < + ， 即证 1 1 2 12 2 1 ln 1 x x x xx x − < + ， 令 1 2 (0 1)xt t x = < < ，则证明 1ln 1 tt t − < + ， 令 1( ) ln 1 th t t t − = − + ，则 2 2 1( ) 0 ( 1) th t t t ′ += > + ， ( )h t∴ 在(0,1)上单调递增， 则 ( ) (1) 0h t h< = ，即 1ln 1 tt t − < + ， 所以原不等式 ( ) ( ) ( )1 2 1 2(2 1)f x f x b x x− < − − 成立．