精品解析：贵州省贵阳市华师一学校2024-2025学年高二下学期期中检测数学试卷

贵阳市华师一学校2024-2025学年度第二学期期中检测 高二数学 命题人：高二数学组 审题人：高二数学组 注意事项： 1．本试卷共4页.满分150分，考试用时120分钟. 2．用0.5毫米黑色中性笔直接将答案写在答题卡上，在试卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. ，求（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若与的夹角为，则正数（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 4. 两个球的表面积之比为，那么这两个球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 《哪吒之魔童闹海》票房一路飙升，现暂列全球影史票房榜第5名，影片中角色魅力十足．假如要为哪吒、李靖、殷夫人、敖丙、太乙真人、申公豹这6位角色制作宣传海报，要求哪吒和敖丙不能相邻出现在海报上，那么一共有（ ）种不同的排版方式． A. 120 B. 240 C. 480 D. 720 7. 若，则（ ） A. 243 B. -243 C. -3125 D. 3125 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 华师一贵阳学校某宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有72种 B. C. 张某楷同学把英语单词“jeep”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有11种 D. 华师一贵阳学校高二年级某四个班，四位老师各教一个班的数学．这四个班组织一次数学考试，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为9种 10. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数一定有三个极值点 C. 函数一定有最小值 D. 函数一定有最大值 11. 甲箱中有4个白球和2个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A. ，互斥 B. C. D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为第二象限角且，则________． 13. 有下列命题： ①的解集为； ②的解集为； ③，； ④若，则． 其中正确命题的序号是________________． 14. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围为________________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在△ABC中，，． （1）求的大小； （2）若△ABC的周长为，求出边上的中线的长度． 16. 已知数列的前n项和为，，当时， （1）求； （2）设，求数列的前n项和为． 17. 一个盒子中有6个粽子，其中2个白粽，4个肉粽．从盒子中随机取出一个粽子（不放回），然后再从盒子中随机取出一个粽子． （1）求第一次取到白粽的概率； （2）在第一次取到白粽的条件下，求第二次取到肉粽的概率； （3）设表示两次取粽取到白粽的个数，求的分布列和均值． 18. 如图，直三棱柱中，底面三角形是正三角形，D是中点，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）若． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求二面角的正弦值． 19. 设函数． （1）若函数在处的切线经过点，求实数的值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市华师一学校2024-2025学年度第二学期期中检测 高二数学 命题人：高二数学组 审题人：高二数学组 注意事项： 1．本试卷共4页.满分150分，考试用时120分钟. 2．用0.5毫米黑色中性笔直接将答案写在答题卡上，在试卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合，根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故选：B. 2. ，求（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可得到其共轭复数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以， 所以，则. 故选：D 3. 已知向量，，若与的夹角为，则正数（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】首先表示出，，，再由夹角公式得到方程，解得即可. 【详解】因为，，所以，，， 又与的夹角为， 所以， 化简可得，又， 解得或（舍去）. 故选：B 4. 两个球的表面积之比为，那么这两个球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设大球的半径为，小球的半径为，根据球的表面积公式得到，再由体积公式计算可得. 【详解】设大球的半径为，小球的半径为， 依题意可得，所以， 则，即这两个球的体积之比为. 故选：B 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程. 【详解】因为，所以， 所以，，即切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即. 故选：A 6. 《哪吒之魔童闹海》票房一路飙升，现暂列全球影史票房榜第5名，影片中角色魅力十足．假如要为哪吒、李靖、殷夫人、敖丙、太乙真人、申公豹这6位角色制作宣传海报，要求哪吒和敖丙不能相邻出现在海报上，那么一共有（ ）种不同的排版方式． A. 120 B. 240 C. 480 D. 720 【答案】C 【解析】 【分析】不相邻问题用插空法，先将其余位角色全排列，再将哪吒和敖丙插空. 【详解】首先将李靖、殷夫人、太乙真人、申公豹这位角色全排列，有种排法， 再将哪吒和敖丙插入到所形成的个空中的个空，有种排法， 按照分步乘法计数原理可知一共有种不同的排版方式． 故选：C 7. 若，则（ ） A. 243 B. -243 C. -3125 D. 3125 【答案】D 【解析】 【分析】令，得，令和即可求解. 【详解】令，所以，所以， 令得， 令得， 所以， 故选：D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与共线，求出点的纵坐标，再根据的面积及双曲线的定义求出，从而可求出点的坐标，代入双曲线方程即可得解. 【详解】设点，，则，，， 由与共线有，即有， 因为的内心为，内切圆半径为， 所以， 即， 所以，又， 所以，又，所以点在右支上， 所以， 所以，所以，所以， 又在双曲线上，所以得，所以， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 华师一贵阳学校某宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有72种 B. C. 张某楷同学把英语单词“jeep”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有11种 D. 华师一贵阳学校高二年级某四个班，四位老师各教一个班的数学．这四个班组织一次数学考试，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为9种 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用捆绑法与插空法判断A，根据组合数的性质判断B，利用排列数公式判断C，按照分步乘法计数原理判断D. 【详解】对于A：先将其余三人全排列，有种排法， 再将排在D的旁边，有2种排法，最后将，插空，有中排法， 综上可得一共有种排法，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：把两个看作不相同的，则一共有种排法， 所以有种可能的错误方法，故C正确； 对于D：设四个班分别是、、、，对应的数学老师分别是、、、． 让老师先选，可从、、班中选一个，有种选法， 不妨假设老师选的是班，则老师从剩下的三个班级中任选一个，有种选法， 剩下的两位老师都只有种选法． 由分步乘法计数原理，知共有种不同的安排方法，故D正确． 故选：ACD 10. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数一定有三个极值点 C. 函数一定有最小值 D. 函数一定有最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导函数的图象的正负即可判断的单调性，从而得到极值点和最值. 【详解】如图，设的图象和轴交点的横坐标从左到右依次为， 根据的图象可知， 函数在和上，单调递增， 函数在和上，单调递减， 故在上单调递增，上单调递减，故A错误； 由单调性知的极大值点为，极小值点为，故B正确； 函数的最大值是和两者中较大的一个，没有最小值，故C错误，D正确. 故选：BD. 11. 甲箱中有4个白球和2个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A. ，互斥 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断A，根据古典概型公式判断B，根据全概率公式判断D，根据概率乘法公式判断C. 【详解】对于A：因为每次只取一个球，不是白球就是黑球，所以，是互斥的事件，故A正确； 对于B、D：依题意，，，， 所以，故B错误，D正确； 对于C：表示从乙箱中取出的是白球，则表示从乙箱中取出的是黑球， 所以，则，故C错误. 故选：AD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为第二象限角且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，再由诱导公式计算可得. 【详解】因为为第二象限角且，所以， 则，. 故答案为： 13. 有下列命题： ①的解集为； ②的解集为； ③，； ④若，则． 其中正确命题的序号是________________． 【答案】① 【解析】 【分析】解不等式判断①②，举反例判断③，根据对数函数的性质判断④. 【详解】对于①：由，即，解得， 所以不等式的解集为，故①正确； 对于②：由，即，即，等价于， 解得或，即不等式的解集为，故②错误； 对于③：当时，，故③错误； 对于④：由，即，解得，故④错误. 故答案为：① 14. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围为________________． 【答案】 【解析】 【分析】显然，分析可得在上存在一个零点，在上存在两个零点，当时令求出方程的解，即可得到，结合函数的单调性求出的范围，当时令，由确定的范围，再由求根公式求出方程的解，即可得到，解得即可. 【详解】因为，显然； 当时，函数在上单调递减， 则在最多一个零点， 要使函数有三个零点， 则在上存在一个零点，在上存在两个零点， 当时，令，即，解得， 所以，即，显然恒成立， 则只需满足，即，令， 因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在定义域上单调递增，又，所以当时， 所以； 当时，令，即， 显然需满足，即， 此时由求根公式可得、， 依题意可得，解得或； 综上可得，即实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在△ABC中，，． （1）求的大小； （2）若△ABC的周长为，求出边上的中线的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式得到或，即可得解； （2）依题意可得，再由正弦定理得到，结合周长求出、、，设点为线段的中点，在中利用余弦定理计算可得. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得，即， ， 当时，，即，不符合题意，舍去， ， ，即； 【小问2详解】 因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中． 由，即，所以， 所以． 所以，则，． 设点为线段的中点，在中，． 因为中， ， 所以，即边上的中线的长度为． 16. 已知数列的前n项和为，，当时， （1）求； （2）设，求数列的前n项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系及等差数列的定义，结合等差数列的通项公式可得，再计算得到； （2）利用（1）的结论及错位相减法求前n项和. 【小问1详解】 当时，，即， 整理得：，即， 当时，， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，即. 当时，， 当时，不符合上式，故. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以，① ，② 由得，. 所以. 17. 一个盒子中有6个粽子，其中2个白粽，4个肉粽．从盒子中随机取出一个粽子（不放回），然后再从盒子中随机取出一个粽子． （1）求第一次取到白粽的概率； （2）在第一次取到白粽的条件下，求第二次取到肉粽的概率； （3）设表示两次取粽取到白粽的个数，求的分布列和均值． 【答案】（1） （2） （3） 0 1 2 ， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得； （2）根据条件概率公式计算可得； （3）依题意的可能取值为，，，求出相应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 因为盒子中有6个粽子，其中2个白粽，4个肉粽， 所以第一次取到白粽的概率； 【小问2详解】 记第一次取到白粽为事件，第二次取到肉粽为事件， 则，， 所以； 【小问3详解】 依题意的可能取值为，，， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 则. 18. 如图，直三棱柱中，底面三角形是正三角形，D是中点，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）若． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 由题意可知，且，所以四边形是平行四边形，则， 连接，由且，所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，，，所以平面平面. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由面面平行的判定定理证明； （2）（i）利用三棱锥体积公式计算；（ii）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，求出平面和的法向量，利用空间向量计算二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由，则，， 所以三棱锥的体积为. （ii）以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设分别为平面和的法向量， 则，令，则，， 则， ，令，则，， 则， 设二面角的平面角为，则， 则，即二面角的正弦值为. 19. 设函数． （1）若函数在处的切线经过点，求实数的值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程，代入点的坐标，即可求出参数的值； （2）依题意在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出函数的最小值，即可得解； （3）根据题意，转化为，恒成立，设，构造函数利用导数证明，即可求出函数的单调性，求出的最小值，即可求解； 【小问1详解】 因为，所以, 则，， 所以函数在处的切线为， 依题意可得，解得； 【小问2详解】 因为，函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围； 【小问3详解】 因为，所以题意等价于当时，， 即，整理得， 因为，所以，故题意等价于， 设，可得， 化简得， 令函数，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在时，取到最小值，即，即， 所以，即， 所以当，即在上单调递减， 当，即在上单调递增， 所以的最小值为， 所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $