专题12二次函数线段周长最值2024-2025学年九年级中考复习数学试题（重庆专用）

专题12 二次函数线段周长最值（解析版） （从易到难精选20题） 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）再把原解析式化为顶点式，再根据二次函数平移的性质，即可求解； （3）先求出直线的解析式，设，则，可得，即可． 【详解】（1）解：将代入， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴平移后的函数解析式为； （3）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当时，的长有最大值4． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键． 2．如图， 抛物线与轴交于点，（点在点的左侧） ，与轴交于点，是抛物线在第四象限上一个动点， 设点的横坐标为，过点作轴的垂线， 交轴于点，交于点． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 【答案】(1)PF＝﹣m2+3m（0＜m＜3），取最大值 (2)点P的坐标为 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求一次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）由抛物线的解析式结合二次函数图象上点的坐标特征得出点、、的坐标， 再利用待定系数法求出直线的解析式， 根据点的横坐标， 找出点、的坐标， 由此即可得出关于的函数关系式， 利用配方法即可得出最值； （2）根据、的坐标即可得出、的长度， 结合即可得出的值， 将其代入点的坐标中即可得出结论 ． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出点、的坐标；（2）根据求出的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时， 根据二次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是关键． 【详解】（1）解：依题意，当时，， ； 当时， 有， 解得：，， ，． 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为． 点的横坐标为， ． 当时，， ． ． ，， ， 当时，取最大值． （2）解：，轴， ， ， ， 此时点的坐标为． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求该二次函数和直线的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，作轴于点Q，交于点H，当的长度最大时，求点P的坐标 【答案】(1)二次函数的解析式为，直线BC的解析式为 (2) 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由（1）知直线的解析式，设，得到，利用二次函数的性质求解即可得 【详解】（1）解：将，代入中得： ， 解得：， 二次函数的解析式； 令，则， 解得：，， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， （2）由（1）知直线的解析式为， 设点， 轴于点Q交于点H， ， ， ， 当时，的长度最大， 将代入得． 4．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求直线解析式，函数最值问题，将线段列出函数关系式利用最值确定线段的最大值的解题思路是关键． （1）将点B坐标代入即可求出解析式； （2）先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点C的坐标为，列出线段的关系式配方即可得到的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵二次函数的解析式为， ∴时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 所以直线的解析式为 设点的坐标为． 则点的坐标为． 因为点在点的右边， 所以 ． 因为点是这个二次函数图象在第二象限内的一点， 所以， 所以当时，线段的长度有最大值，最大值为． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线解析式，可得，解方程组即可求出，的值，进而得到抛物线的表达式； （2）由（1）可得，抛物线的表达式为：，先求抛物线与轴的交点坐标，即令，则，解方程即可求得点坐标，然后再求抛物线与轴的交点坐标，令求的值，即可求得点坐标，求出直线的表达式，由中的几何关系可求得，由中的几何关系可求得，设点的坐标为，则点，于是可得，进而可得，然后根据二次函数的图象与系数的关系及的图象与性质，即可得出的最大值及此时点的坐标． 【详解】（1）解：将，两点坐标代入抛物线解析式，可得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）解：由（1）可得，抛物线的表达式为：， 令，则， 解得：，， ， 当时，， 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的表达式为：， ，， ， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 设点的坐标为：，则点， ， ， ，故有最大值， 当时，的最大值为：，此时点． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，求抛物线与轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，已知两点坐标求两点距离，等边对等角，三角形的内角和定理，两直线平行内错角相等，等角对等边，勾股定理，整式的加减运算，去括号，合并同类项，将化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，的最大值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据，即可求解； （2）设抛物线的表达式为：，再把点代入，即可求解； （3）先求出直线的表达式，然后过点P作y轴的平行线交于点H，根据，可得，设点 ，则点，可得的长，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点； （2）解：设抛物线的表达式为：， 把点代入得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （3）解：∵直线过点， ∴可设其函数表达式为：， 将点代入得： 解得：， 故直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵， ， ∵轴， ， ∴， ∵， ∴， 设点 ，则点， ∴， ∵ ， ∴有最大值，当时，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、等腰直角三角形的性质、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示，是本题解题的关键 7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，其中点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的函数解析式； (2)为直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，求的最大值和此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线的方向平移，使得平移后的抛物线经过点，为新抛物线与轴的交点，是平移后新抛物线的对称轴上的动点．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出所有点的坐标，并把求其中一个点坐标的过程写出来． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时 (3)点的坐标为或或，见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）首先求出，，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，过点作轴交轴于点，证明出，得到，．设，，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）首先得到平移后的抛物线为，得到，对称轴为，设，则表示出，，，然后分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵直线 ∴当时， ∴ ∴当时， 解得 ∴ 将，代入， 得解得 抛物线的解析式为； （2），， ，，． 过点作轴交轴于点， ， ∴ ， ， ． 设，， 则，， ． ，， 当时，的最大值为， 此时． （3）由（2）知，，点平移前的对应点为点， 新抛物线是原抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的． ， ，对称轴为． 设，由（1）知，， 则， ，． ①当时，， 解得， ； ②当时，，解得， ，． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，，点，，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)点F是线段上一点，过点F作轴交抛物线于点E，交于点M，点N是直线上一点，，当的周长最大时，求点E的坐标和此时周长最大值； (3)如图2，已知．点P为直线上一动点，连接，将抛物线上下平移，平移后的抛物线左侧部分经过点P；当是以为腰的等腰三角形时，求抛物线的平移距离d．    【答案】(1)抛物线解析式为 (2)E点坐标为，的周长最大值为 (3)抛物线的平移距离为14或 【知识点】解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）确定点坐标， ，，列方程组求解得解析式； （2）设点F的横坐标为m，则E的坐标为，确定直线AD的解析式为，于是M的坐标为，得；过点E作，得；可证，运用锐角三角函数，得，，则，于是；，当时，EM取最大值为；此时的周长最大值为；相应的，E点坐标为； （3）设点P的坐标为，设平移距离为d,可求得，由，，得，，，分情况讨论：①当时，②当时，分别构建方程求解，得n，进而求得d． 【详解】（1）∵， ∴A的坐标为，B的坐标为 因为A，B，C三点在抛物线上，且 ∴解得，， 故抛物线解析式为 （2）设点F的横坐标为m ∵轴，且点E在抛物线上 ∴点E的坐标为 ∵ ∴ 设直线的解析式为（） ∵， ∴解得 ∴直线的解析式为 ∵与直线交于点M ∴M的坐标为 则    过点E作 ∵ ∴ 由题得∵ ∴ ∵在内， ∴在， 故，则 ∵的周长 ∴ 当取最大值时，的周长有最大值 当时，取最大值为 此时的周长最大值为 当时，． ∴E点坐标为． （3）∵点P在直线上 ∴设点P的坐标为 设平移距离为d,上下平移后的抛物线为或，经过P, ∴或 ∴或 则 ∵， ∴，，    ∵是等腰三角形，且以为腰 ∴①当时 解得， 此时 ②当时 解得（舍），， 此时 综上，抛物线的平移距离为14或． 【点睛】本题考查确定二次函数解析式，图象和性质，图象平移，锐角三角函数；运用解析式确定点坐标，进而确定线段长是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像交轴于点和点，交轴于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一点，过点作轴的平行线交直线于点，点是直线上一点，且在右侧，满足，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿方向平移2个单位后，得到一个新的抛物线，点为新抛物线上一点，点关于直线的对称点为，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)的周长最大值为，； (3)符合条件的点的横坐标为或或或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过点E作交的延长线于点F，求出直线的解析式，设，则，用ｍ表示的长度，根据周长列出函数关系式，根据二次函数的性质解答； （3）根据平移的性质得到新的抛物线解析式为，推出是等边三角形，设，分两种情况：当点M在y轴右侧时，当点M在y轴左侧时， 分别求出n的值 【详解】（1）将点和点代入中，得 解得 ∴该抛物线的函数表达式为； （2）过点E作交的延长线于点F， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴，，， ∴，， ∴ ∴周长 ∵， ∴当时，的周长最大，最大值为，此时； （3） ∵将抛物线沿方向平移2个单位后，得到一个新的抛物线， ∴抛物线向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴新的抛物线解析式为， ∵点关于直线的对称点为，， ∴是等边三角形， 设， 当点M在y轴右侧时，如图,过点作于点H， ∴，， ∴， ∴， ∴ 解得(负值舍去)； 当点M在点时，点M的纵坐标为， 此时，解得（负值舍去）； 当点M在y轴左侧时，如图，过点作于点H， ∴, ∴ 解得(正值舍去)； 当点M在点时，点M的纵坐标为， 此时，解得（正值舍去）； 综上，符合条件的点的横坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，解直角三角形，考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形，二次函数的最值，正确理解二次函数的性质是解题的关键． 10．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点，过点作，垂足为点，轴，交于点，求的周长最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中的周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移个单位，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的周长的最大值为，此时点； (3)点的坐标为：或或，过程见解析 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及相关性质定理． （1）把，代入，求出b和c的值即可； （2）在中，易得，则，，进而得出的周长，求出直线的表达式为：， 设点的坐标为：，则点，则，即可解答； （3）先得出平移后的抛物线表达式为，设点的坐标为：， 然后进行分类讨论：当是对角线时，当或是对角线时，结合中点坐标公式，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：在中，， 则，， 则的周长， 设直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点的坐标为：，则点， 则， 即的最大值为， 则的周长的最大值为：， 此时点； （3）解：平移后的抛物线表达式为：， 设点的坐标为：， 当是对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：，则点； 当或是对角线时，由中点坐标公式得：或， 解得：或， 则点或， 综上，点的坐标为：或或 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作PE轴交BC于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点，过点作轴于点，使得，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1)； (2)，； (3)，． 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求角的正切值、二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】 （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作于点，先求出，进而可得，设，则，，根据二次函数性质，即可求解； （3）根据题意得出平移后的抛物线解析式为，根据，，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，在抛物线图象上， ∴　解得 ∴抛物线的表达式为 （2）过点作于点， 当时，， 解得： ∴ ， 为等腰三角形 ， 设 设直线的解析式为，将点代入， 得， 解得：， ∴，， ∴ ∵，开口向下，且， ∴当时，， 此时 （3）解：∵ ∴ ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴将抛物线向上移动个单位向左平移个单位； ∵抛物线解析式为 ∴平移后的抛物线解析式为 ∵ 当 ∴ ∴ 解得：或 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题，正切的定义，抛物线的平移，相似三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点且与直线另一交点为点，为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为4， (3)或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）利用待定系数法即可解答，即可求解； （2）证明，则，即可求解； （3）分类讨论，即当点在下方时或当点在上方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴于点． ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， ， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值为4，此时； （3）解：设直线的表达式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的表达式为， 将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移个单位，则向上平移个单位， 则， 当时，， 解得，（舍去）， 则， 联立上式和直线的表达式得：， 解得（舍去）或3， 即点， 如图，当点在下方时， ，， ， 设直线的表达式为， 把代入可得，解得， 直线的表达式为， 联立和新抛物线的表达式得：， 解得或（不合题意舍去）， ； 如图，当点在上方时，延长交轴于点，作于点， ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 设直线的表达式为， 把代入可得， ， 解得， 所以直线的表达式为， 联立和新抛物线的表达式得： 解得：， ， 综上所述，的坐标为或． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知，，．    (1)求抛物线的解析式； (2)在线段上有一动点，过点作交抛物线于点，过点作轴的平行线交于点．求的最大值，以及此时点的坐标； (3)如图，将该抛物线沿轴向下平移个单位长度得到新抛物线，若点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、已知正切值求边长 【分析】（）利用三角函数求出点坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）延长交轴于点，可得为等腰直角三角形，得到，即得，设，则，得到，再利用二次函数的性质解答即可求解； （）由平移可得新抛物线的解析式为，再分两种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数的几何应用，三角函数，二次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， 把、、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，延长交轴于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为，此时； （3）∵， 将该抛物线沿轴向下平移个单位长度得到新抛物线，则， 当轴时，如图，有，此时点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，舍去， ∴；    作线段的垂直平分线，交轴于点，连接交抛物线于点，可知， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得舍去，， ∴；      综上，点的坐标为或． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），且点坐标为，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，连接、，当，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法计算即可得解； （2）求出，，，解直角三角形得出，，延长交延长线于点，过点作于，解直角三角形得出，，推出，，待定系数法求出直线的解析式为，设，则，，则，，求出，再结合二次函数的性质即可得解； （3）移后的抛物线的解析式为，得出新抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，作于，于，过点作轴于，过C作于，于，则，，证明三角形相似，由相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】（1）解：在直线上，令，解得， ； 把，代入，得：， 解得，            ； （2）解：在中，令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 延长交延长线于点，过点作于， ， ∵轴， ， ， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ，， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 设，则，， ，， ∴ ；             ， 时，，    此时； （3）解：， ∵， ∴该抛物线沿射线方向平移个单位，就是将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴新抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为， 如图，作于，于，过点作轴于，作于，轴于，则，， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式，二次函数综合线段问题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上位于直线下方一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点D，过点P作的平行线交y轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点N是抛物线上一点，连接，当线段的中点F恰好在y轴上时，探究抛物线上是否存在点M，使．若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值为，此时点 (3)存在，点M的坐标为：或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明，即可求解； （3）当时，则，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：过点作轴于点，如图1， 、， ， ， ， ，则， 则， 设直线的表达式为：， 则，解得， 直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ， 则有最大值为，此时点； （3）解：存在，理由： 如图2，当线段的中点恰好在轴上时， 由中点坐标公式得：，即点， 设直线交于点， 设点， 当时， 则， 即， 解得：， 即点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得： 解得：（舍去）或， 当和平行时，直线的解析式为：， 与抛物线解析式联立方程组， 解得或（舍去）， 的坐标为：． 即点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数的性质、等腰三角形的性质等，综合性强，难度适中． 16．已知抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧，点在原点右侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一点，过点作平行于轴交于点，点是的中点，过点作的平行线交轴于点，过点作平行于轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为9，此时 (3)或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）求出B的坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则，，进而求出，求出直线的表达式为，可求，则，进而求出，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线表达式为，求出，可知，当时，，把代入，可求M的坐标；设的垂直平分线与轴交于点G，连接，则，进而得出，在中，利用勾股定理得出，则可求G的坐标，求直线表达式，与平移后的抛物线表达式联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 设，则， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得 ∵轴， ∴， ∴， ∴ ， ∵点是直线上方抛物线上一点， ∴， ∴当时，的最大值为9，此时； （3）解：存在点，满足， 理由如下： ， 对于，当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴抛物线沿x轴正半轴平移2个单位长度，沿y轴负半轴平移2个单位长度， ∴平移后的抛物线表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，，解得，， ∴； 设的垂直平分线与轴交于点G，连接， ∴， ∴ 在中，， ∴， 解得， ∴， 设直线表达式为， 则，解得， ∴直线表达式为， 联立方程组，解得或， ∴， 综上，M的坐标为或 ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象的平移，平行线的性质，解直角三角形等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 17．平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交直线于，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得与的面积之比为，请直接写出满足条件的所有点的横坐标，并写出其中一个横坐标的求解过程． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最大为，此时点 (3)，，或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）利用交点式即可求解； （2）利用铅锤法，过点作轴交于，设，表示出，，将转化为，最后利用二次函数最值问题求解即可； （3）关键是将与的面积之比为，转换为点到直线和直线的距离相等，再分当点在的角平分线上时；点在的外角平分线上时，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴设抛物线表达式为， ∵抛物线表达式为， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）如图，过点作轴交于， ∵当时，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得， 解得， ∴直线：， 同理得直线：， 设， 则， 对于直线：，当时， 得， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，开口向下， ∴当时，最大为，此时点； （3）过点作于，于， ∵抛物线向右平移2个单位得， ∴， 由与的面积之比为，且， ∴， ∴点到直线和直线的距离相等， ①当点在的角平分线上时，如图： 作的平分线交轴于，交于，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， 即， 易得直线：， ∴， 解得或， 即点横坐标为或； ②当点在的外角平分线上时，如图： 同理可得，直线：， ∴， 解得或， 即点横坐标为或； 综上所示，点横坐标为、、或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数解析式，三角函数，二次函数的最值，直线与二次函数交点，三角形角平分线性质与判定，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求线段的长度； (2)点为直线下方抛物线上的一动点，且点在抛物线对称轴左侧，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到一条新抛物线，为射线上的动点，过点作轴交新抛物线的对称轴于点，点为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最大值为12，点 (3)点的坐标为：或或；见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）在中，得、的坐标分别为、，即可得线段的长度为； （2）先求出直线的表达式为：，设点，则点，求出，根据抛物线的对称轴为：直线，得出，求出，根据二次函数性质可得答案； （3）将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度相当于将抛物线向左平移6个单位向上平移3个单位，设点，则点，设点，分三种情况：当为对角线时，当或为对角线时，分别列方程组即可解得答案． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，则， 解得：或2， 则点、的坐标分别为、， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把、的坐标分别为、代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 抛物线的对称轴为：直线， ∴， 则， 当时，的最大值为12， 此时点； （3）解：将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度相当于将抛物线向左平移6个单位向上平移3个单位， 则新抛物线的表达式为：， 设点，则点，设点， 当为对角线时， 由中点坐标公式和得： ， 解得：， 即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：（舍去）或或， 即点N的坐标为或； 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，菱形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 19．如图，在平而直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点． (1)求拋物线的解析式； (2)如图，点是直线下方拋物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，新拋物线与轴的负半轴交于点，请问在新拋物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2)最大值， (3)存在，或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点B作，交y轴于点F，根据，易证，再证明 ，是等腰直角三角形，求出，，根据，利用三角形相似的性质得到，进而得到，求出直线的解析式为，设点，则，利用二次函数的性质求解即可； （3）由点B，点C的坐标得出的长，原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，即原抛物线向右平移1个单位，向上平移3个单位，得到新拋物线，令，求出，分为点T在x轴上方和下方两种情况，利用直角三角形的特征及解直角三角形解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 拋物线的解析式为：； （2）解：如图，过点B作，交y轴于点F， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 也是等腰直角三角形， 在中，令，则， 或， ， ， 也是等腰直角三角形 ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则， ，， 当时，由最大值，最大值为， 取得最大值，此时； （3）解：存在点，使得，理由如下： ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，，， ∴，， ∴， ∴抛物线向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到新抛物线， ， ∴， 如图，当点T在x轴下方时，延长交于点Q，过点T作轴，垂足为R， ，， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， 整理得：， 解得：或（与点N重合，舍去）， ； 如图，当点T在x轴上方时，过点T作轴，垂足为K， 同理得， ，， ， ， 设，则， ，即， 整理得： 解得：或（与点N重合，舍去）， ； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数及一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，二次函数的最值，平移及对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点．熟练掌握二次函数的图像及性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为第二象限抛物线上的一点，过点P作轴交直线于点D，过点P作轴交直线于点E，F为y轴上一点，且满足，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线进行平移，平移后的抛物线与x轴交于点M，N，顶点为，轴于H，在平移后的抛物线上是否存在点R，使得，若存在，请直接写出R的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)取得最大值2，此时 (3)存在，或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】 （1）用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，由得，从而．设，则，，表示出，的长，代入，整理后利用用二次函数的性质即可求解； （3）先求出平移后的解析式，证明是等腰直角三角形，然后分当在的左侧和当在的右侧两种情况求解即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于两点， ∴， ∴， ∴； （2）如图，故点D作轴于点Q， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设， 则，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值2，此时； （3）∵平移后的抛物线顶点为， ∴平移后解析式为． 当时，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接，并延长交直线于点K， ①当在的左侧时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点，点代入，得， ∴， ∴直线的解析式为：， 解得，（舍去）， ∴． ②当在的右侧时 ∵，， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， 用待定系数法可求出． 解得，（舍去）， ∴． 综上可知，R的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数的知识，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的平移，相似三角形的判定与性质，数形结合是解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 二次函数线段周长最值（原卷版） （从易到难精选20题） 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值． 2．如图， 抛物线与轴交于点，（点在点的左侧） ，与轴交于点，是抛物线在第四象限上一个动点， 设点的横坐标为，过点作轴的垂线， 交轴于点，交于点． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求该二次函数和直线的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，作轴于点Q，交于点H，当的长度最大时，求点P的坐标 4．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值及此时点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，其中点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的函数解析式； (2)为直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，求的最大值和此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线的方向平移，使得平移后的抛物线经过点，为新抛物线与轴的交点，是平移后新抛物线的对称轴上的动点．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出所有点的坐标，并把求其中一个点坐标的过程写出来． 8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，，点，，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)点F是线段上一点，过点F作轴交抛物线于点E，交于点M，点N是直线上一点，，当的周长最大时，求点E的坐标和此时周长最大值； (3)如图2，已知．点P为直线上一动点，连接，将抛物线上下平移，平移后的抛物线左侧部分经过点P；当是以为腰的等腰三角形时，求抛物线的平移距离d．    9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像交轴于点和点，交轴于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一点，过点作轴的平行线交直线于点，点是直线上一点，且在右侧，满足，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿方向平移2个单位后，得到一个新的抛物线，点为新抛物线上一点，点关于直线的对称点为，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标． 10．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点，过点作，垂足为点，轴，交于点，求的周长最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中的周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移个单位，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作PE轴交BC于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点，过点作轴于点，使得，请直接写出点的横坐标． 12．抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点且与直线另一交点为点，为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知，，．    (1)求抛物线的解析式； (2)在线段上有一动点，过点作交抛物线于点，过点作轴的平行线交于点．求的最大值，以及此时点的坐标； (3)如图，将该抛物线沿轴向下平移个单位长度得到新抛物线，若点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），且点坐标为，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，连接、，当，直接写出所有符合条件的点的坐标． 15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上位于直线下方一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点D，过点P作的平行线交y轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点N是抛物线上一点，连接，当线段的中点F恰好在y轴上时，探究抛物线上是否存在点M，使．若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 16．已知抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧，点在原点右侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一点，过点作平行于轴交于点，点是的中点，过点作的平行线交轴于点，过点作平行于轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 17．平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交直线于，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得与的面积之比为，请直接写出满足条件的所有点的横坐标，并写出其中一个横坐标的求解过程． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求线段的长度； (2)点为直线下方抛物线上的一动点，且点在抛物线对称轴左侧，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到一条新抛物线，为射线上的动点，过点作轴交新抛物线的对称轴于点，点为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 19．如图，在平而直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点． (1)求拋物线的解析式； (2)如图，点是直线下方拋物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，新拋物线与轴的负半轴交于点，请问在新拋物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为第二象限抛物线上的一点，过点P作轴交直线于点D，过点P作轴交直线于点E，F为y轴上一点，且满足，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线进行平移，平移后的抛物线与x轴交于点M，N，顶点为，轴于H，在平移后的抛物线上是否存在点R，使得，若存在，请直接写出R的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$